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Laquelle des équations suivantes est l’équation de la sphère de centre huit, moins 15, 10 et passant par le point moins 14, 13, moins 14 ? Est-ce l’option (A) 𝑥 moins huit le tout au carré plus 𝑦 plus 15 le tout au carré plus 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 1 844 ? Est-ce l’option (B) 𝑥 moins huit le tout au carré moins 𝑦 plus 15 le tout au carré moins 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 1 844 ? Ou est-ce l’option (C) 𝑥 moins huit le tout au carré plus 𝑦 plus 15 le tout au carré plus 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 56 ? Ou enfin, est-ce l’option (D) 𝑥 moins huit le tout au carré moins 𝑦 plus 15 le tout au carré moins 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 56 ?
Dans cette question, on nous demande de déterminer laquelle des quatre équations est une équation de la sphère donnée. On nous dit que le centre de cette sphère est le point huit, moins 15, 10. Et on nous dit aussi que cette sphère passe par le point moins 14, 13, moins 14. Il existe plusieurs méthodes différentes que nous pouvons utiliser pour répondre à cette question. Par exemple, nous pourrions examiner les options qui nous sont données et essayer d’éliminer certaines de ces options. Cependant, en regardant ces options, nous pouvons voir qu’elles sont très similaires à la forme standard de l’équation d’une sphère. Nous allons donc répondre à cette question en déterminant simplement la forme standard de l’équation d’une sphère de centre huit, moins 15, 10 et passant par le point moins 14, 13, moins 14.
Nous rappelons qu’une sphère centrée au point 𝑎, 𝑏, 𝑐 avec un rayon 𝑟, nécessairement positif, a pour équation 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré plus 𝑧 moins 𝑐 le tout au carré égale 𝑟 au carré. Cela est ce qu’on appelle la forme standard de l’équation de la sphère. Toutes les sphères peuvent être représentées sous forme standard. Tout ce que nous devons connaitre pour trouver la forme standard de l’équation d’une sphère est son centre et son rayon. Dans cette question, on nous dit déjà que le centre de la sphère est le point huit, moins 15, 10. Par conséquent, dans la forme standard de l’équation de la sphère, la valeur de 𝑎 sera huit, la valeur de 𝑏 sera moins 15 et la valeur de 𝑐 sera 10.
Nous pouvons remplacer ces valeurs dans la forme standard de l’équation de la sphère. Cela signifie que la forme standard de l’équation de la sphère qui nous est donnée dans la question doit être sous la forme 𝑥 moins huit le tout au carré plus 𝑦 plus 15 le tout au carré plus 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 𝑟 au carré, où 𝑟 est le rayon de la sphère. Tout ce que nous avons besoin de faire maintenant pour établir la forme standard de l’équation de la sphère est de trouver la valeur du rayon 𝑟. Pour trouver ce rayon, nous devons nous rappeler exactement ce que signifie le rayon d’une sphère.
Rappelez-vous qu’une sphère est une forme en trois dimensions qui représente tous les points équidistants d’un point appelé le centre. Cette distance s’appelle le rayon de la sphère. Et puisque nous savons que notre sphère passe par le point moins 14, 13, moins 14 et que nous connaissons les coordonnées du centre de la sphère, la distance entre ces deux points doit être égale au rayon de la sphère. Par conséquent, nous pouvons déterminer le rayon de cette sphère en calculant la distance entre ces deux points.
Et pour ce faire, nous rappelons la formule permettant de trouver la distance entre deux points dans l’espace tridimensionnel. La distance entre le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le point 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, 𝑧 indice deux est donnée par la racine carrée de 𝑥 indice un moins 𝑥 indice deux le tout au carré plus 𝑦 indice un moins 𝑦 indice deux le tout au carré plus 𝑧 indice un moins 𝑧 indice deux le tout au carré. Et peu importe dans quel ordre nous notons les deux points ; la distance entre eux sera la même.
La substitution du point sur notre sphère et du centre de notre sphère dans la formule de la distance entre deux points dans l’espace tridimensionnel nous donne que le rayon de la sphère est égal à la racine carrée de moins 14 moins huit le tout au carré plus 13 moins moins 15 le tout au carré plus moins 14 moins 10 le tout au carré. En simplifiant l’expression à l’intérieur de notre symbole de racine carrée, nous obtenons que 𝑟 est égal à la racine carrée de 1844.
Maintenant, nous pourrions simplifier davantage cette expression ; cependant, rappelez-vous, nous essayons de trouver une expression pour 𝑟 au carré pour la forme standard de l’équation de notre sphère. Cela signifie que nous allons de toute façon mettre les deux côtés de cette équation au carré. Cela nous donne 𝑟 au carré égale 1 844. Enfin, nous pouvons substituer cette valeur de 𝑟 au carré dans la forme standard de l’équation de notre sphère.
Nous pouvons conclure que la forme standard de l’équation d’une sphère centrée au point huit, moins 15, 10 et passant par le point moins 14, 13, moins 14 est alors 𝑥 moins huit le tout au carré plus 𝑦 plus 15 le tout au carré plus 𝑧 moins 10 le tout au carré égale 1 844, ce qui, nous le constatons, est la réponse (A).
