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Vidéo de la leçon : Distance perpendiculaire d’un point à une droite dans le repère cartésien Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un point et une droite, ou entre deux droites parallèles dans le repère cartésien en utilisant la formule appropriée.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la distance la plus courte d’un point à une droite dans le repère cartésien. Voilà donc la situation qui nous intéresse. Nous avons un repère cartésien, une droite et un point. Et nous cherchons à trouver la distance la plus courte entre le point et la droite.

Maintenant, la première question pourrait être : « Eh bien, comment puis-je déterminer dans quelle direction cette distance devrait être ? » Il existe de nombreuses distances possibles entre un point et une droite, selon le point de la droite auquel vous choisissez à connecter. Un fait clé dont vous devez être conscient est que la distance la plus courte entre un point et une droite est la distance perpendiculaire. Donc, quand nous nous référons à la distance entre un point et une droite, c’est cette distance que nous cherchons à calculer.

J’ai donc choisi de mettre l’équation de la droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale 0. Et j’ai choisi de poser que le point qui nous intéresse a pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. Il existe une formule que nous pouvons utiliser pour calculer la distance entre le point et la droite. Et c’est cette formule. Ici, 𝑑, qui représente la distance, est égal à la valeur absolue ou au module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Ces signes de module dans le numérateur signifient qu’on utilise la valeur absolue d’une quantité. Donc, si c’est une valeur positive, c’est juste cette valeur. Mais s’il s’agit d’une valeur négative, alors vous la multipliez par moins un. Ainsi, par exemple, le module de six est de six et le module de moins six vaut également six.

Maintenant, cette formule est un raccourci pratique si vous vous en souvenez. Mais il existe également une méthode plus complète que vous voudrez peut-être utiliser, qui pourrait être un peu plus intuitive. Cette méthode ne considère pas seulement cette petite distance 𝑑, mais la droite complète dont elle fait partie. Maintenant, cette droite est perpendiculaire à la droite qui vous serait donnée dans la question. La première étape consiste donc à trouver son équation.

Rappelez-vous, on sait que les coordonnées d’un point appartenant à cette droite sont 𝑥 un, 𝑦 un. On sait également la pente de cette droite car elle est perpendiculaire à la droite d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. On doit utiliser la relation entre les pentes des droites perpendiculaires, c’est-à-dire qu’ils ont pour produit moins un. Une fois qu’on a trouvé l’équation de cette droite, on doit ensuite résoudre l’équation simultanément avec l’équation de la première droite afin de trouver le point d’intersection des deux droites, qui donnera les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux.

Une fois qu’on obtient les coordonnées de ce point, on utilise ensuite la formule de la distance pour calculer la distance 𝑑 : la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Ce n’est qu’une application du théorème de Pythagore. Donc, comme déjà mentionné, cette méthode sera certainement plus longue et peut-être plus compliquées que l’utilisation de la formule que j’ai indiquée précédemment. Mais c’est cette méthode qui explique cette formule. Nous allons donc voir les deux méthodes dans cette vidéo.

Trouvez la longueur de la perpendiculaire issue du point 𝐴 de coordonnées un, neuf à la droite d’équation moins cinq 𝑥 plus 12 𝑦 plus 13 égale zéro.

Nous allons donc répondre à cette question en utilisant la formule de calcul de la distance entre un point et une droite. Donc, voici la formule. Si j’ai la droite d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro et que j’ai un point ayant pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. Alors, la distance perpendiculaire entre eux, 𝑑, est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Donc, ce que je dois faire, c’est déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 un et 𝑦 un, puis les substituer dans la formule.

Regardons d’abord l’équation de la droite donnée. On la compare avec 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. On constate que 𝑎 est égal à moins cinq, 𝑏 est égal à 12 et 𝑐 est égal à 13. Maintenant, examinons le point 𝐴, qui a pour coordonnées un, neuf. Cela nous dit que 𝑥 un égale un et 𝑦 un égale neuf. Alors maintenant, on a toutes les valeurs dont on a besoin. Et c’est juste un cas qui consiste à les remplacer dans cette formule pour calculer la distance 𝑑.

Nous avons donc 𝑑 égale moins cinq fois un plus 12 fois neuf plus 13, le module de cette expression. Ensuite, nous allons diviser le tout par la racine carrée de moins cinq au carré plus 12 au carré. Cela nous donne le module de moins cinq plus 108 plus 13, le tout divisé par la racine carrée de 25 plus 144. Cela donne le module de 116 sur la racine carrée de 169. Comme 116 est positif, alors son module est juste sa propre valeur. Le numérateur sera donc 116. Et au dénominateur, la racine carrée de 169 est 13 exactement.

Nous avons donc notre réponse au problème. La longueur de la perpendiculaire entre le point de coordonnées un, neuf et la droite d’équation moins cinq 𝑥 plus 12 𝑦 plus 13 égale 0 vaut 116 sur 13.

Trouvez la longueur de la perpendiculaire issue du point moins un, moins sept jusqu’à la droite passant par les points 𝐵 six, moins quatre et 𝐶 neuf, moins cinq.

La première chose dont nous avons besoin est de connaître l’équation de la droite qui relie les points 𝐵 et 𝐶. On va donc chercher cette équation en utilisant la méthode de la forme obtenue à l’aide de la pente et d’un point. Autrement dit, 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Tout d’abord, nous trouverons la valeur de 𝑚, la pente de la droite, en utilisant 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Peu importe dans quel ordre on choisit les valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, on va donc choisir de le faire dans cet ordre. Cela nous donne moins cinq moins moins quatre sur neuf moins six. Cela nous donne une pente de moins un tiers pour cette droite.

Ensuite, on va remplacer l’un de ces points dans l’équation de la droite. Et encore une fois, peu importe le point qu’on choisit. On va remplacer par les coordonnées de 𝐵. On a donc substitué six à 𝑥 un et moins quatre à 𝑦 un. Cela peut être simplifié pour donner 𝑦 plus quatre égale moins un tiers 𝑥 plus deux. Et enfin, si on multiplie toute l’équation par trois et qu’on regroupe tous les termes sur le membre gauche, cela nous donne l’équation de la droite, qui est 𝑥 plus trois 𝑦 plus six égale zéro.

Nous pourrions donc répondre à ce problème en utilisant la formule affichée, selon laquelle la distance la plus courte ou la distance perpendiculaire entre la droite d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro et le point 𝑥 un, 𝑦 un est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Cependant, on va travailler à expliquer le raisonnement mathématique et la logique derrière cette formule dans cette question. Je viens donc de dessiner une figure pour aider à visualiser la situation. On a la droite d’équation 𝑥 plus trois 𝑦 plus six égale zéro et le point 𝐴 de coordonnées moins un, moins sept. Et c’est cette distance 𝑑 qu’on cherche à trouver.

La première chose qu’on va faire est de trouver l’équation de la droite qui relie 𝐴 à la droite d’équation 𝑥 plus trois 𝑦 plus six égale zéro. Il y a maintenant deux informations sur cette droite. On sait les coordonnées d’un point appartenant à la droite, à savoir moins un, moins sept. Et on sait qu’elle est perpendiculaire à la droite d’équation 𝑥 plus trois 𝑦 plus six égale zéro. Voilà donc suffisamment d’informations pour nous permettre de déterminer son équation.

Comme elle est perpendiculaire à la première droite, on peut utiliser le fait que la pente de l’une est égale à l’opposé de l’inverse de la pente de l’autre. Ils ont pour produit moins un. Réarranger l’équation de la première droite nous donne 𝑦 égale moins un tiers 𝑥 moins deux. On peut donc conclure que la pente de la première droite vaut moins un tiers. Cela signifie que la pente d’une droite perpendiculaire doit être égal à trois. On va donc trouver l’équation de cette droite en utilisant la forme obtenue à l’aide de la pente et d’un point. Autrement dit, 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un.

On sait maintenant que 𝑚 vaut trois. Et on sait que le point qu’on va utiliser, le 𝑥 un, 𝑦 un, est le point dont les coordonnées sont moins un, moins sept. Donc, cela nous donne 𝑦 moins moins sept égale trois fois 𝑥 moins moins un. Cela peut être simplifié en quelques lignes pour donner l’équation de la droite 𝑦 égale à trois 𝑥 moins quatre.

Alors maintenant, on a les équations des deux droites. Il y a deux autres étapes qui restent dans la méthode qu’on utilise ici. L’étape suivante consiste à trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites, le point coloré en orange sur le graphique. Pour ce faire, on doit résoudre le système d’équations des deux droites. On va le faire en utilisant la substitution, en substituant l’expression de 𝑦 de l’équation deux dans l’équation un. Donc, cela nous donne 𝑥 plus trois fois trois 𝑥 moins quatre plus six égale zéro.

Maintenant, il y a quelques calculs à effectuer pour résoudre cette équation et déterminer la valeur de 𝑥. Et je vous laisse les faire par vous-même. Mais si vous les faites correctement, cela conduira à 𝑥 égale trois cinquièmes. Maintenant, nous devons trouver la valeur de 𝑦. Nous allons donc remplacer 𝑥 égale trois cinquièmes dans l’équation deux. Nous avons donc 𝑦 égale trois multiplié par trois cinquièmes moins quatre. Et cela nous donne une valeur de moins 11 sur cinq.

Alors maintenant, nous connaissons les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Et il ne reste qu’une étape dans cette méthode. Nous devons trouver la distance entre le point 𝐴 et ce point d’intersection que nous venons de trouver. Donc, pour ce faire, nous pouvons utiliser la formule de la distance, selon laquelle la distance 𝑑 est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Où 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux représentent les coordonnées des deux points dont nous cherchons la distance entre eux. Donc, substituer les valeurs de 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑦 un et 𝑦 deux nous donne ce résultat pour 𝑑.

Maintenant, si vous déterminer sa valeur avec une calculatrice ou par vous-même à l’aide de vos connaissances en arithmétique, cela vous mène à la racine carrée de 640 sur 25. Mais ce résultat peut être simplifié. Nous avons donc une réponse finale simplifiée de huit racine de 10 sur cinq unités de longueur. Vous pouvez confirmer que c’est la même réponse que nous aurions obtenue si nous avions utilisé la formule standard indiquée précédemment.

Si la longueur de la perpendiculaire issue du point moins cinq 𝑦 à la droite d’équation moins 15𝑥 plus huit 𝑦 moins cinq égale zéro est de 10 unités de longueur, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑦.

On nous demande dans cette question de trouver la longueur de la perpendiculaire d’un point à une droite. Nous devons donc rappeler la formule standard pour la calculer. Voici la formule : la longueur de la perpendiculaire entre le point 𝑥 un, 𝑦 un et la droite d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

On nous dit également que, dans cette question particulière, cette longueur est de 10 unités de longueur. Comparons donc les informations générales avec les valeurs données dans cette question. Si on observe d’abord l’équation de la droite, cela nous indique que 𝑎 égale moins 15, 𝑏 égale huit et 𝑐 égale moins cinq. Maintenant, si on observe les coordonnées des points qui nous intéressent, on trouve que 𝑥 un égale moins cinq, et que 𝑦 un est égal à la coordonnée générale 𝑦.

On cherche les valeurs possibles de 𝑦. On a donc besoin d’utiliser ces informations pour configurer puis résoudre une équation. Donc, on va substituer ces cinq valeurs aux termes appropriés dans la formule, en nous rappelant que c’est égal à 10 comme indiqué, et on obtient cette équation. En déterminant la valeur des parties numériques de cette formule, on sait que on a le module de 70 plus huit 𝑦 divisé par 17 qui est égal à 10. Et en multipliant par 17, on obtient le module de 70 plus huit 𝑦 qui est égal à 170.

Voyons maintenant ce que signifie ce module. C’est la valeur absolue de 70 plus huit 𝑦. Donc, 70 plus huit 𝑦 est égal à 170 ou il pourrait être égal à moins 170. Cela signifie qu’on a deux équations du premier degré à résoudre, qui mènent à deux valeurs possibles de 𝑦. La première équation donne huit 𝑦 égale 100, puis 𝑦 égale 100 sur huit, ce qui se simplifie à 25 sur deux. La deuxième équation donne huit 𝑦 égale moins 240. Puis, diviser par huit nous donne 𝑦 égale 30. Donc, dans cette question, il y a deux valeurs possibles de 𝑦. En d’autres termes, 𝑦 égale soit 25 sur deux, soit moins 30.

En résumé, nous avons appris que la distance la plus courte entre un point et une droite est la distance perpendiculaire. Nous avons vu la formule utilisée pour calculer cette distance. La distance 𝑑 est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous avons également vu comment adopter une autre méthodologie pour résoudre un tel problème en résolvant un système d’équations du premier degré.

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