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Déterminez la plus courte distance entre le point de coordonnées moins six, 10 et la droite qui passe par les points de coordonnées un, neuf et quatre, six.
Bien, afin de trouver la distance la plus courte entre un point et une droite, nous cherchons la distance perpendiculaire. Ainsi, nous pouvons utiliser une formule pour cela. Pour nous permettre d’utiliser la formule, nous devons d’abord avoir l’équation de la droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Aussi, nous devons avoir les coordonnées du point à partir duquel nous cherchons à calculer la distance. Soit sous la forme 𝑥 un, 𝑦 un. Une fois que nous avons cela, alors nous avons la formule 𝐿, qui est notre distance perpendiculaire ou la plus courte entre un point et une droite, est égal au module ou à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐 sur toute la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré.
Ainsi, par conséquent, dans notre contexte, la première chose à faire est de trouver l’équation de la droite et de la mettre sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Nous voulons donc trouver la forme réduite de l’équation d’une droite qui est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, où 𝑚 est la pente et 𝑐 est l’ordonnée à l’origine. Ainsi, la première chose que nous voulons faire est de déterminer la pente de notre droite. Bien, pour trouver la pente de notre droite, nous calculons la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥. Ainsi, nous pourrions dire que 𝑚, notre pente, est égale à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.
Bien, dans la droite que nous étudions, nous savons qu’elle passe par deux points de coordonnées : un, neuf et quatre, six. Nous avons donc notre 𝑥 indice un, 𝑦 indice un; 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux. Ainsi, 𝑚 est égal à six moins neuf sur quatre moins un. 𝑚, notre pente, va être égale à moins trois sur trois, ce qui va nous donner une pente de moins un. Bien ! Nous pouvons donc insérer cela dans notre forme réduite pour l’équation d’une droite. Ainsi, nous avons obtenu 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus 𝑐.
Maintenant, pour trouver la valeur de 𝑐, nous pouvons substituer l’une ou l’autre de nos paires de coordonnées dans l’équation 𝑦 égale moins 𝑥 plus 𝑐. J’ai donc choisi le point un, neuf. Si nous utilisons cela, nous obtenons neuf est égal à moins un plus 𝑐. Si nous ajoutons un de chaque côté de l’équation, nous allons obtenir 𝑐 est égal à 10. Ainsi, nous pouvons maintenant remplacer cela et nous avons obtenu l’équation de notre droite. Nous obtenons donc 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus 10. Alors, nous voulons réorganiser cela sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. Nous pourrions simplement soustraire 𝑦 de chaque côté de l’équation. Sinon, pour garder le premier terme positif, je vais ajouter 𝑥 et soustraire 10 de chaque côté de l’équation. Ainsi, nous obtenons 𝑥 plus 𝑦 moins 10 est égal à zéro.
Nous avons donc nos valeurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous avons 𝑎 égale un, 𝑏 égale un et 𝑐 égale moins 10. Puis, notre 𝑥 indice un est égal à moins six et notre 𝑦 indice un est égal à 10 parce que ce sont les coordonnées du point que nous cherchons à trouver la distance de ce point à la droite. Ainsi, lorsque nous substituons dans nos valeurs, nous obtenons 𝐿 est égal au module ou à la valeur absolue de un multiplié par moins six plus un multiplié par 10 moins 10 sur la racine carrée d’un carré plus un carré. Nous avons donc 𝐿 est égal au module ou à la valeur absolue de moins six sur racine de deux.
Ainsi, nous allons obtenir 𝐿 est égal à six sur racine de deux parce que si nous avons le module ou la valeur absolue de moins six, nous prenons juste la norme. Nous prenons donc juste la valeur positive, nous obtenons donc six sur racine de deux. Maintenant, puisque nous avons une racine au dénominateur, nous voulons rationaliser le dénominateur pour supprimer une racine au dénominateur. Pour ce faire, nous multiplions par racine de deux sur racine de deux. En effet, racine de 𝑎 multiplié par racine de 𝑎 est égale à 𝑎, donc racine de deux multipliée par racine de deux va juste être égale à deux. Cela va donc nous donner 𝐿 est égal à six racine de deux sur deux. Nous pouvons donc diviser le numérateur et le dénominateur par deux. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝐿 est égal à trois racine de deux.
Nous pouvons donc dire que la distance la plus courte entre le point de coordonnées moins six, 10 et la droite qui passe par les points de coordonnées un, neuf et quatre, six est trois racine de deux.
