Vidéo : Recherche de la distance d’un point à une droite dans le plan de coordonnées

Apprenez à calculer la distance la plus courte entre un point donné et une droite donnée dans le plan de coordonnées. Il s’agit de la distance le long d’une droite perpendiculaire à la droite donnée.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment trouver la distance la plus courte d’un point à une droite dans le plan de coordonnées. Voilà donc la situation qui nous intéresse. Nous avons un plan de coordonnées et une droite et un point. Et nous cherchons à trouver la distance la plus courte entre le point et la droite.

Maintenant, la première question pourrait être : « Eh bien, comment puis-je déterminer dans quelle direction cette distance devrait être ?» Il existe de nombreuses distances possibles du point à la droite, selon le point de la droite auquel vous choisissez de vous connecter. Un fait clé dont vous devez être conscient est que la distance la plus courte d’un point à une droite est la distance perpendiculaire. Donc, quand nous nous référons à la distance entre un point et une droite, c’est cette distance que nous cherchons à calculer.

J’ai donc choisi d’étiqueter l’équation de la droite sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à 0. Et j’ai choisi d’étiqueter le point qui nous intéresse comme ayant les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. Il existe une formule que nous pouvons utiliser pour calculer la distance entre le point et la droite. Et c’est cette formule ici. 𝑙, qui représente la distance, est égal à la valeur absolue ou au module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, tous divisés par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Ces signes de module dans le numérateur signifient que vous prenez la valeur absolue d’une quantité. Donc, si c’est une valeur positive, c’est juste cette valeur. Mais s’il s’agit d’une valeur négative, vous la multipliez par moins un. Ainsi, par exemple, le module de six est de six et le module de moins six est également de six.

Maintenant, cette formule est un raccourci pratique si vous vous en souvenez. Mais il existe également une méthode plus complète que vous voudrez peut-être utiliser, qui est peut-être un peu plus intuitive. Cette méthode ne considère pas seulement cette petite distance 𝑙, mais la droite complète dont elle fait partie. Maintenant, cette droite est perpendiculaire à la droite qui vous serait donnée dans la question. La première étape consiste donc à trouver son équation.

Rappelez-vous, vous connaissez les coordonnées d’un point sur cette droite, 𝑥 un, 𝑦 un. Vous connaissez également la pente de cette droite car elle est perpendiculaire à la droite 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Vous devez utiliser la relation entre les pentes des droites perpendiculaires, c’est-à-dire qu’elles ont pour produit moins un. Une fois que vous avez trouvé l’équation de cette droite, vous devez ensuite résoudre l’équation simultanément avec l’équation de la première droite afin de trouver le point d’intersection des deux droites, qui donnera les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux.

Une fois que vous avez les coordonnées de ce point, nous utilisons ensuite la formule de distance pour calculer la distance 𝑙, la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un tout carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un tout carré. Ce n’est qu’une application du théorème de Pythagore. Donc, comme je l’ai mentionné, cette méthode sera certainement plus longue et peut-être plus complexe que l’utilisation de la formule que j’ai mentionnée précédemment. Mais c’est la méthode derrière ce que faisait cette formule. Nous allons donc voir les deux méthodes dans cette vidéo.

Trouvez la longueur de la perpendiculaire tirée du point 𝐴 un, neuf à la droite moins cinq 𝑥 plus 12 𝑦 plus 13 est égal à zéro.

Nous allons donc répondre à cette question en utilisant la formule de calcul de la distance entre un point et une droite. Donc, la formule est la suivante. Si j’ai la droite avec l’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro et j’ai un point avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. La distance perpendiculaire entre eux, 𝑙, est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, tous divisés par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Donc, ce que je dois faire, c’est déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 un et 𝑦 un, puis les substituer dans la formule.

Regardons d’abord la droite. Je le compare avec 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. Cela me montre que 𝑎 est égal à moins cinq, 𝑏 est égal à 12 et 𝑐 est égal à 13. Maintenant, regardons le point 𝐴, qui a les coordonnées un, neuf. Cela me dit que 𝑥 un est égal à un et 𝑦 un est égal à neuf. Alors maintenant, j’ai toutes les valeurs dont j’ai besoin. Et c’est juste un cas de les remplacer dans cette formule pour la distance 𝑙.

Nous avons donc que 𝑙 est égal à moins cinq fois un plus 12 fois neuf plus 13, le module de cette quantité. Ensuite, nous allons le diviser par la racine carrée de moins cinq au carré plus 12 au carré. Cela nous donne le module moins cinq plus 108 plus 13 tous divisés par la racine carrée de 25 plus 144. Cela donne le module de 116 sur la racine carrée de 169. Maintenant que 116 est positif, alors son module est juste sa propre valeur. Le numérateur sera donc 116. Et au dénominateur, la racine carrée de 169 est 13 exactement.

Nous avons donc notre réponse au problème. La longueur de la perpendiculaire entre le point un, neuf et la droite moins cinq 𝑥 plus 12 𝑦 plus 13 est égale à 0 est 116 sur 13.

Trouvez la longueur de la perpendiculaire tirée du point moins un, moins sept jusqu’à la droite passant par les points 𝐵 six, moins quatre et 𝐶 neuf, moins cinq.

Donc, la première chose dont nous avons besoin est que nous devons connaître l’équation de la droite qui relie les points 𝐵 et 𝐶. Je vais donc trouver cette équation en utilisant la méthode de la pente du point. 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un. Tout d’abord, nous trouverons la valeur de 𝑚, la pente de la droite, en utilisant 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Peu importe dans quel sens j’alloue 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, j’ai donc choisi de l’allouer dans cet ordre. Cela me donne moins cinq moins moins quatre sur neuf moins six. Cela me donne une pente moins un tiers pour cette droite.

Ensuite, je vais remplacer l’un de ces points dans l’équation de la droite. Et encore une fois, peu importe ce que je choisis. J’ai choisi de remplacer les coordonnées de 𝐵. J’ai donc substitué six à 𝑥 un et moins quatre à 𝑦 un. Cela simplifie pour donner 𝑦 plus quatre est égal à moins un tiers 𝑥 plus deux. Et enfin, si je multiplie toute l’équation par trois et que je regroupe tous les termes sur le côté gauche, cela me donne l’équation de la droite, qui est 𝑥 plus trois 𝑦 plus six est égal à zéro.

Nous pourrions donc répondre à ce problème en utilisant la formule qui est à l’écran, qui nous dit que la distance la plus courte ou la distance perpendiculaire entre la droite 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égale à zéro et le point 𝑥 un, 𝑦 un est donné par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐 partout dans la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Cependant, je vais travailler à travers les mathématiques et la logique derrière cette formule dans cette question. Je viens donc de dessiner un croquis pour aider à visualiser la situation. J’ai la droite 𝑥 plus trois 𝑦 plus six égale zéro et le point 𝐴 avec des coordonnées moins un, moins sept. Et c’est cette distance 𝑙 que je cherche à trouver.

La première chose que je vais faire est de trouver l’équation de la droite qui relie 𝐴 à la droite 𝑥 plus trois 𝑦 plus six est égal à zéro. Il y a maintenant deux choses sur cette droite. Je connais les coordonnées d’un point sur la droite, moins un, moins sept. Et je sais que c’est perpendiculaire à la droite 𝑥 plus trois 𝑦 plus six est égal à zéro. Voilà donc suffisamment d’informations pour me permettre de trouver son équation.

Comme il est perpendiculaire à la première droite, je peux utiliser le fait que les pentes des droites perpendiculaires ont des pentes opposées et inverses. Elles ont pour produit moins un. Réorganiser l’équation de la première droite me donne 𝑦 est moins un troisième 𝑥 moins deux. Je peux donc voir que la pente de la première droite est moins un tiers. Cela signifie que la pente d’une droite perpendiculaire doit être de trois. Je vais donc trouver l’équation de cette droite en utilisant la forme de la pente du point. 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un.

Je sais maintenant que 𝑚 est trois. Et je sais que le point que je vais utiliser, le 𝑥 un, 𝑦 un, est le point dont les coordonnées sont moins un, moins sept. Donc, cela me donne 𝑦 moins moins sept est égal à trois 𝑥 moins moins un. Cela peut être simplifié en quelques lignes d’algèbre pour donner l’équation de la droite 𝑦 égale à trois 𝑥 moins quatre.

Alors maintenant, j’ai les équations des deux droites. Il y a deux autres étapes dans la méthode que j’utilise ici. L’étape suivante consiste à trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites, le point que j’ai étiqueté en orange sur le diagramme. Pour ce faire, je dois résoudre l’équation des deux droites simultanément. Je vais le faire en utilisant la substitution, en substituant l’expression de 𝑦 de l’équation deux à l’équation un. Donc, cela me donne 𝑥 plus trois fois trois 𝑥 moins quatre plus six est égal à zéro.

Maintenant, il y a quelques lignes d’algèbre à travailler pour résoudre cette équation pour 𝑥. Et je vous laisse les remplir vous-même. Mais si vous les faites correctement, cela conduira à 𝑥 est égal à trois cinquièmes. Maintenant, nous devons trouver la valeur de 𝑦. Je vais donc remplacer 𝑥 est égal aux trois cinquièmes dans l’équation deux. Nous avons donc 𝑦 est égal à trois multiplié par les trois cinquièmes moins quatre. Et cela nous donne une valeur moins 11 sur cinq.

Alors maintenant, nous connaissons les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Et il ne reste qu’une étape dans notre méthode. Nous devons trouver la distance entre le point 𝐴 et ce point d’intersection que nous venons de calculer. Donc, pour ce faire, nous pouvons utiliser la formule de distance, qui nous dit que la distance 𝑙 est égale à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un tout carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un tout carré. Où 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux représentent les coordonnées des deux points que nous cherchons à trouver la distance entre. Donc, substituer les valeurs de 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑦 un et 𝑦 deux me donne ce calcul ici pour 𝑙.

Maintenant, si vous évaluez cela sur une calculatrice ou si vous travaillez vous-même l’arithmétique, cela vous mène à la racine carrée de 640 sur 25. Mais cela peut être simplifié. Nous avons donc une réponse finale simplifiée de huit racine 10 sur cinq unités de longueur. Vous pouvez confirmer que c’est la même réponse que nous aurions obtenue si nous avions utilisé cette formule standard plus tôt dans la question.

Si la longueur de la perpendiculaire tirée du point moins cinq 𝑦 à la droite moins 15𝑥 plus huit 𝑦 moins cinq est égal à zéro est de 10 unités de longueur, trouvez toutes les valeurs possibles de 𝑦.

Cette question nous interroge donc sur la longueur de la perpendiculaire d’un point à une droite. Nous devons donc rappeler la formule standard pour le calculer. La formule est la suivante : la longueur de la perpendiculaire entre le point 𝑥 un, 𝑦 un et la droite 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égale à zéro est donnée par le module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

On nous dit également que, dans cette question particulière, cette longueur est de 10 unités de longueur. Comparons donc les informations générales avec les valeurs spécifiques de cette question. Si je regarde d’abord l’équation de la droite, cela me dit que 𝑎 est égal à moins 15, 𝑏 est égal à huit et 𝑐 est égal à moins cinq. Maintenant, si je regarde les coordonnées des points qui nous intéressent, cela me dit que 𝑥 un est égal à moins cinq et 𝑦 on vient de recevoir la coordonnée générale 𝑦.

Je cherche les valeurs possibles de 𝑦. J’ai donc besoin d’utiliser ces informations pour configurer puis résoudre une équation. Donc, substituer ces cinq valeurs aux endroits appropriés de la formule et se souvenir que l’on me dit que c’est égal à 10 me donne cette équation ici. L’évaluation des parties numériques de cela me dit que j’ai le module de 70 plus huit 𝑦 divisé par 17 est égal à 10. Et en multipliant par 17, j’ai que le module de 70 plus huit 𝑦 est égal à 170.

Voyons maintenant ce que signifie ce module. Cela signifie la valeur absolue de 70 plus huit 𝑦. Donc, 70 plus huit 𝑦 est égal à 170 ou il pourrait être égal à moins 170. Cela signifie que j’ai deux équations linéaires à résoudre, conduisant à deux valeurs possibles de 𝑦. La première équation donne huit 𝑦 est égal à 100, puis 𝑦 est égal à 100 sur huit, ce qui simplifie à 25 sur deux. La deuxième équation donne huit 𝑦 est égal à moins 240. Et puis en divisant par huit donne 𝑦 est égal à 30. Donc, dans cette question, il y a deux valeurs possibles de 𝑦. 𝑦 est soit égal à 25 sur deux, soit égal à moins 30.

En résumé, nous avons vu que la distance la plus courte entre un point et une droite est la distance perpendiculaire. Nous avons vu la formule pour calculer cette distance. 𝑙 est égal au module de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐, tous divisés par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous avons également vu comment adopter une approche plus proche des premiers principes pour répondre à un tel problème en résolvant un système d’équations linéaires.

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