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Étant donné un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 de côté 4,75, calculez le produit scalaire des vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂 arrondissez au centième près.
L’énoncé nous donne des informations sur un triangle 𝐴𝐵𝐶. On nous dit d’abord qu’il s’agit d’un triangle équilatéral. On nous dit également que la longueur du côté de ce triangle est égale à 4,75. Il faut utiliser ces informations pour déterminer le produit scalaire des vecteurs représentés par deux des côtés de ce triangle. C’est le produit scalaire de 𝐀𝐁 par 𝐀𝐂. Et il faut arrondir la réponse au centième près.
La première chose à faire est de dessiner le triangle 𝐴𝐵𝐶. D’après l’énoncé, la longueur des côtés est de 4,75. S’agissant d’un triangle équilatéral, tous les côtés sont de même longueur. Nous savons aussi que comme il s’agit d’un triangle équilatéral, tous les angles intérieurs mesurent 60 degrés. Ce qui suffit à nous fournir plusieurs méthodes pour calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs.
La façon la plus simple est d’utiliser la formule impliquant l’angle entre deux vecteurs. Voyons pourquoi faire ainsi : traçons les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂 sur la figure. En effaçant le côté 𝐵𝐶 de la figure pour faire de la place, on peut tracer les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂. On a alors la norme du vecteur 𝐀𝐁 puisque la longueur du côté est égale à 4,75 ; la norme du vecteur 𝐀𝐂 est égale aussi à 4,75 et l’angle entre ces deux vecteurs mesure 60 degrés. Ceci nous incite donc à utiliser la relation entre deux vecteurs et l’angle qu’ils forment.
Rappelons que si 𝜃 est l’angle formé par les vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 par 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Or, nous avons déjà toutes ces informations sur les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂. L’angle entre ces deux vecteurs mesure 60 degrés, et la norme de ces deux vecteurs est égale à 4,75. Donc, la seule inconnue dans cette équation est le produit scalaire, c’est précisément ce qui nous est demandé. En substituant ces valeurs dans l’équation, on obtient que le cos de 60 degrés est égal au produit scalaire des vecteurs 𝐀𝐁 par 𝐀𝐂 divisé par 4,75 fois 4,75.
Ensuite, il suffit de multiplier par le dénominateur pour en déduire le produit scalaire. On obtient alors que le produit scalaire des vecteurs 𝐀𝐁 par 𝐀𝐂 est égal au cosinus de 60 degrés multiplié par 4,75 au carré. En faisant le calcul, on obtient sous forme décimale 11,28125. Mais rappelez-vous, il est demandé de répondre au centième près, c’est-à-dire avec deux décimales. Il faut donc regarder la troisième décimale pour savoir s’il faut arrondir vers le haut ou vers le bas. Puisqu’elle est inférieure à cinq, il faut arrondir vers le bas. Ce qui donne la réponse finale 11,28.
Mais ce n’est pas la seule façon de répondre à cette question. Nous aurions pu calculer directement ce produit scalaire. Pour ce faire, nous allons écrire entièrement les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂. Il va falloir écrire leurs coordonnées. C’est beaucoup plus difficile et fait appel à la trigonométrie. Commençons par considérer le vecteur 𝐀𝐂 sur la figure. On voit que le vecteur 𝐀𝐂 n’a pas de composante verticale. Il n’a qu’une composante horizontale. D’ailleurs, on connaît sa longueur horizontale. Il mesure 4,75 unités horizontales. Ainsi, le vecteur 𝐀𝐂 a une composante horizontale de 4,75 et une composante verticale nulle.
Cherchons maintenant le vecteur 𝐀𝐁. C’est plus difficile car le vecteur 𝐀𝐁 a à la fois une composante horizontale et verticale. Mais on peut les trouver en dessinant le triangle rectangle suivant. On peut trouver les dimensions de ce triangle rectangle par la trigonométrie. La longueur verticale vaut 4,75 fois le sinus de 60 degrés, et la longueur horizontale 4,75 fois le cosinus de 60 degrés. Et comme le vecteur 𝐀𝐁 a une composante horizontale positive et une composante verticale positive, cela donne les composantes horizontale et verticale de 𝐀𝐁. On a donc montré que le vecteur 𝐀𝐁 est le vecteur de composante horizontale 4,75 fois cosinus de 60 degrés et de composante verticale 4,75 fois sinus de 60 degrés.
Ayant maintenant trouvé les coordonnées des vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂, on peut calculer directement le produit scalaire de ces deux vecteurs. Rappelons que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, il faut multiplier les composantes correspondantes, puis additionner ces produits. En multipliant les premières composantes des vecteurs, on obtient 4,75 cos de 60 degrés multiplié par 4,75. Il faut ensuite ajouter le produit des deuxièmes composantes. C’est 4,75 sin de 60 degrés multiplié par zéro. Et on voit que le deuxième terme est nul, ce qui signifie que ça se simplifie à 4,75 au carré fois le cosinus de 60 degrés. En calculant et en arrondissant au centième près, on trouve de nouveau 11,28.
On a donc vu deux méthodes différentes pour calculer le produit scalaire des vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂, où 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de côté 4,75. Au centième près, on a obtenu 11,28.
