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Fiche explicative de la leçon : Distance perpendiculaire d’un point à une droite dans le repère cartésien Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles dans le plan cartésien à l’aide d’une formule.

On peut appliquer le théorème de Pythagore pour démontrer une formule de la distance entre deux points quelconques du plan. Par exemple, pour déterminer la distance entre les points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), on peut construire le triangle rectangle suivant.

La distance entre ces points est égale à la longueur de l’hypoténuse de ce triangle rectangle et on peut donc la calculer en appliquant le théorème de Pythagore.

Récapitulatif : Distance entre deux points dans le plan

La distance 𝐷 entre les points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est définie par 𝐷=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Cette formule nous donne la distance entre deux points quelconques. Elle peut également être utilisée pour déterminer la distance d’un point à une droite dans un espace de dimension deux. Nous souhaitons que cette distance soit la plus courte distance entre le point et un point de la droite, nous allons donc déterminer ce qu’est la plus petite distance entre un point et une droite. Pour cela, nous allons d’abord considérer la distance entre un point arbitraire 𝐴 sur une droite 𝑑 et un point 𝑃, comme indiqué sur la figure suivante.

Tout d’abord, dans le cas où 𝑃 appartient à la droite 𝑑, la distance est nulle, supposons donc que ce n’est pas le cas. On peut calculer la distance entre les points 𝑃 et 𝐴 en utilisant la formule de la distance entre deux points. Toutefois, nous ne savons pas quel point de la droite donne la distance la plus petite. On peut trouver un point à une distance inférieure en construisant le triangle rectangle suivant.

Puisque 𝑃𝐴 est l’hypoténuse du triangle rectangle 𝑃𝑄𝐴, ce segment est plus long que 𝑃𝑄. Il en va de même pour tout autre point sur la droite 𝑑, ce qui signifie que la longueur de 𝑃𝑄 est la plus courte distance possible entre un point sur la droite 𝑑 et le point 𝑃. On l’appelle la distance perpendiculaire entre le point 𝑃 et la droite 𝑑 car 𝑃𝑄 et 𝑑 sont perpendiculaires. Nous sommes maintenant prêts à calculer la plus courte distance entre un point et une droite.

Comment identifier et calculer la distance la plus courte entre un point et une droite

Nous voulons calculer la distance la plus courte entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, où les constantes 𝑎 et 𝑏 ne peuvent pas être nulles simultanément. Si 𝑑 est une droite verticale ou horizontale, la distance entre le point et la droite est respectivement la distance horizontale / verticale entre le point et la droite, nous pouvons donc supposer que ce n’est pas le cas. Si 𝑃 appartient à la droite 𝑑, alors la distance est nulle;supposons également que ce n’est pas le cas.

La distance la plus courte entre un point et une droite est égale à la distance perpendiculaire, nous allons donc tracer la perpendiculaire à cette droite passant par le point et noter 𝑄 le point d’intersection. Nous avons quelques options pour calculer cette distance. Par exemple, puisque la droite passant par les points 𝑃 et 𝑄 est perpendiculaire à 𝑑, nous pourrions trouver l’équation de la droite passant par 𝑃 et 𝑄 afin de calculer les coordonnées de 𝑄. Nous allons cependant appliquer une méthode différente. On commence par tracer le segment vertical passant par 𝑃 et coupant 𝑑. On appelle 𝑅 le point d’intersection et on note ses coordonnées (𝑥;𝑦).

Nous pouvons calculer la plus courte distance entre le point et la droite en déterminant les coordonnées de 𝑄, puis en appliquant la formule de la distance entre deux points.

Soit 𝐷 la distance perpendiculaire. Pour déterminer la longueur de 𝑃𝑄, nous construisons n’importe où le long de la droite 𝑑 un triangle rectangle avec deux côtés parallèles à l’axe des 𝑥 et à l’axe des 𝑦 respectivement. Puisque la droite 𝑑 a un coefficient directeur de 𝑎𝑏, il est possible de tracer ce triangle tel que ses longueurs des côtés soient égales à |𝑏| et |𝑎|, comme indiqué sur la figure suivante.

Nous pouvons montrer que ces triangles sont semblables. Nous remarquons que 𝑃𝑅 et 𝑇𝑈 sont tous les deux des segments verticaux, qu’ils sont donc parallèles et qu’ils coupent la même droite 𝑑. Ainsi, 𝑚𝑃𝑅𝑄=𝑚𝑇𝑈𝑆 puisque ce sont des angles correspondants. Puisque ces deux triangles sont rectangles, leurs troisièmes angles respectifs sont aussi égaux. Par conséquent, ces deux triangles sont semblables, 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈, ce qui nous donne la figure suivante.

Puisque les rapports des longueurs des côtés correspondants de deux triangles semblables sont égaux, on a 𝑃𝑄𝑆𝑇=𝑃𝑅𝑆𝑈.

La distance entre 𝑃 et 𝑅 est la valeur absolue de la différence de leurs ordonnées 𝑦:𝑃𝑅=|𝑦𝑦|.

On a de plus 𝑃𝑄=𝐷,𝑆𝑇=|𝑏|,𝑆𝑈=𝑎+𝑏.

En substituant ces expressions dans l’égalité entre les rapports, on obtient 𝐷|𝑏|=|𝑦𝑦|𝑎+𝑏.

Puis, en réarrangeant, on obtient 𝐷=|𝑏||𝑦𝑦|𝑎+𝑏.

Nous voulons trouver une expression de 𝐷 en fonction des coordonnées de 𝑃 et de l’équation de la droite 𝑑. Cela est possible en rappelant que le point 𝑅(𝑥;𝑦) se trouve sur la droite 𝑑, donc ses coordonnées vérifient l’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0𝑦=𝑎𝑥𝑐𝑏.

En utilisant cette expression dans l’équation de 𝐷, puis en simplifiant, on obtient 𝐷=|𝑏|||𝑦||||𝑎+𝑏||=|𝑏𝑦+𝑎𝑥+𝑐|𝑎+𝑏.

Par conséquent, 𝐷=|𝑏𝑦+𝑎𝑥+𝑐|𝑎+𝑏.

Avant de généraliser ce résultat, remarquons que cette formule est également valable si 𝑑 est verticale ou horizontale. En effet, si 𝑑 est verticale, alors la distance perpendiculaire entre la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥=𝑐 et le point 𝑃(𝑥;𝑦) est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses 𝑥:𝐷=||𝑥+𝑐𝑎||.

Nous pourrions aussi bien appliquer la formule précédente avec 𝑎=𝑎, 𝑏=0 et 𝑐=𝑐 pour obtenir 𝐷=|0𝑦+𝑎𝑥+𝑐|𝑎+0=|𝑎𝑥+𝑐||𝑎|=||𝑥+𝑐𝑎||.

Nous voyons que les expressions obtenues sont égales et donc que la formule est encore vraie si 𝑑 est verticale. Nous pourrions faire la même chose si 𝑑 était horizontale. Cela nous donne le résultat suivant.

Théorème : Distance la plus courte entre un point et une droite dans le plan

La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire) 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

On se réfère aussi à la formule ci-dessus comme simplement la distance entre un point et une droite. Étudions sur un exemple la façon dont nous pouvons appliquer la formule pour calculer la distance entre un point et une droite exprimée sous forme cartésienne.

Exemple 1: Calculer la distance entre un point et une droite dans le plan

Calculez la longueur du segment d’extrémité 𝐴(1;9) perpendiculaire à la droite d’équation 5𝑥+12𝑦+13=0.

Réponse

On rappelle que la distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est donnée par la formule 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

Le point 𝐴 a pour coordonnées 𝑥=1 et 𝑦=9. D’après l’équation de 𝑑, on a 𝑎=5, 𝑏=12 et 𝑐=13. En évaluant la formule de la distance en pour valeurs, on obtient 𝐷=|5(1)+12(9)+13|(5)+12=|116|169=11613.

Par conséquent, la distance du point 𝐴(1;9) à la droite 5𝑥+12𝑦+13=0 est égale à 11613 unités de longueur.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer cette formule si la droite est exprimée sous forme vectorielle.

Exemple 2: Calculer la distance entre un point et une droite exprimée sous forme vectorielle dans le plan

Calculez la longueur du segment d’extrémité (5;7) et perpendiculaire à la droite 𝑟=(7;6)+𝑡(5;7).

Réponse

Nous souhaitons calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite. On rappelle donc la formule suivante.

La distance perpendiculaire 𝐷 entre le point (𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

Dans ce cas, nous ne connaissons pas l’équation cartésienne de la droite mais son équation vectorielle. Pour pouvoir appliquer la formule, nous devons commencer par écrire l’équation cartésienne de la droite à partir de son équation vectorielle. Pour pouvoir appliquer la formule, nous devons commencer par écrire l’équation cartésienne de la droite à partir de son équation vectorielle.

On rappelle que si une droite passe par un point (𝑥;𝑦) et est de coefficient directeur 𝑚, alors on peut écrire son équation sous la forme 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥).

Nous pourrons ensuite réécrire cette équation sous forme cartésienne;nous commençons donc par trouver un point sur la droite et son coefficient directeur. Si une droite a pour équation vectorielle 𝑟=𝑎+𝑡𝑣, alors 𝑎 est le vecteur position d’un point de la droite, donc (7;6) est un point de la droite.

On peut donc définir 𝑥=7 et 𝑦=6 dans l’équation de la droite exprimée plus haut. On peut maintenant déterminer le coefficient directeur de la droite en utilisant son vecteur directeur (5;7). Ainsi, la droite a pour vecteur directeur (5;7) et on rappelle que le coefficient directeur d’une droite est le rapport de la variation en ordonnées sur la variation en abscisses:𝑚==75=75.variationenordonnéevariationenabscisse

On peut substituer toutes ces valeurs dans l’équation de la droite, puis la réarranger pour obtenir l’équation cartésienne:𝑦6=75(𝑥(7))𝑦6=7𝑥5495𝑦+7𝑥56+495=0𝑦+7𝑥5+195=07𝑥+5𝑦+19=0.

Il s’agit donc de l’équation cartésienne de la droite 𝑑 et on peut ainsi substituer les valeurs 𝑎=7, 𝑏=5 et 𝑐=19 dans la formule de la distance entre un point et une droite. On substitue également 𝑥=5 et 𝑦=7 dans cette formule pour obtenir 𝐷=|7(5)+5(7)+19|5+7=8974.

On rend le dénominateur entier:8974=89747474=897474.

Par conséquent, la distance perpendiculaire entre le point (5;7) et la droite 𝑟=(7;6)+𝑡(5;7) est de 897474 unités.

Étudions à présent un exemple dans lequel nous devons calculer la distance entre un point et une droite passant par deux points donnés.

Exemple 3: Calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite

Calculez la longueur du segment d’extrémité 𝐴(1;7) et perpendiculaire à la droite passant par les points 𝐵(6;4) et 𝐶(9;5).

Réponse

Rappelons tout d’abord la formule de la distance perpendiculaire d’un point à une droite.

La distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

Nous pouvons donc calculer cette distance en trouvant l’équation cartésienne de la droite passant par les points 𝐵 et 𝐶. On peut calculer son coefficient directeur 𝑚 en calculant le rapport des variations entre les ordonnées et les abscisses des points par lesquels elle passe:𝑚=5(4)96=13.

Maintenant que nous connaissons le coefficient directeur de la droite ainsi que les coordonnées d’un de ses points 𝐵, nous pouvons écrire son équation 𝑦(4)=13(𝑥6), que nous pouvons réarranger sous forme cartésienne:𝑦+4=13(𝑥6)3𝑦12=𝑥6𝑥+3𝑦+6=0.

Les valeurs des coefficients sont les suivantes:𝑎=1, 𝑏=3 et 𝑐=6. À partir des coordonnées de 𝐴, on a 𝑥=1 et 𝑦=7. En substituant ces valeurs dans la formule, puis en simplifiant, on obtient 𝐷=|1(1)+3(7)+6|1+3=|121+6|10=1610=161010=8105.

Par conséquent, la distance perpendiculaire entre le point 𝐴(1;7) et la droite passant par les points 𝐵(6;4) et 𝐶(9;5) est de 8105 unités.

Dans le prochain exemple nous allons calculer les coordonnées d’un point connaissant sa distance à une droite donnée.

Exemple 4: Calculer l’ordonnée inconnue d’un point à partir de sa distance à une droite

En supposant que la distance entre le point de coordonnées (5;𝑦) et la droite d’équation 15𝑥+8𝑦5=0 est de 10 unités de longueur, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑦.

Réponse

On rappelle que la distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

On sait que 𝐷=10, 𝑥=5, 𝑦=𝑦, 𝑎=15, 𝑏=8 et 𝑐=5. En substituant ces valeurs dans la formule de la distance puis en réarrangeant l’expression obtenue, on a 10=|15(5)+8𝑦5|(15)+810=|75+8𝑦5|28910=|70+8𝑦|17170=|70+8𝑦|.

Donc 170=70+8𝑦170=70+8𝑦.ou

En résolvant la première équation, on a 170=70+8𝑦100=8𝑦𝑦=252.

En résolvant la deuxième équation, on a 170=70+8𝑦240=8𝑦𝑦=30.

Par conséquent, les valeurs possibles sont 𝑦=30 et 𝑦=252.

On peut voir sur un graphique pourquoi il y a bien deux solutions à ce problème. On trace la droite d’équation 15𝑥+8𝑦5=0 et celle d’équation 𝑥=5 puisque celle-ci contient tous les points de la forme (5;𝑦).

On voit ainsi qu’il y a deux points d’abscisse 𝑥 égale à 5 qui sont à une distance 10 de la droite 15𝑥+8𝑦5=0.

Dans l’exemple précédent, nous avons déduit les coordonnées d’un point à partir de sa distance perpendiculaire à une droite. Dans le prochain exemple, nous allons déterminer un coefficient inconnu de l’équation d’une droite à partir des coordonnés d’un point et de sa distance à cette droite.

Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite à partir des coordonnées d’un point et de sa distance à la droite

En supposant que le point 𝐴(7;1) est à une distance perpendiculaire de la droite 5𝑥2𝑦+𝑐=0 de 242929, calculez toutes les valeurs possibles de 𝑐.

Réponse

On rappelle que la distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

On sait que 𝑥=7, 𝑦=1, 𝑎=5, 𝑏=2 et 𝐷=242929. En substituant ces valeurs dans la formule et en réarrangeant l’expression obtenue, on a 242929=|5(7)2(1)+𝑐|(5)+(2)242929=|33+𝑐|2924292929=|33+𝑐|24=|33+𝑐|.

Par conséquent, il y a deux possibilités:24=33+𝑐24=33+𝑐.ou

Résoudre la première équation donne 24=33+𝑐𝑐=57.

Résoudre la seconde équation donne, 24=33+𝑐𝑐=9.

Ainsi, 𝑐=57 ou 𝑐=9.

Ce résultat est illustré sur la figure suivante.

Puisque nous connaissons le vecteur directeur de la droite et que nous savons que sa distance au point (7;1) est égale à 𝐷=242929, il y a deux possibilités selon que la droite se situe à droite ou à gauche du point (7;1).

On peut étendre la notion de distance entre un point et une droite à la notion de distance entre deux droites parallèles.

Considérons la distance entre deux points arbitraires sur les droites 𝑑 et 𝑑, notés respectivement 𝑃 et 𝑃, comme indiqué sur la figure suivante.

On peut remarquer qu’il ne s’agit pas de la distance la plus courte entre ces deux droites en construisant un triangle rectangle.

Le segment 𝑃𝑃 est l’hypoténuse du triangle rectangle, il est donc plus long que la distance perpendiculaire entre les deux droites, 𝐷. Le choix des points 𝑃 et 𝑃 étant arbitraire, 𝐷 est la distance la plus courte entre deux points situés sur les deux droites.

Nous remarquons que comme les droites sont parallèles, cette distance reste la même. Nous pouvons donc calculer la distance perpendiculaire entre les droites n’importe où sur ces droites. Si nous choisissons un point arbitraire 𝑃 de la droite 𝑑, la distance perpendiculaire entre ce point et l’autre droite est égale à la plus courte distance entre les droites 𝑑 et 𝑑.

Nous pouvons résumer ce résultat comme suit.

Définition : Distance entre deux droites parallèles dans le plan

La distance entre deux droites parallèles est égale à la distance perpendiculaire entre un point d’une des droites et l’autre droite.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer cette définition au calcul de la distance entre deux droites parallèles.

Exemple 6: Calculer la distance entre deux droites dans le plan

Quelle est la distance entre les droites (16;16)+𝑘(2;4) et (19;17)+𝑘(7;14)?

Réponse

Puisque deux droites parallèles distinctes n’ont pas de point d’intersection, nous commençons par vérifier si ces droites sont parallèles. On rappelle que deux droites exprimées sous forme vectorielle sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. On a (7,14)=72(2,4), donc les deux droites sont parallèles. Nous pouvons donc calculer la distance entre ces droites en appliquant la formule de la distance entre un point et une droite, où nous pouvons choisir n’importe quel point sur la première droite.

On choisit le point (16;16) sur la première droite et on réécrit l’équation de la deuxième droite sous forme cartésienne. Le coefficient directeur 𝑚 est égal à la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. On peut le calculer grâce au vecteur directeur:𝑚=147=2.

En utilisant le coefficient directeur de la droite et le point (19;17), on peut écrire son équation sous la forme:𝑦(17)=2(𝑥19).

On peut alors réarranger cette équation:2𝑥𝑦55=0.

Nous souhaitons calculer la distance perpendiculaire entre le point (16;16) et la droite d’équation 2𝑥𝑦55=0. On rappelle que la distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

On a 𝑥=16, 𝑦=16, 𝑎=2 , 𝑏=1 et 𝑐=55. En substituant ces valeurs dans la formule de la distance, on a 𝐷=|2(16)(16)55|2+(1)=|71|5=7155.

Par conséquent, la distance entre les deux droites est de 7155 unités de longueur.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la distance perpendiculaire entre un point et une droite afin de calculer l’aire d’un polygone.

Exemple 7: Calculer l’aire d’un parallélogramme en utilisant la distance entre deux droites dans le plan

On considère le parallélogramme de sommets de coordonnées 𝐴(1;1), 𝐵(4;5), 𝐶(5;12) et 𝐷(2;8). Calculez l’aire du parallélogramme à l’unité carrée la plus proche.

Réponse

On rappelle que l’aire d’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur. Les côtés opposés d’un parallélogramme étant parallèles, nous pouvons choisir tout point appartenant à un de ses côtés et calculer la distance perpendiculaire de ce point au côté opposé afin de déterminer la hauteur du parallélogramme. Nous pouvons donc choisir 𝐴𝐵 comme base et la distance entre 𝐶 et 𝐴𝐵 comme hauteur. La longueur de la base est la distance entre 𝐴 et 𝐵. Elle est définie par baseunitésdelongueur=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)=(41)+(51)=25=5.

Pour calculer la distance perpendiculaire entre le point 𝐶(5;12) et la droite 𝐴𝐵, on rappelle que la distance 𝐷 entre un point 𝑃(𝑥;𝑦) et une droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.

Nous devons trouver l’équation de la droite passant par les points 𝐴 et 𝐵. Le coefficient directeur de cette droite est défini par 𝑚=𝑦𝑦𝑥𝑥=5141=43.

Ainsi, connaissant un point et le coefficient directeur de la droite, nous pouvons écrire son équation 𝑦1=43(𝑥1), que nous pouvons réécrire sous forme cartésienne 3𝑦3=4𝑥44𝑥3𝑦1=0.

On peut alors déterminer la hauteur du parallélogramme en posant 𝑥=5, 𝑦=12, 𝑎=4, 𝑏=3 et 𝑐=1:hauteurunitésdelongueur=|4(5)3(12)1|4+(3)=|17|5=175.

Enfin, on peut multiplier la base par la hauteur pour trouver l’aire du parallélogramme:aireunitéscarrées=5×175=17.

Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • La distance perpendiculaire est la plus courte distance entre un point et une droite.
  • La distance perpendiculaire 𝐷 entre le point 𝑃(𝑥;𝑦) et la droite 𝑑 d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|𝑎+𝑏.
  • Nous pouvons calculer la distance entre deux droites parallèles en calculant la distance perpendiculaire entre une des droites et un point de l’autre droite.

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