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Dans quel quadrant se situe le conjugué de 𝑧 ?
Nous avons ici un plan d’Argand contenant le point 𝑧. Et nous devons déterminer dans quel quadrant se trouve le conjugué de 𝑧. Avant de faire cela, quelque chose mérite d’être souligné concernant la notation du conjugué d’un nombre complexe. Il est parfois noté avec une barre horizontale. Mais vous pouvez également le rencontrer avec une astérisque. Et ces deux notations signifient exactement la même chose : 𝑧 étoile et 𝑧 barre représentent tous les deux le conjugué du nombre complexe 𝑧. Donc, pour répondre à cette question, nous devons rappeler ce que l’on entend exactement par le conjugué d’un nombre complexe.
Commençons avec un nombre complexe sous forme algébrique. C’est-à-dire de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖 où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Prendre le conjugué de ce nombre signifie simplement que l’on change le signe du coefficient de 𝑖. Donc, au lieu d’ajouter 𝑏 fois 𝑖, on soustrait 𝑏 fois 𝑖. Le conjugué de 𝑧 est ainsi 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous savons donc maintenant comment trouver le conjugué de 𝑧 quand est 𝑧 sous forme algébrique. Mais 𝑧 n’est pas donné sous cette forme dans cette question. Nous avons en fait une représentation de 𝑧 sur le plan d’Argand. Nous devons donc rappeler ce que représente un point sur un plan d’Argand.
Dans un plan d’Argand, chaque point représente un nombre complexe. L’abscisse de ce point représente la partie réelle du nombre complexe et son ordonnée représente sa partie imaginaire. Et cela est particulièrement utile pour trouver la forme algébrique d’un nombre complexe. Si 𝑧 est de la forme algébrique 𝑎 plus 𝑏𝑖, alors 𝑎 est la partie réelle de ce nombre complexe et le coefficient 𝑏 est sa partie imaginaire. Et on peut le représenter avec la notation suivante. La partie réelle de 𝑧 est égale à 𝑎 et la partie imaginaire de 𝑧 est égale à 𝑏.
Sur un plan d’Argand, la partie réelle d’un nombre complexe correspond à son abscisse et sa partie imaginaire correspond à son ordonnée. Nous pouvons donc utiliser notre plan d’Argand pour trouver la valeur de 𝑧. Commençons par son abscisse. Nous pouvons voir sur le graphique qu’elle est approximativement égale à moins 3,8. Rappelez-vous qu’elle nous indique la partie réelle de notre nombre complexe 𝑧. En d’autres termes, cela nous donne la valeur de 𝑎. Nous pouvons donc écrire que 𝑎 est égal à moins 3,8. Et nous pouvons faire exactement la même chose pour trouver l’ordonnée de 𝑧. Nous pouvons voir sur le plan qu’elle est égale à trois, et cela nous indique la partie imaginaire de 𝑧, qui correspond à la valeur de 𝑏. Donc, 𝑏 est égal à trois.
En observant simplement le plan d’Argand, nous avons ainsi pu montrer que 𝑧 est égal à moins 3,8 plus trois 𝑖. Mais ce n’est pas ce que nous demande la question. Nous devons déterminer dans quel quadrant se trouve le conjugué de 𝑧. Et on rappelle que pour trouver le conjugué de 𝑧, il suffit de changer le signe du coefficient de 𝑖. Donc pour trouver le conjugué de 𝑧, on soustrait trois 𝑖 au lieu d’ajouter trois 𝑖. Mais nous voulons savoir dans quel quadrant ce point se situe sur le plan d’Argand. Nous allons donc devoir le représenter sur notre plan.
On voit alors que la partie réelle de 𝑧 est moins 3,8 et que la partie réelle de son conjugué est aussi moins 3,8. Donc le point représentant le conjugué de 𝑧 aura également une abscisse de moins 3,8. Masi en comparant les parties imaginaires de ces deux nombres, on voit que leurs signes sont opposés. La partie imaginaire du conjugué de 𝑧 est de moins trois. Donc le point représentant le conjugué de 𝑧 aura une ordonnée de moins trois ; comme nous savons déjà que son abscisse est moins 3,8, nous pouvons à présent le représenter sur notre plan.
Et il ne nous reste qu’à déterminer dans quel quadrant il se situe. On désigne les quadrants d’un plan d’Argand exactement de la même manière que dans un plan cartésien. Lorsque les parties réelle et imaginaire sont toutes les deux positives, il s’agit du premier quadrant. On numérote ensuite les quadrants dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Parfois, ils sont écrits en toutes lettres. Mais ils sont également souvent écrits en chiffres romains. Dans les deux cas, nous pouvons voir que le point représentant le conjugué de 𝑧 se situe dans le troisième quadrant. Nous avons ainsi montré que le point représentant le conjugué de 𝑧 appartient au troisième quadrant du plan d’Argand.
Un point important mérite cependant d’être souligné ici : pour tout nombre complexe 𝑧, la seule chose à faire pour trouver son conjugué est de changer le signe de sa partie imaginaire. Donc, on ne change jamais la partie réelle de ce nombre complexe. Ce qui signifie que l’on ne change jamais son abscisse sur un plan d’Argand. On change cependant toujours le signe de son ordonnée. On change le signe de la partie imaginaire du nombre complexe. Et cela est en fait équivalent à trouver le symétrique du point d’origine par rapport à l’axe des réels. Nous aurions donc pu simplement répondre à cette question en traçant le symétrique du point 𝑧 par rapport à l’axe des réels et en remarquant qu’il se situe dans le troisième quadrant ; cela serait une méthode tout à fait valide pour répondre à cette question.
Nous avons ainsi présenté deux méthodes différentes permettant de déterminer dans quel quadrant d’un plan d’Argand se situe le conjugué du nombre complexe 𝑧. Et il appartient ici au troisième quadrant.
