Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les équations des tangentes et des normales aux courbes de fonctions trigonométriques, paramétrées et définies implicitement, ceci à l’aide des dérivées.
On rappelle que la valeur de la dérivée en un point, si elle existe, donne la pente de la tangente à la courbe en ce point. À l’aide de la pente et des coordonnées du point, il est possible d’écrire une équation de la droite tangente à la courbe en ce point. Commençons par revoir la méthode de calcul de l’équation d’une tangente à une courbe.
Comment : Calculer l’équation d’une tangente à une courbe
Étant donnée une courbe du plan , la pente de la tangente à la courbe au point est obtenue en évaluant au point , si toutefois la dérivée existe bien en ce point. Le cas échéant, on note cette évaluation .
L’équation de la tangente est alors
Si on nous donne une courbe implicite du plan , on peut calculer une expression pour en dérivant la fonction sous forme implicite. Rappelons le théorème de dérivation des fonctions composées, qui est l’ingrédient principal pour pouvoir dériver des fonctions implicites.
Théorème : Dérivation des fonctions composées
Lorsque l’on souhaite dériver une fonction par rapport à une variable qui n’est pas celle sur laquelle la fonction est définie, on fait un changement de variable et on applique le théorème de dérivation des fonctions composées. En particulier, si les dérivées et existent, alors nous avons
Dans notre premier exemple, nous allons calculer l’équation d’une tangente à une courbe définie de façon implicite, puis nous allons déterminer ses points d’intersection avec la courbe (ailleurs qu’au point de tangence).
Exemple 1: Théorème des fonctions implicites
On considère la courbe d’équation dans le plan.
- Calculez les coordonnées de deux points sur cette courbe avec .
- Déterminez l’équation de la tangente au point d’abscisse et d’ordonnée strictement positive.
- Calculez les coordonnées d’un autre point, s’il existe, en lequel la tangente intersecte la courbe.
Réponse
Partie 1
On nous donne la coordonnée en ; nous devons identifier toutes les ordonnées possibles lorsque . En substituant l’abscisse donnée dans l’équation implicite, on obtient
Ainsi, les coordonnées en possibles sont 3 et . Les coordonnées des deux points sur cette courbe, avec , sont
Partie 2
Pour déterminer l’équation de la tangente, nous devons évaluer l’expression au point de tangence. On commence par différencier implicitement l’équation :
Les deuxième et troisième termes de l’équation ci-dessus sont des dérivées usuelles car nous différencions la fonction en par rapport à la variable . En appliquant la formule de dérivation des fonctions puissances, on obtient
Pour dériver le premier terme, , nous devons appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées car nous différencions une fonction en par rapport à la variable :
En substituant ces expressions dans l’équation différenciée, on obtient
Pour déterminer la pente de la tangente, nous devons évaluer au point de tangence. Puisque nous nous limitons au point où l’ordonnée est strictement positive, on cherche la droite tangente au point . Par conséquent, nous pouvons évaluer l’expression ci-dessus en le point et ; on obtient :
Ainsi, la pente de la tangente en ce point est égale à . Par ailleurs, on sait que cette droite passe par le point . Ainsi, à l’aide de la pente et de ce point, on peut donner une expression de l’équation de la tangente sous la forme
En développant, on obtient
Ainsi, l’équation de la tangente est .
Partie 3
Nous voulons déterminer les points, s’ils existent, d’intersection de la tangente et de la courbe (différents du point de tangence). Comme nous connaissons l’équation de la tangente, , on peut substituer cette expression dans l’équation implicite de la courbe :
Nous savons que est une des solutions de cette équation puisqu’il s’agit du point de tangence. Ainsi, par le théorème de factorisation des polynômes, on peut factoriser le polynôme de degré 3 à gauche de l’équation par . Faisons le long calcul de cette division : 
Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme
En factorisant par dans le second facteur, on obtient
On peut à présent factoriser le polynôme de degré 2 en , ce qui nous donne l’équation
Le point est racine des premier et troisième facteurs ; c’est le point de tangence. Le point est racine du deuxième facteur, on a donc un autre point d’intersection entre la tangente et la courbe. On peut trouver l’ordonnée de ce point grâce à l’équation de la tangente :
Ainsi, l’autre point d’intersection entre la tangente et la courbe est le point .
Jusqu’ici, nous avons considéré le calcul des équations de tangentes de courbes définies implicitement. Dans de tels cas, on peut généralement calculer les pentes des tangentes en évaluant . Penchons-nous à présent sur des exemples où l’on calcule des équations de tangentes et de normales à des courbes paramétrées. On rappelle comment dériver une fonction sous forme paramétrique.
Théorème : Dérivation de fonctions sous forme paramétrique
Considérons une courbe du plan donnée sous forme paramétrique par
Si les dérivés et existent et sont continues, alors est donnée par en les points où le dénominateur est non nul.
On peut calculer la pente de la tangente à une courbe paramétrique en évaluant en la valeur du paramètre correspondant au point de tangence. Traitons un exemple où nous déterminons l'équation d'une tangente à une courbe paramétrée.
Exemple 2: Calcul de l’équation d’une tangente à une courbe donnée
Calculez l’équation de la tangente à la courbe paramétrée par et au point de paramètre .
Réponse
Commençons par trouver les coordonnées du point de tangence. On peut trouver ces coordonnées en substituant dans les équations paramétriques
Ainsi, la tangente passe par l’origine .
Ensuite, calculons la pente de la tangente. On sait que la pente de la tangente est obtenue en évaluant l’expression au point de tangence. Comme la courbe est donnée par des équations paramétriques, nous devons appliquer la règle de dérivation des fonctions sous forme paramétrique pour obtenir cette expression. Nous rappelons que
On peut calculer
Par conséquent,
On sait, d’après l’énoncé, que le point de tangence est le point de paramètre . En évaluant en ce point, on obtient
Ainsi, lorsque , la pente de la tangente à cette courbe est égale à .
La tangente passe donc par le point et est de pente ; elle a donc pour équation
Par conséquent, la tangente a pour équation
Dans les exemples précédents, nous avons calculé la pente de la tangente d’une courbe en évaluant au point de tangence. Penchons-nous à présent sur une méthode de calcul de l’équation d’une droite orthogonale à une courbe, appelée droite normale à une courbe.
Rappelons que deux droites sont orthogonales si le produit de leurs pentes est égal à . Il y a néanmoins des exceptions à cette règle, dans le cas de droites horizontales ou verticales puisque, dans ces cas-là, la pente est soit nulle soit non définie. Toutefois, ces cas sont plus simples car les droites orthogonales à une droite verticale sont horizontales et vice-versa. Ainsi, dans le cas où la tangente est une droite verticale ou horizontale, on peut immédiatement déterminer l’équation de la droite normale.
Si la tangente n’est ni verticale ni horizontale, c’est-à-dire dans le cas où est définie et non nulle en ce point, alors la pente de la normale à la courbe est l’opposé de l’inverse de la pente de la tangente. Nous résumons ce fait comme suit.
Comment : Trouver l’équation de la normale à une courbe
Étant donnée une courbe du plan , la normale à cette courbe en un point est la droite orthogonale à la tangente en ce point et passant par ce point. L’équation de la normale est donnée dans les trois cas distincts suivants :
- Si , alors la normale est une droite verticale. Dans ce cas, la normale a pour équation
- Si n’est pas définie, alors, soit la tangente est une droite verticale, soit la tangente n’est pas définie. Si la tangente n’est pas définie, alors la normale n’est pas définie non plus. Si la tangente est verticale, alors la normale est horizontale. Dans ce cas, la normale a pour équation
- Si la dérivée en ce point est définie et vérifie , alors la pente de la normale est donnée par l’opposé de l’inverse de cette expression, c’est-à-dire . Dans ce cas, la normale à la courbe a pour équation
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’équation d’une normale à une courbe en utilisant cette méthode.
Exemple 3: Calcul de l’équation de la normale à une courbe représentative d’une fonction trigonométrique en un point de coordonnées données
Calculez l’équation de la normale à la courbe d’équation en .
Réponse
Commençons par trouver les coordonnées du point où la droite est normale à la courbe. On sait que la normale passe par le point en . On peut trouver l’ordonnée de ce point en évaluant la fonction en cette valeur :
Ainsi, le point recherché a pour coordonnées .
Calculons maintenant la pente de la normale. On rappelle que la normale à une courbe en un point est la droite qui passe par ce point et qui est orthogonale à la tangente en ce point. Commençons par calculer la pente de la tangente à la courbe en ce point, qui est donnée par la dérivée en ce point.
On rappelle les dérivées suivantes des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses :
En utilisant ces formules, on a
L’évaluation de la dérivée au point nous donne
Par conséquent, la tangente en ce point a une pente égale à . On rappelle que si deux droites ont des pentes dont le produit est égal à , alors elles sont orthogonales. La tangente ayant une pente non nulle, la pente de la normale est égale à l’opposé de l’inverse de cette pente. Ainsi, la normale a une pente donnée par :
La normale passe par le point et a une pente égale à ; elle a donc pour équation
Réécrivons cette équation pour la mettre sous la forme générale d’une équation de droite. En simplifiant, on obtient
La normale recherchée a donc pour équation
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé le coefficient directeur de la normale à une courbe définie implicitement en déterminant d’abord par dérivation de fonction implicite puis en prenant l’opposé de l’inverse de cette dérivée évaluée au point donné. Il est possible de calculer l’équation d’une normale à une courbe paramétrée par une méthode analogue, où la seule différence est que nous devons utiliser la dérivation de fonctions paramétriques pour pouvoir calculer .
Dans notre prochain exemple, nous allons trouver l’équation de la normale à une courbe paramétrée.
Exemple 4: Calcul de l’équation d’une normale à une courbe paramétrée définie par des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.
Déterminez l’équation de la normale à la courbe paramétrée définie par et au point .
Réponse
Commençons par trouver les coordonnées du point où la droite est normale à la courbe. D’après l’énoncé, la normale recherchée passe par le point de paramètre . On calcule les coordonnées de ce point en substituant cette valeur dans les équations paramétriques
Ainsi, ce point a pour coordonnées .
Calculons à présent la pente de la normale. On rappelle que la normale à une courbe en un point est la droite passant par ce point et orthogonale à la tangente à la courbe en ce point. Commençons par calculer la pente de la tangente à la courbe en ce point, que nous pouvons obtenir en évaluant, si elle existe, la dérivée en ce point. Pour trouver l’expression de , on applique la règle de dérivation des fonctions sous forme paramétrique :
On rappelle les formules suivantes des dérivées de fonctions trigonométriques et trigonométriques inverse :
En dérivant la fonction paramétrant la coordonnée en par rapport à , on obtient
En dérivant la fonction paramétrant la coordonnée en , on obtient
On calcule la dérivée de en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées. On peut écrire cette fonction comme la composée , où et . Ainsi, et , ce qui donne
En substituant cette expression et la dérivée de dans l’équation de , on obtient
Ainsi, par dérivation de fonctions sous forme paramétrique, on a
Comme la droite est normale à la courbe au point de paramètre , nous devons évaluer la dérivée, donnée par l’expression ci-dessus, en ce point :
Par conséquent, la tangente en ce point a une pente égale à . Nous rappelons que la pente de la normale est égale à l’opposé de l’inverse de cette valeur, c’est-à-dire :
La normale étant la droite passant par le point et de pente , son équation est de la forme
Réécrivons cette équation sous forme générale. Par simplification, on obtient
C’est une forme possible de l’équation recherchée. Alternativement, on pourrait écrire cette équation de sorte que le coefficient devant soit égal à 1. On peut multiplier par des deux côtés pour simplifier le coefficient en et on obtient alors
Par conséquent, la normale à la courbe en le point de paramètre a pour équation
Dans les exemples précédents, nous avons calculé les équations des tangentes et des normales à une courbe. On peut définir la notion d’orthogonalité entre deux courbes en utilisant les droites tangentes.
Définition : Intersection orthogonale de courbes
Soient deux courbes se coupant en un point . Les courbes se coupent orthogonalement si les tangentes aux deux courbes sont bien définies en ce point et sont orthogonales entre elles.
Dans notre prochain exemple, nous allons calculer les pentes des tangentes de deux courbes définies implicitement en leur point d’intersection afin d’établir si elles s’intersectent orthogonalement ou non.
Exemple 5: Déterminer l’orthogonalité de deux courbes définies implicitement
Les courbes et se coupent-elles de façon orthogonale à l’origine ?
Réponse
Avant toute chose, commençons par vérifier que les deux courbes s’intersectent bien à l’origine en évaluant leurs équations respectives en . Quand et , on voit que les deux équations deviennent , ainsi ces deux courbes passent bien par l’origine.
On rappelle que deux courbes se coupent orthogonalement en un point si leurs tangentes en ce point sont bien définies et orthogonales entre elles. Calculons les pentes des tangentes en l’origine pour chaque courbe en utilisant la dérivation de fonctions définies sous forme implicite. Pour la première courbe, on a
Le membre de gauche dépend uniquement de la variable , nous devons donc appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées :
Le membre de droite, quant à lui, est . Ainsi, on a
On rappelle que la pente de la tangente est donnée par l’évaluation de à l’origine. En évaluant l’équation ci-dessus en afin de trouver cette valeur, on obtient
Ainsi, la tangente à la première courbe en l’origine a une pente égale à .
Déterminons à présent la pente de la tangente à la deuxième courbe. On applique la dérivation des fonctions définies sous forme implicite à la deuxième équation pour trouver
Le premier terme du membre de gauche ainsi que le terme du membre de droite sont des dérivées usuelles car on dérive bien par rapport à la variable dont ils dépendent, à savoir . Dans le cas du deuxième terme du membre de gauche, on doit appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées. Nous avons
En les substituant dans l’équation ci-dessus, on obtient
En évaluant cette équation en l’origine , puis en simplifiant, on a
Ainsi, la tangente à la deuxième courbe en l’origine a une pente égale à .
On rappelle que si les pentes respectives de deux droites ont un produit égal à , alors celles-ci sont orthogonales entre elles. Comme on vient de l’établir avec ce qui précède, les deux tangentes de ces courbes ont pour pentes respectives et , et on a donc
Ainsi, ces deux courbes se coupent de façon orthogonale en l’origine.
Dans notre dernier exemple, nous allons calculer l’aire d’un triangle à l’aide des concepts de droites tangentes et normales à une courbe.
Exemple 6: Calcul de l’aire d’un triangle formé par l’axe des abscisses, la tangente et la normale à une ellipse, à l’aide de la dérivation
Donnez, au millième près, l’aire du triangle délimité par l’axe des , la tangente et la normale à la courbe au point .
Réponse
Commençons par visualiser ce problème. L’équation donnée est l’équation d’une ellipse de centre l’origine. En évaluant cette équation au point et , on peut vérifier que le point appartient à cette ellipse. On trace la tangente (en vert) et la normale (en rouge) à l’ellipse en ce point sur la figure ci-dessous.
Nous voulons calculer l’aire du triangle formé par la tangente, la normale et l’axe des . La hauteur du triangle est donnée par l’ordonnée du point , qui est égale à 2. Rappelons la formule de l’aire d’un triangle :
Puisque l’on a établi que la hauteur est de longueur 2 unités, on doit calculer la longueur de la base du triangle. La longueur de la base est donnée par la différence positive entre les abscisses des points d’intersection de la tangente et de la normale avec l’axe des abscisses ; nous avons besoin, pour calculer cela, de déterminer les équations de la tangente et de la normale à l’ellipse au point .
On commence par calculer l’équation de la tangente, afin de déterminer la coordonnée de son intersection avec l’axe des abscisses. En dérivant la fonction définie sous forme implicite par rapport à , on obtient
Le premier terme de l’équation ci-dessus est une dérivée usuelle, puisque l’on dérive une fonction de par rapport à la variable . En utilisant la formule de dérivation des fonctions puissance, on a
Pour dériver le deuxième terme , nous devons appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées puisqu’on dérive une fonction de par rapport à la variable :
En substituant ces expressions dans l’équation dérivée on obtient l’expression
On rappelle que la pente de la tangente à une courbe en un point est donnée par . Ainsi, nous pouvons déterminer la pente de la tangente en évaluant en le point l’expression de :
Ainsi, la tangente à la courbe au point a une pente égale à . Connaissant un point de la droite ainsi que sa pente, son équation est
On peut trouver la coordonnée de l’intersection de la tangente avec les abscisses en substituant dans cette équation et en la résolvant en :
Calculons à présent l’équation de la normale à cette ellipse au même point. Rappelons que la normale à une courbe est la droite qui coupe orthogonalement la tangente au point de tangence. On rappelle que dans le cas de droites qui ne sont ni horizontales ni verticales, si le produit de leurs pentes est égal à , alors elles se coupent orthogonalement. En d’autres termes, la pente de la normale est l’opposé de l’inverse de la pente de la tangente. Sachant que la pente de la tangente est , la pente de la normale est donc . Cette droite passe également par le point . On déduit de la pente et d’un point de cette droite son équation
En posant , on peut calculer la coordonnée du point d’intersection de la normale avec l’axe des abscisses :
La longueur de la base du triangle est donnée par la différence, positive, entre les abscisses de ces points :
Ainsi, la base du triangle a une longueur de unités. On sait aussi que la hauteur du triangle a une longueur de 2 unités. L’aire du triangle est donc donnée par
L’aire du triangle délimité par l’axe des , la tangente et la normale à l’ellipse donnée au point est égale, au millième près, à 4,022 unités carrées.
Terminons par résumer quelques concepts importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- Étant donnée une courbe implicite du plan , on peut calculer en dérivant des fonctions sous forme implicite. Étant donnée une courbe paramétrique du plan , on peut calculer en dérivant les fonctions paramétrisant la courbe.
- Étant donnée une courbe du plan , la pente de la tangente à la courbe en est obtenue en évaluant au point , si toutefois la dérivée en ce point existe. On note la dérivée en ce point par .
Dans ce cas, l’équation de la tangente à la courbe en est - Étant donnée une courbe du plan , la normale à la courbe en un point est la droite passant par ce point et orthogonale à la tangente en ce point. On donne l’équation de la normale dans les cas suivants :
- Si , alors la normale est une droite verticale. Dans ce cas, la normale a pour équation
- Si n’est pas définie, alors, soit la tangente est verticale, soit la tangente n’est pas définie. Si la tangente n’est pas définie, alors la normale n’est pas définie non plus. Si la tangente est verticale, alors la normale est horizontale. Dans ce cas, la normale a pour équation
- Si la dérivée au point est définie et , alors la pente de la normale est l’opposé de l’inverse de cette dérivée, c’est-à-dire . Dans ce cas, la normale a pour équation
