Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant le mouvement d’une particule qui accélère uniformément pendant une ou plusieurs parties de son mouvement.
On rappelle que l’accélération d’un corps est le taux de variation de sa vitesse.
Définissons d’abord l’accélération moyenne.
Définition : Accélération moyenne
Si dans un intervalle de temps la vitesse d’un corps change d’une vitesse initiale à une vitesse finale , l’accélération moyenne du corps sur cet intervalle de temps est donnée par
Si un corps accélère uniformément, alors la valeur de son accélération est constante tout au long de l’intervalle de temps sur lequel il accélère. Dans ce cas, l’accélération instantanée du corps est égale à son accélération moyenne.
De la même manière, le déplacement d’un corps soumis à une accélération uniforme sur un intervalle de temps est la moyenne du déplacement de ce corps à ses vitesses initiales et finales sur cet intervalle de temps.
On peut alors définir le déplacement d’un corps qui accélère de façon uniforme.
Définition : Déplacement d’un corps qui accélère de façon uniforme
Si un corps accélère uniformément et que sa vitesse varie d’une valeur initiale à une valeur finale dans un intervalle de temps , alors le déplacement de ce corps est donné par
On peut déduire de l’accélération d’un corps qui se déplace en ligne droite diverses relations cinématiques sur le mouvement du corps.
On peut exprimer indépendamment du temps la relation entre le déplacement et les vitesses initiales et finales d’un corps qui accélère uniformément. Précédemment, on a vu que et que par conséquent,
Ainsi, on peut constater que
Les termes obtenus sont habituellement exprimés par la formule cinématique donnée ci-dessous.
Définition : Relation entre les vitesses initiale et finale d’un corps en accélération constante et son déplacement
Soit un corps qui accélère uniformément et dont la vitesse varie d’une valeur initiale à une valeur finale , avec un déplacement . Les vitesses initiale et finale du corps sont liées au déplacement et à l’accélération du corps par la relation suivante
Il est important de noter que cette formule ne fait pas intervenir l’intervalle de temps sur lequel le déplacement a eu lieu.
Étudions à présent un exemple dans lequel un corps subit une accélération uniforme sur une portion de son mouvement.
Exemple 1: Calculer la distance parcourue par un cycliste avec une accélération uniforme suivie d’une vitesse constante
Un cycliste, qui roule en pente depuis une position de repos, prend d’abord de la vitesse avec une accélération égale à 0,5 m/s2. Lorsque le cycliste arrive au bas de la pente, il a atteint une vitesse de 1,5 m/s. Il continue de rouler à cette vitesse pendant encore 9,5 secondes. Calculez la distance totale parcourue par le cycliste.
Réponse
On peut séparer la trajectoire du cycliste en deux parties : une partie où le cycliste a une accélération uniforme et une partie où il a une vitesse constante et donc une accélération nulle.
La portion de mouvement d’accélération nulle est la plus simple à traiter, nous allons donc l’étudier en premier, bien qu’il s’agisse de la seconde partie du mouvement du cycliste.
Quand le cycliste arrive en bas de la pente, il a atteint une vitesse de 1,5 m/s. Le cycliste se déplace à cette vitesse pendant 9,5 secondes. Le déplacement du cycliste dans cet intervalle de temps est donné par
Lorsque le cycliste roule en pente, sa vitesse passe de zéro à 1,5 m/s. Si nous connaissions le temps nécessaire au cycliste pour atteindre cette vitesse, nous pourrions déterminer immédiatement la distance parcourue par le cycliste pendant cet intervalle de temps, où la vitesse change ; malheureusement, cette durée n’est pas donnée. On peut déterminer la longueur de l’intervalle de temps en utilisant la formule et en faisant de le sujet de la formule, ce qui donne
En utilisant les valeurs données par l’énoncé, on a
Le déplacement du cycliste en accélération uniforme pendant ces 3 secondes est la moyenne du déplacement du cycliste à ses vitesses initiales et finales pendant 3 secondes, c’est-à-dire
Le déplacement total du cycliste est donc donné par
On aurait également pu traiter cet exemple en appliquant la formule afin d’obtenir . On résout cette équation en . Puisque est nul, on fait le calcul suivant :
En évaluant cette expression en les valeurs connues, on a qui est bien égale à la valeur de trouvée avec la méthode précédente.
Étudions à présent un exemple dans lequel la relation entre le déplacement d’un corps en accélération uniforme et ses vitesses initiales et finales est indépendante du temps d’accélération.
Exemple 2: Calculer l’accélération d’un corps qui accélère puis décélère entre deux points étant donnée la distance entre ces points
Un train, initialement à l’arrêt, commence son trajet en ligne droite entre deux stations. Pendant les premières 80 secondes, il se déplace avec une accélération constante . Puis, le train continue de rouler avec la vitesse atteinte pendant encore 65 secondes. Enfin, sa vitesse diminue avec une décélération de jusqu’à son arrêt complet. Sachant que la distance entre les deux stations est égale à 8,9 km, calculez la valeur de ainsi que la vitesse à laquelle le train s’est déplacé pendant la partie médiane du trajet.
Réponse
Le mouvement du train se compose de trois parties. Dans la première partie, le train, d’abord au repos, accélère uniformément ; dans la deuxième partie, le train n’accélère pas ; et dans la troisième partie, le train décélère uniformément jusqu’à s’arrêter.
Dans la première partie de son mouvement, le train, d’abord à l’arrêt, accélère uniformément pendant 80 secondes. L’accélération du train est donnée par et, par conséquent, après cette accélération, la vitesse du train est donnée par
Le train étant initialement à l’arrêt, est simplement
Pour trouver le déplacement du train durant son accélération, on peut réécrire la relation pour faire de le sujet. Puisque est nul, on procède comme suit : où est le déplacement du train pendant la première partie de son trajet.
Dans la deuxième partie de son trajet, le train cesse d’accélérer. On a déjà montré précédemment que la vitesse du train dans la deuxième partie du trajet est égale à . Le déplacement du train dans la deuxième partie de son trajet, est donnée par
Dans la troisième partie de son trajet, on peut de nouveau calculer le déplacement du train à l’aide de la formule
La vitesse finale du train est nulle et la vitesse initiale du train est . L’accélération du train a doublé de norme, mais agit dans la direction opposée de la vitesse du train, ainsi l’accélération du train est négative dans la troisième partie de son trajet. Par conséquent, on peut déterminer comme suit :
Le déplacement du train, sur l’ensemble de son trajet, est égal à 8,9 km. Les déplacements , et ne sont pas exprimés en kilomètres mais en mètres. On convertit 8,9 km en 8 900 m et cette valeur est la somme des déplacements du train sur chacune de ses portions de mouvement :
Enfin, on peut déterminer en faisant de ce terme le sujet de l’équation :
On a déjà démontré que la vitesse du train dans la deuxième partie de son trajet est égale à de sorte que la vitesse à laquelle il s’est déplacé pour la partie médiane du trajet est donnée par
On peut également déterminer les intervalles de temps, le déplacement, la vitesse ou encore l’accélération d’un corps en mouvement où le corps n’est pas initialement au repos. Voyons cela dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Déplacement d’un objet en mouvement jusqu’à son arrêt complet
Un corps, se déplaçant en ligne droite, parcourt 60 cm en 6 secondes en accélérant uniformément. En maintenant sa vitesse, il parcourt ensuite 52 cm en 5 secondes. Enfin, il commence sa décélération d’une norme le double de son accélération précédente, et ce, jusqu’à son arrêt total. Calculez la distance totale parcourue par le corps.
Réponse
Le mouvement du corps est constitué de trois parties. Dans la première partie, le corps accélère uniformément, dans la deuxième partie, le corps n’accélère pas, et dans la troisième partie, le corps décélère uniformément jusqu’à être au repos.
La vitesse initiale du corps n’est pas donnée, mais on sait que dans la deuxième partie de son mouvement, le corps parcourt une distance de 52 cm en 5 secondes à vitesse constante. Ainsi, durant la deuxième partie de son mouvement, la vitesse du corps est donnée par
La vitesse du corps pendant la deuxième partie de son mouvement doit égaler la vitesse finale du corps pendant la première partie du voyage. Nous pouvons en déduire la vitesse initiale du corps pendant la première partie de son mouvement.
Dans la première partie du mouvement du corps, le corps parcourt 60 cm en 6 secondes. En appliquant la formule et en faisant de le sujet, on obtient
En évaluant cette expression en les valeurs connues, on obtient
Nous pouvons maintenant calculer l’accélération de la première partie du trajet en appliquant
En faisant de le sujet, on a
En évaluant cette expression en les valeurs connues, on trouve
Enfin, pour étudier la troisième partie du mouvement, on applique à nouveau la formule
En faisant de le sujet, on obtient
Dans la troisième partie du mouvement, la vitesse initiale du corps est égale à sa vitesse dans la deuxième partie du mouvement et sa vitesse finale est égale à zéro. L’accélération du corps dans la troisième partie de son mouvement est dans la direction opposée à , elle est donc négative, et est par ailleurs de norme le double de celle de l’accélération dans la première partie du mouvement.
En substituant les valeurs de , , et , on obtient où désigne le déplacement du corps dans la troisième partie de son mouvement.
D’après l’énoncé, le déplacement du corps dans la première partie du mouvement est de 60 cmet le déplacement du corps dans la deuxième partie de son mouvement est de 52 cm.
Le déplacement du corps sur les trois parties de son mouvement est donné par
Étudions à présent un exemple dans lequel on compare les mouvements de deux corps qui ont la même accélération.
Exemple 4: Étudier la trajectoire de balles tirées horizontalement vers deux blocs de bois
On tire une balle horizontalement dans la direction d’un bloc de bois. La balle pénètre dans le bloc à une vitesse de 80 m/s et parcourt 32 cm dans le bloc avant de s’arrêter. En supposant que son accélération dans le bloc de bois était uniforme, calculez et exprimez cette quantité en km/s2. Si, dans des conditions similaires, une autre balle avait été tirée dans la direction de ce bloc de bois de 14 cm d’épaisseur, calculez la vitesse à laquelle la balle serait sortie du bloc de bois.
Réponse
La vitesse finale de la première balle est nulle. La vitesse initiale et le déplacement sont donnés de sorte que l’accélération peut être déterminée en utilisant la formule et en faisant de le sujet, on obtient
La vitesse est exprimée en mètres par seconde, et le déplacement exprimé en centimètres. Pour obtenir une accélération en mètres par seconde carrée, on convertit les 32 cm en 0,32 m. En évaluant l’expression en les valeurs connues, on obtient
Cette valeur est assez grande et il convient mieux de l’exprimer en la convertissant en . Il est cohérent d’obtenir une accélération négative, c’est-à-dire dans la direction opposée à la vitesse initiale.
Dans le cas de la seconde balle, on a la même accélération , mais un déplacement différent. On convertit le déplacement de 14 cm en mètres aussi, soit 0,14 m. On applique à présent la même formule que dans le cas de la première balle, mais en faisant cette fois de le sujet :
En évaluant cette expression en les valeurs connues, on obtient
Étudions à présent un exemple dans lequel les mouvements de deux corps d’accélérations différentes sont combinés.
Exemple 5: Calculer le temps nécessaire au dépassement d’un objet par un autre
Une voiture en excès de vitesse roulant à 96 km/h est dépassée par une voiture de police. 12 secondes après que la voiture de police a commencé à la poursuivre. En accélérant uniformément, la voiture de police a parcouru une distance de 134 m jusqu’à ce que sa vitesse atteigne 114 km/h. En maintenant cette vitesse, la voiture de police a continué à rattraper la voiture, jusqu’à la dépasser. Calculez le temps nécessaire à la voiture de police pour rattraper l’autre voiture, à partir du moment où la voiture de police a démarré.
Réponse
On peut répondre à cette question aisément en étudiant indépendamment les déplacements et vitesses des deux véhicules en différents temps. On suit ces changements avec le tableau suivant.
| Voiture en excès de vitesse | Voiture de police | |||
|---|---|---|---|---|
Au départ, la voiture de police est à l’arrêt et n’a pas de déplacement tandis que la voiture en excès de vitesse a un déplacement nul et une vitesse de 96 km/h.
Dans cet exercice, les temps sont exprimés en secondes et les distances sont exprimées en mètres, il convient donc d’exprimer les vitesses en mètres par seconde ( m/s).
La vitesse initiale de la voiture qui roule est donnée par
Nous ajoutons cette information au tableau.
| Voiture en excès de vitesse | Voiture de police | |||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
La voiture en excès de vitesse roule à cette allure pendant 12 secondes tandis que la voiture de police est à l’arrêt. Le déplacement de la voiture en excès de vitesse après 12 secondes est donné par
Nous ajoutons cette information au tableau.
| Voiture en excès de vitesse | Voiture de police | |||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 12 | 320 | 0 | 0 | |
Au temps , la voiture de police commence à accélérer. Après avoir accéléré, elle roule à une vitesse de 114 km/h. On convertit cette vitesse en mètres par seconde de la même manière que pour la voiture en excès de vitesse :
On ne connait pas l’intervalle de temps sur lequel la voiture de police accélère, mais on sait que le déplacement de la voiture de police au cours de son accélération est égal à 134 m. Nous pouvons donc déduire de cela l’intervalle de temps sur lequel l’accélération s’est produite en appliquant la formule
Puisque est nul, nous avons
En manipulant cette équation de sorte à faire de le sujet, on obtient
Le temps auquel la voiture de police cesse d’accélérer est donc donné par
Dans le temps qu’il a fallu à la voiture de police pour accélérer, la voiture en excès de vitesse a parcouru
Ainsi, le déplacement total de la voiture en excès de vitesse à cet instant est donné par
Nous ajoutons cette information au tableau.
| Voiture en excès de vitesse | Voiture de police | |||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 12 | 320 | 0 | 0 | |
| 134 | ||||
À partir de cet instant, les deux voitures ont une vitesse constante. L’intervalle de temps nécessaire à la voiture de police pour rattraper la voiture en excès de vitesse, une fois que celles-ci ont des vitesses constantes, est l’intervalle de temps nécessaire à ce que leurs déplacements deviennent égaux.
On peut déterminer cet intervalle de temps en divisant la différence entre les déplacements des voitures par la différence entre les vitesses des voitures.
La différence entre les déplacements des voitures est donnée par
La différence des vitesses des voitures est donnée par
L’intervalle de temps est donné par
Cet intervalle de temps intervient après l’intervalle de temps nécessaire à la voiture de police pour atteindre sa vitesse, dont nous avons montré qu’il est égal à .
En additionnant ces intervalles de temps, on obtient
Nous aurions pu obtenir le même résultat via une méthode différente qui consiste à définir une équation reliant à pour chacune des voitures.
Pour la voiture en excès de vitesse, l’équation est simplement l’équation d’un mouvement à vitesse constante :
On peut écrire une équation similaire pour la voiture de police, mais celle-ci doit inclure le déplacement de la voiture en excès de vitesse par rapport à la voiture de police après que les deux voitures ont atteint leur vitesse finale. Ce déplacement est donné par
L’équation de la voiture de police est alors
Le temps auquel la voiture de police rattrape la voiture en excès de vitesse est le temps auquel les déplacements des deux voitures sont égales, c’est-à-dire au temps tel que
Nous pouvons résoudre cette équation comme suit :
L’intervalle de temps pendant lequel la voiture de police accélère doit être ajouté à ce temps, ce qui nous donne un temps total égal à
Résumons maintenant ce qui a été appris dans ces exemples.
Points clés
- Si dans un intervalle de temps la vitesse d’un corps varie d’une vitesse initiale à une vitesse finale , l’accélération moyenne du corps dans cet intervalle de temps est donnée par
- Si un corps accélère uniformément, alors la valeur de son accélération est constante tout au long de l’intervalle de temps pendant lequel il accélère. Dans ce cas, l’accélération instantanée du corps est égale à son accélération moyenne.
- Le déplacement d’un corps qui accélère uniformément pendant un intervalle de temps est égal à la moyenne de son déplacement à ses vitesses initiales et finales dans cet intervalle :
- On peut exprimer la relation entre le déplacement d’un corps en accélération uniforme et ses vitesses initiales et finales indépendamment du temps sous la forme :
