Vidéo de la leçon: Applications de mouvements à accélération uniforme Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant le mouvement d’une particule avec une accélération uniforme sur une ou plusieurs sections de sa trajectoire. Nous commencerons par rappeler les équations du mouvement et comment les utiliser pour calculer des inconnues.

Les équations du mouvement, également appelées équations SUVAT, sont utilisées lorsque l’accélération 𝑎 est constante. Elles sont connues sous le nom d’équations SUVAT car elles contiennent les variables suivantes: 𝑠 pour le déplacement, 𝑢 est la vitesse initiale, 𝑣 est la vitesse finale ou la vitesse à l’instant 𝑡, 𝑎 est l’accélération et 𝑡 est le temps. La vitesse initiale 𝑢 est aussi parfois écrite 𝑣 indice zéro. Pour cette vidéo, nous utiliserons la lettre 𝑢. Cependant, ces lettres sont interchangeables.

Avant d’utiliser les équations, il est important que nos mesures soient dans les bonnes unités. Pour le déplacement, nous utilisons des mètres, pour les vitesses, des mètres par seconde, l’accélération est mesurée en mètres par seconde au carré et le temps en secondes. Nous utilisons l’une des cinq équations selon les variables avec lesquelles nous traitons le problème. 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎𝑡. 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎 𝑠. 𝑠 est égal à 𝑢 𝑡 plus un demi de 𝑎 𝑡 carré. 𝑠 est égal à 𝑣 𝑡 moins un demi de 𝑎 𝑡 carré. Et 𝑠 est égal à 𝑢 plus 𝑣 divisé par deux le tout multiplié par 𝑡.

Avant de poser quelques questions spécifiques, nous allons également voir comment résoudre ce type de problème à l’aide d’un graphique vitesse-temps. Un graphique vitesse-temps indique le temps en secondes le long de l’axe horizontal ou de l’axe des 𝑥 et la vitesse en mètres par seconde le long de l’axe des 𝑦 ou vertical. Lorsqu’on a affaire à une accélération constante, le graphique vitesse-temps est composé de droites.

Ces droites peuvent avoir une pente positive ou négative ou être horizontales. Lorsque la courbe est horizontale, l’accélération est égale à zéro mètre par seconde au carré. Lorsque le graphique a une pente diagonale vers le haut ou vers le bas, nous pouvons calculer l’accélération en divisant la variation de la vitesse par la variation du temps. Cela revient au calcul de la pente. Si la pente est positive, l’accélération est positive. Et si la pente est négative, l’accélération est négative. Ceci est également connu comme une décélération. Plus la pente du graphique est grande, plus l’accélération ou la décélération est grande. Nous pouvons également considérer le changement de vitesse au cours du changement de temps comme étant la hausse sur la durée.

Nous pouvons également calculer le déplacement de l’objet à partir du graphique. C’est l’aire coincée entre la courbe et l’axe des 𝑥. Nous pouvons parfois calculer cela en un seul calcul. Dans la figure illustrée, nous pouvons calculer l’aire du trapèze. Ou alors, nous pourrions diviser l’aire en triangles et rectangles et calculer chaque aire séparément. Le déplacement, et dans ce cas également la distance parcourue, est égal à la somme de ces aires. Bien que le graphique vitesse-temps puisse être utilisé pour résoudre certains des problèmes suivants, nous allons nous concentrer dans cette vidéo sur l’utilisation des équations du mouvement.

Un cycliste qui descend une colline initialement au repos accélère à un rythme de 0,5 mètre par seconde carrée. Au moment où il atteint le bas de la colline, il se déplace à 1,5 mètre par seconde. Il continue de se déplacer à cette vitesse pendant encore 9,5 secondes. Déterminer la distance totale 𝑠 que le cycliste a parcourue.

Le parcours du cycliste comporte deux parties dont nous devons tenir compte, d’abord lorsqu’il accélère vers le bas de la colline, et ensuite quand il continue de rouler à cette vitesse constante. Nous savons que lorsque vous roulez à vitesse constante, l’accélération est égale à zéro. Pour répondre à cette question, nous allons utiliser les équations du mouvement ou les équations de SUVAT. Commençons par considérer la première partie du voyage.

Le cycliste accélère, partant au repos. Par conséquent, sa vitesse initiale est de zéro mètre par seconde. On nous dit que l’accélération est de 0,5 mètre par seconde au carré. Au bas de la colline, le cycliste a atteint une vitesse de 1,5 mètres par seconde. Par conséquent, sa vitesse finale 𝑣 pour cette partie du trajet est de 1,5 mètres par seconde. On cherche à calculer la distance totale parcourue. Par conséquent, nous appellerons le déplacement ou la distance pour la première partie du voyage 𝑠 un.

Nous allons maintenant utiliser l’équation selon laquelle 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎 𝑠. La substitution dans nos valeurs nous donne 1,5 carré est égal à zéro carré plus deux multiplié par 0,5 multiplié par 𝑠 sous un. Cela se simplifie pour donner 2,25 est égal à un multiplié par 𝑠 un. La distance parcourue dans la première partie du trajet est donc égale à 2,25 mètres.

Considérons maintenant la deuxième partie du voyage. Le cycliste se déplace à une vitesse constante. Par conséquent, l’accélération est de zéro mètre par seconde au carré. Les vitesses initiale et finale sont toutes deux égales à 1,5 mètre par seconde. Et on nous dit qu’il roule à cette vitesse pendant 9,5 secondes. Nous appellerons la distance parcourue dans cette partie du voyage 𝑠 indice deux. Nous savons que le déplacement, ou dans ce cas la distance 𝑠, est égal à 𝑢 plus 𝑣 divisé par deux multiplié par 𝑡. En substituant dans nos valeurs, nous avons 𝑠 deux est égal à 1,5 plus 1,5 divisé par deux multiplié par 9,5. Cela se simplifie pour donnerx^2 1,5 multiplié par 9,5, ce qui est égal à 14,25. La distance parcourue dans la deuxième partie du trajet est de 14,25 mètres.

Nous pouvons maintenant calculer la distance totale parcourue en ajoutant 2,25 et 14,25. Cela nous donne une réponse de 16,5 mètres. Le cycliste couvre une distance totale de 16,5 mètres.

Dans notre prochaine question, nous examinerons le mouvement d’un train entre deux gares.

Un train, partant au repos, commence à se déplacer en ligne droite entre deux gares. Pendant les 80 premières secondes, il se déplace avec une accélération constante 𝑎. Puis il continue de se déplacer à la vitesse qu’il a acquise pendant 65 secondes supplémentaires. Enfin, il décélère avec un taux de deux 𝑎 jusqu’à s’arrêter. Étant donné que la distance entre les deux stations était de 8,9 kilomètres, trouver la norme de 𝑎 et la vitesse 𝑣 à laquelle le train s’est déplacé au cours de la partie au milieu du trajet.

Pour répondre à cette question, nous utiliserons nos équations du mouvement ou SUVAT. Nous allons créer des équations pour les trois étapes du voyage, puis les résoudre pour calculer les inconnues. Commençons par considérer la première partie du voyage. Le train accélère partant au repos, donc la vitesse initiale est égale à zéro mètre par seconde. Il accélère pendant 80 secondes avec une accélération constante de 𝑎 mètres par seconde au carré. Nous appellerons 𝑣 la vitesse qu’il atteint en ce point et 𝑠 un le déplacement par rapport au point de départ ou la distance parcourue.

Nous savons que 𝑣 est égal à 𝑢 plus 𝑎 𝑡. En substituant nos valeurs, nous avons 𝑣 est égal à zéro plus 𝑎 multiplié par 80. Cela nous donne l’équation 𝑣 égal 80𝑎. Une autre de nos équations indique que 𝑠 est égal à 𝑢 plus 𝑣 divisé par deux multiplié par 𝑡. 𝑠 un est donc égal à zéro plus 𝑣 divisé par deux multiplié par 80. Cela se simplifie pour donner 𝑠 un égal 40𝑣. Appelons ces équations un et deux et passons à la deuxième partie du trajet.

Dans la deuxième partie du trajet, le train se déplace à cette vitesse constante 𝑣. Cela signifie que son accélération est égale à zéro mètre par seconde au carré. La durée de cette partie du trajet est de 65 secondes. Et nous appellerons la distance parcourue 𝑠 deux. Encore une fois, nous allons utiliser l’équation 𝑠 égale 𝑢 plus 𝑢 divisé par deux fois 𝑡. Cela nous donne 𝑠 deux est égal à 𝑣 plus 𝑣 divisé par deux multiplié par 65. Comme 𝑣 plus 𝑣 est égal à deux 𝑣, cela se simplifie pour donner 𝑠 deux est égal à 65𝑣. Appelons cette équation trois et passons maintenant à la dernière partie du voyage.

Dans cette partie du voyage, le train décélère jusqu’à s’arrêter. Comme la décélération est égale à deux 𝑎, la valeur de 𝑎 sera égale à moins deux 𝑎 mètres par seconde au carré. La vitesse finale 𝑣 est égale à zéro mètre par seconde. La vitesse initiale dans cette partie du trajet est égale à 𝑣, la vitesse à laquelle le train se déplace pendant la deuxième partie du trajet. Nous appellerons la distance parcourue dans cette partie 𝑠 trois et le temps nécessaire 𝑡. Nous allons commencer par utiliser à nouveau 𝑠 est égal à 𝑢 plus 𝑣 sur deux multiplié par 𝑡. 𝑠 trois est donc égal à 𝑣 plus zéro divisé par deux fois 𝑡. Cela se simplifie pour donner 𝑠 trois est égal à 𝑣𝑡 divisé par deux.

Nous utiliserons également l’équation 𝑣 égal 𝑢 plus 𝑎𝑡. La substitution de nos valeurs ici nous donne zéro est égal à 𝑣 plus moins deux 𝑎 multiplié par 𝑡. Cela donne zéro est égal à 𝑣 moins deux 𝑎𝑡. Et en ajoutant deux 𝑎𝑡 aux deux côtés de cette équation, on obtient 𝑣 égal deux 𝑎𝑡. Nous avons maintenant deux autres équations que nous allons numéroter quatre et cinq.

La dernière partie de notre question nous dit que la distance entre les deux stations était de 8,9 kilomètres. Pour utiliser les équations du mouvement, il faut que ce soit en mètres. Comme il y a 1000 mètres dans un kilomètre, 8,9 kilomètres est égal à 8900 mètres. Les distances 𝑠 un, 𝑠 deux et 𝑠 trois doivent donc s’additionner pour donner 8900. En utilisant les équations deux, trois et quatre. cela peut être réécrit comme 40𝑣 plus 65𝑣 plus 𝑣𝑡 sur deux est égal à 8900, 105𝑣 plus 𝑣𝑡 sur deux est égal à 8900. Si nous pouvons calculer la valeur du temps 𝑡, nous pouvons alors calculer la vitesse 𝑣.

Considérons les équations un et cinq. Celles-ci nous disent que 𝑣 est égal à 80𝑎 et deux 𝑎𝑡, ce qui signifie que 80𝑎 doit être égal à deux 𝑎𝑡. À ce stade, nous savons que 𝑎 n’est pas égal à zéro. Par conséquent, nous pouvons diviser par 𝑎. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par deux, ce qui nous donne 𝑡 est égal à 40. La durée de la troisième partie du trajet est de 40 secondes. Nous pouvons maintenant substituer 𝑡 est égal à 40 pour calculer 𝑣. 40 divisé par deux est égal à 20, et 105 plus 20 est 125. Par conséquent, 125𝑣 est égal à 8900. Diviser les deux côtés de cette équation par 125 nous donne 𝑣 est égal à 71,2. La vitesse 𝑣 est égale à 71,2 mètres par seconde.

Comme nous connaissons maintenant la valeur de 𝑣, nous pouvons utiliser l’équation un pour calculer l’accélération 𝑎. 71,2 est égal à 80𝑎. Diviser les deux côtés de cette équation par 80 nous donne 𝑎 est égal à 0,89. La valeur de l’accélération 𝑎 est égale à 0,89 mètre par seconde au carré. Et la vitesse 𝑣 est de 71,2 mètres par seconde.

Dans notre dernière question, nous étudierons le mouvement de deux balles tirées sur deux blocs de bois différents.

Une balle est tirée horizontalement sur un bloc de bois. Elle pénètre le bloc à 80 mètres par seconde et parcourt 32 centimètres dans le bloc avant de s’arrêter. En supposant que son accélération 𝑎 était uniforme, trouver 𝑎. Si dans des conditions similaires, une autre balle est tirée sur un bloc de bois de 14 centimètres d’épaisseur, déterminer la vitesse à laquelle la balle sort du bloc de bois.

Dans le premier scénario, on nous dit qu’une balle est tirée à une vitesse de 80 mètres par seconde. Elle pénètre d’une distance de 32 centimètres dans le bloc. Et comme il y a 100 centimètres dans un mètre, cela équivaut à 0,32 mètre. Pour calculer la valeur de 𝑎, nous utiliserons les équations d’accélération uniforme ou les équations de SUVAT. Nous savons que 𝑠, le déplacement ou la distance, est égal à 0,32 mètre, la vitesse initiale est de 80 mètres par seconde, la vitesse finale est de zéro mètre par seconde, et nous cherchons à calculer l’accélération 𝑎. Nous ferons cela en utilisant l’équation 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎 𝑠.

La substitution dans nos valeurs nous donne zéro carré est égal à 80 carré plus deux 𝑎 multiplié par 0,32. Cela se simplifie pour donner zéro est égal à 6400 plus 0,64𝑎. Nous pouvons alors soustraire 6400 des deux côtés, puis diviser par 0,64, Cela donne une valeur de 𝑎 égale à moins 10000. L’accélération de la balle est moins 10000 mètres par seconde au carré. Comme il y a 1000 mètres dans un kilomètre. cela peut également être écrit comme moins 10 kilomètres par seconde au carré.

Dans le deuxième scénario, la balle se déplace à travers un bloc de bois d’une épaisseur de 14 centimètres ou 0,14 mètres. En utilisant les mêmes valeurs de 𝑢 et 𝑎, nous pouvons maintenant calculer 𝑣, la vitesse à laquelle la balle sort du bloc de bois. Nous savons que 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎 𝑠. En substituant nos valeurs. Nous pouvons calculer 𝑣 au carré. Cela équivaut à 3600, Prenant la racine carrée des deux côtés et sachant que 𝑣 doit être positif, nous obtenons 𝑣 est égal à 60. La balle sort du bloc à une vitesse de 60 mètres par seconde.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Les équations de mouvement peuvent être utilisées lorsque l’accélération d’un objet est constante. Avant d’utiliser l’une des cinq équations, il est important que nous ayons les bonnes unités de mesure. Nos unités standard sont les mètres, les secondes, les mètres par seconde et les mètres par seconde au carré.