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Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que sa vitesse à l’instant 𝑡 secondes est 𝑣 égale 10𝑡 plus deux mètres par seconde, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Sachant que sa position initiale, 𝑟 zéro, est égale à 16 mètres, trouvez sa position à 𝑡 égale trois secondes.
La position à un instant donné se calcule en intégrant la vitesse par rapport à 𝑡. Dans cet exemple, il faut intégrer l’expression 10𝑡 plus deux. L’intégrale de 10𝑡 est cinq 𝑡 au carré. Et l’intégrale de deux est deux 𝑡. Comme il n’y a pas de bornes sur l’intégrale, il faut ajouter la constante 𝑐. On sait que la position initiale 𝑟 zéro est égale à 16. Donc, en 𝑡 égale zéro, 𝑟 est égal à 16.
En utilisant ces valeurs dans l’équation, on trouve 16 égale cinq multiplié par zéro au carré, plus deux multiplié par zéro, plus 𝑐. On en déduit que la constante 𝑐 est égale à 16. La position de la particule à l’instant 𝑡 est cinq 𝑡 au carré plus deux 𝑡 plus 16.
Comme l’énoncé demande la position lorsque 𝑡 est égal à trois secondes. Il faut remplacer 𝑡 par trois dans cette équation. Cela donne 𝑟 égale cinq multiplié par trois au carré plus deux multiplié par trois plus 16. Cinq multiplié par trois au carré égale 45. Et deux multiplié par trois égale six. Ajoutons 45, six et seize, on obtient 67.
Donc, la position à 𝑡 égale trois secondes est de 67 mètres. On peut utiliser l’équation 𝑟 égale cinq 𝑡 au carré plus deux 𝑡 plus 16 pour trouver la position à n’importe quel instant donné.
