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Quelle condition doit-il y avoir sur 𝑧 pour que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑧 sur sept à la puissance 𝑥 pour être une fonction strictement croissante ?
Quelle est la définition d’une fonction strictement croissante ? Une fonction 𝑓 de 𝑥 est dite fonction strictement croissante si 𝑓 de 𝑎 est inférieure à 𝑓 de 𝑏 chaque fois que 𝑎 est inférieure à 𝑏. C’est la définition formelle d’une fonction strictement croissante, mais il s’avère, comme beaucoup de choses, qu’il est plus facile de comprendre ce que cela signifie pour une fonction d’être une fonction strictement croissante en regardant sa représentation graphique.
Considérons la fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑎 à la puissance 𝑥. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 c’est juste la fonction 𝑔 avec 𝑎 remplacé par 𝑧 sur sept. Voyons si nous pouvons représenter graphiquement cette fonction pour différentes valeurs de 𝑎. Lorsque 𝑎 est égal à un, 𝑔 de 𝑥 est égal à un à la puissance 𝑥 et un à la puissance de n’importe quel nombre est un. Nous avons donc la fonction constante 𝑔 de 𝑥 égale un, dont la représentation graphique est illustrée.
Lorsque 𝑎 est strictement supérieur à un, nous avons une fonction de croissance exponentielle ; par exemple, 𝑔 de 𝑥 pourrait être deux à la puissance 𝑥 ou 𝑎 à la puissance 𝑥. Cette fonction est strictement croissante ; lorsque 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 augmente également. Et en regardant notre définition formelle, si nous choisissons deux valeurs de 𝑎 et 𝑏, où 𝑎 est strictement inférieur à 𝑏, alors nous voyons que 𝑓 de 𝑎 est inférieur à 𝑓 de 𝑏. Cela montre que notre définition formelle est vérifiée, mais en réalité, il est préférable de regarder le graphique et de voir si 𝑦 augmente lorsque 𝑥 augmente.
Et enfin, lorsque 𝑎 est inférieur à un, nous avons une stricte décroissance exponentielle. Donc, c’est une fonction strictement décroissante : lorsque 𝑥 augmente, la valeur de 𝑦 diminue. En résumé, lorsque 𝑎 est strictement supérieur à un, la fonction est strictement croissante, lorsque 𝑎 est égal à un, la fonction est constante, et lorsque 𝑎 est inférieur à un, la fonction est strictement décroissante.
Nous nous intéressons à la condition qui fait de notre fonction 𝑓 de 𝑥 une fonction strictement croissante. Nous avons donc besoin que la valeur de 𝑎 soit strictement supérieure à un. Et en regardant la définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que notre valeur de 𝑎 est 𝑧 sur sept, donc la condition que nous exigeons est 𝑧 sur sept soit strictement supérieur à un. Et nous pouvons simplifier cette condition en multipliant les deux membres par sept pour obtenir la condition 𝑧 est strictement supérieure à sept.
