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La fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 subit une dilatation horizontale de facteur un tiers et une dilatation verticale de facteur un tiers. Écrivez, en fonction de 𝑓 de 𝑥, l’équation de la fonction transformée.
Dans cette question, on nous donne le graphe d’une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous dit qu’on le dilate horizontalement d’un facteur un tiers. Et qu’on le dilate ensuite verticalement d’un facteur un tiers également. On doit utiliser ces informations pour déterminer l’équation de la fonction transformée en termes de notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. On peut voir qu’on applique deux dilatations à notre fonction 𝑓 de 𝑥 : une dilatation horizontale et une dilatation verticale. Donc, pour répondre à cette question, on doit commencer par rappeler comment représenter algébriquement une dilatation de fonction. Pour cela, il sera plus facile de s’appuyer sur un exemple. Prenons par exemple 𝑦 égale à 𝑔 évaluée en 𝑏 fois 𝑥.
Les valeurs de notre variable 𝑥 sont les valeurs d’entrée de notre fonction, et on peut voir qu’on les multiplie toutes par une valeur 𝑏. On multiplie toutes nos valeurs de 𝑥 par une valeur 𝑏, donc cela produit une dilatation horizontale. Cependant, il nous reste encore à déterminer le facteur de cette dilatation. Et un moyen pour y parvenir consiste à essayer un exemple. Prenons par exemple pour 𝑏 la valeur deux, et disons que 𝑔 de quatre vaut 10. Si 𝑔 de quatre est égal à 10, alors 𝑔 de deux multiplié par deux, qui est également 𝑔 de quatre, est aussi égal à 10. Donc, dans ce cas, on a dû diviser notre valeur d’entrée par deux pour obtenir la même image par notre fonction transformée, dont l’argument 𝑥 est multiplié par deux, que par la fonction d’origine. Donc cette dilatation revient à diviser par deux toutes nos valeurs de 𝑥.
On rappelle que les valeurs de 𝑥 se situent sur l’axe des abscisses, l’axe horizontal. Donc notre dilatation est une dilatation horizontale d’un facteur un demi. Bien sûr, si on utilisait simplement 𝑏 au lieu de remplacer 𝑏 par deux, alors il s’agirait d’une dilatation horizontale d’un facteur un sur 𝑏. À présent, n’oublions pas qu’on nous demande également de faire une dilatation verticale. On peut alors rappeler que les coordonnées d’une courbe sur l’axe vertical correspondent aux images de la fonction. Autrement dit, la coordonnée 𝑦 d’un point représente une image par notre fonction. On en déduit que pour dilater une fonction verticalement, il faut multiplier les valeurs de ses images. Ainsi, 𝑦 égale 𝑏 fois 𝑔 de 𝑥 devrait produire une dilatation verticale. Il nous reste encore à déterminer le facteur de cette dilatation.
Et il se trouve que c’est un peu plus facile dans ce cas. Multiplier la valeur de chacune de nos images par une valeur 𝑏 revient à multiplier toutes les coordonnées 𝑦 de la courbe par 𝑏. Et cela n’affecte en rien nos valeurs de 𝑥. Autrement dit, on ne fait que dilater notre courbe verticalement d’un facteur 𝑏. Très bien, nous sommes maintenant prêts à chercher une équation pour la fonction transformée qui nous est donnée dans l’énoncé. Tout d’abord, on nous dit dans l’énoncé que la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est dilatée horizontalement d’un facteur un tiers. Et on sait exactement comment représenter une dilatation horizontale d’un facteur un sur 𝑏.
Dans notre cas, la dilatation doit être de un tiers, donc on va poser que notre valeur de 𝑏 est égale à trois. Autrement dit, il nous suffit de multiplier par trois toutes les valeurs de 𝑥. On a donc montré que pour dilater horizontalement la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 d’un facteur un tiers, il faut que 𝑦 soit égal à 𝑓 de trois 𝑥.
Mais ce n’est pas la seule chose que l’on doive faire dans cette question. On nous demande également de dilater notre courbe verticalement d’un facteur un tiers. Et grâce à notre seconde règle, on sait exactement comment faire cela. Pour étirer verticalement la courbe d’un facteur un tiers, on va devoir poser notre valeur de 𝑏 égale à un tiers. Autrement dit, il nous suffit de multiplier toutes les images de notre fonction par un tiers. En appliquant cela à notre fonction précédemment transformée, on obtient l’équation 𝑦 égale un tiers fois 𝑓 de trois 𝑥. Et ceci est notre réponse finale.
Par conséquent, on a montré que si la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est dilatée horizontalement d’un facteur un tiers et verticalement d’un facteur un tiers, alors l’équation de la fonction transformée, exprimée en termes de 𝑓 de 𝑥, est 𝑦 égale un tiers multiplié par 𝑓 de trois 𝑥.
