Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐿 et 𝐿 au carré sont les racines de l’équation quatre 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 32 égale zéro, déterminez la valeur de 𝑏
Donc on a ici une équation du second degré de la forme 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Et on nous dit que les racines de l’équation, c’est-à-dire les solutions de l’équation, sont 𝐿 et 𝐿 au carré. Mais comment allons-nous utiliser cette information ainsi que l’équation qui nous est donnée pour déterminer la valeur de 𝑏? Eh bien, on connaît deux relations permettant de lier les racines d’une équation du second degré à son coefficient de 𝑥 au carré, son coefficient de 𝑥 et son terme constant, ou autrement dit à 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Tout d’abord, on sait que la somme des racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Ensuite, on sait que le produit des racines est égal à 𝑐 sur 𝑎.
Pour pouvoir utiliser ces deux relations, il faut tout d’abord identifier notre 𝑎, notre 𝑏 et notre 𝑐 dans notre équation. Eh bien, notre 𝑎 est égal quatre, notre 𝑏 est juste 𝑏 et notre 𝑐 est égal à 32. On va commencer par utiliser la relation impliquant le produit des racines. On sait que le produit des racines est égal à 𝑐 sur 𝑎. Donc on peut écrire que le produit des racines, qu’on obtient en multipliant les deux racines entre elles, donc 𝐿 fois 𝐿 au carré dans notre cas, est égal à notre 𝑐, qui est égal à 32, sur notre 𝑎, qui est égal à quatre. Donc a que 𝐿 au cube est égal à huit. On va ensuite prendre la racine cubique des deux côtés de l’équation. On obtient que 𝐿 est égal à deux. En effet, la racine cubique de 𝐿 au cube est égale à 𝐿 et la racine cubique de huit est égale à deux.
Très bien. On a déterminé que l’une de nos racines est égale à deux. On doit maintenant déterminer la valeur de 𝑏. Comment allons-nous nous y prendre? Eh bien, on va utiliser notre relation impliquant la somme des racines. On sait que moins 𝑏 sur 𝑎 est égal à la somme des racines. Donc on peut écrire que la somme de nos racines, 𝐿 plus 𝐿 au carré, est égale à moins 𝑏 sur quatre. On connaît la valeur de 𝐿 car on vient de la déterminer. Donc on peut remplacer 𝐿 par sa valeur.
On obtient que deux plus deux au carré est égal à moins 𝑏 sur quatre. Deux plus deux au carré font six. Donc on a que six est égal à moins 𝑏 sur quatre. Puis on multiplie les deux membres de notre équation par quatre pour obtenir que 24 est égal à moins 𝑏. Enfin, on divise par moins un des deux côtés. On obtient alors que moins 24 est égal à 𝑏. Voici donc notre réponse finale. La valeur de 𝑏 est moins 24.
