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Un corps se déplace sur une ligne droite en accélérant uniformément. S’il parcourt 55 mètres dans les quatre premières secondes et 57 mètres dans les quatre secondes suivantes, déterminez la distance totale parcourue dans les 10 premières secondes de son mouvement.
Afin de résoudre ce problème, on va utiliser les équations du mouvement nommées aussi les équations MRUA. On va utiliser 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré, 𝑠 est égal à 𝑣𝑡 moins un demi 𝑎𝑡 au carré, et 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎𝑡, où 𝑠 est le déplacement, 𝑢 est la vitesse initiale, 𝑣 est la vitesse finale, 𝑎 est l’accélération et 𝑡 est le temps. On voit sur le schéma que dans les quatre premières secondes, le corps parcourt 55 mètres. Dans les quatre secondes suivantes, il parcourt 57 mètres. On doit calculer la distance totale parcourue dans les 10 premières secondes.
Si l’on laisse la vitesse du corps à 𝑡 égale à quatre être 𝑣 mètres par seconde, alors pour la première partie du voyage, on a un déplacement de 55, et une vitesse finale de 𝑣 et une accélération de 𝑎 et un temps de quatre secondes. On peut substituer ces valeurs dans l’équation 𝑠 est égal à 𝑣𝑡 moins un demi 𝑎𝑡 au carré. Cela nous donne 55 est égal à 𝑣 fois quatre moins un demi multiplié par 𝑎 multiplié par quatre au carré.
La simplification de cette équation nous donne 55 est égal à quatre 𝑣 moins huit 𝑎. Cela signifie que pendant la période de 𝑡 égale zéro à 𝑡 égale quatre, le mouvement du corps satisfait à l’équation quatre 𝑣 moins huit 𝑎 égale 55.
Si l’on considère ensuite la période entre 𝑡 égale quatre et 𝑡 égale huit, on a un déplacement de 57 mètres. La vitesse initiale est égale à 𝑣 car il s’agit de la vitesse au temps égale à quatre. L’accélération est toujours égale à 𝑎. Et notre temps est de quatre secondes. On peut substituer ces valeurs dans l’équation 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Cela nous donne 57 est égal à 𝑣 multiplié par quatre plus un demi multiplié par 𝑎 multiplié par quatre au carré. En simplifiant, on obtient 57 égale quatre 𝑣 plus huit 𝑎.
On a maintenant deux équations simultanées : une pour la période de 𝑡 égale zéro à 𝑡 égale quatre et une pour la période comprise entre 𝑡 égale quatre et 𝑡 égale huit. On peut utiliser ces équations pour calculer l’accélération et la vitesse à 𝑡 égale quatre. En ajoutant l’équation un et l’équation deux nous donne huit 𝑣 est égal à 112. On divise les deux côtés de cette équation par huit pour obtenir une valeur de 𝑣 de 14 mètres par seconde. La vitesse du corps à 𝑡 égale quatre est 14 mètres par seconde.
La soustraction de l’équation un de l’équation deux nous donne 16𝑎 est égal à deux. En divisant les deux côtés de cette équation par 16 nous donne une valeur de 𝑎 d’un huitième mètre par seconde au carré. L’accélération uniforme du corps est d’un huitième mètre par seconde au carré.
Notre prochaine étape consiste à calculer la vitesse initiale du corps. Pour ce faire, on va considérer le temps entre 𝑡 est égal à zéro et 𝑡 est égal à quatre. Notre déplacement est de 55 mètres. Notre vitesse initiale est 𝑢. Notre vitesse finale est de 14 mètres par seconde. Notre accélération est d’un huitième mètre par seconde au carré. Et notre temps est de quatre secondes. En utilisant l’équation 𝑣 égale 𝑢 plus 𝑎𝑡 nous donne 14 est égal à 𝑢 plus un huitième multiplié par quatre. Un huitième multiplié par quatre est 0,5. Par conséquent, 14 est égal à 𝑢 plus 0,5. La soustraction de 0,5 des deux côtés de cette équation nous donne une vitesse initiale 𝑢 de 13,5 mètres par seconde.
On a maintenant suffisamment d’informations pour considérer les 10 premières secondes du mouvement. La vitesse initiale 𝑢 est 13,5. Notre accélération est un huitième. 𝑡 est égal à 10 et 𝑠 - le déplacement total - est l’inconnu. En utilisant l’équation 𝑠 égale 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré nous donne 𝑠 est égal à 13,5 fois 10 plus un demi fois un huitième fois 10 au carré. Cela nous donne une valeur de 𝑠 de 141,25.
Par conséquent, la distance totale parcourue par le corps dans les 10 premières secondes de son mouvement est de 141,25 mètres.
