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Vidéo de la leçon : Produit scalaire en 2D Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le produit scalaire de deux vecteurs en 2D.

23:59

Transcription de vidéo

Produit scalaire en deux dimensions

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le produit scalaire entre deux vecteurs. Nous verrons une façon d’interpréter cela géométriquement. Et nous verrons comment nous pouvons utiliser cela pour trouver différentes propriétés de nos vecteurs, par exemple, la norme de deux vecteurs, l’angle entre deux vecteurs, et comment déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires. Tout d’abord, nous allons devoir discuter exactement de ce que nous entendons par le produit scalaire des deux vecteurs. Commençons donc avec un vecteur 𝐮 égal au vecteur 𝑥 un, 𝑦 un et un vecteur 𝐯 égal au vecteur 𝑥 deux, 𝑦 deux.

Maintenant, nous avons déjà vu une façon de multiplier un vecteur. Par exemple, nous savons faire la multiplication scalaire d’un vecteur par un scalaire. Dans cette situation, nous multiplions simplement chaque composante de notre vecteur par notre scalaire. Cependant, c’est le produit entre un vecteur et un scalaire. Le produit scalaire va nous donner une méthode pour multiplier deux vecteurs ensemble. Nous représentons le produit scalaire avec un point entre nos deux vecteurs. Ceci signifie le produit scalaire entre le vecteur 𝐮 et le vecteur 𝐯. Maintenant, pour trouver le produit scalaire des deux vecteurs, nous voulons trouver la somme du produit des composantes correspondantes de nos deux vecteurs. Ainsi, pour les vecteurs 𝐮 et 𝐯, le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 sera 𝑥 un fois 𝑥 deux plus 𝑦 un fois 𝑦 deux. Tout ce que nous faisons est de multiplier les composantes correspondantes, puis de les ajouter ensemble.

Et il y a quelque chose qui mérite d’être soulignée ici. Tout d’abord, nous pouvons voir que nous commençons par deux vecteurs. Cependant, le résultat de ceci va juste être un nombre. Parce que nous nous retrouvons avec un nombre ou un scalaire, c’est pour cela que l’on nomme le produit scalaire. Ensuite, nous pouvons voir dans notre définition que nous devons multiplier les composantes correspondantes ensemble. Nous ne pouvons donc prendre le produit scalaire entre deux vecteurs que s’ils ont le même nombre de composantes, ou en d’autres termes, ils doivent avoir la même dimension. Une autre chose à souligner ici est la position du point dans le produit scalaire. Nous écrivons cela au milieu et non à la base de nos deux vecteurs. Enfin, il convient de souligner que nous pouvons en fait étendre cette définition à des vecteurs de dimensions supérieures.

Si au lieu des vecteurs 𝐮 et 𝐯 nous avons les vecteurs 𝐮 étoile et 𝐯 étoile, où les composantes de 𝐮 étoile sont 𝑢 un, 𝑢 deux jusqu’à 𝑢 𝑛 et les composantes de 𝐯 étoile sont 𝑣 un, 𝑣 deux toutes jusqu’à 𝑣 𝑛, puis encore une fois, nous pouvons calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs exactement de la même manière. Nous prenons le produit des composantes correspondantes, puis nous les ajoutons ensemble. 𝐮 étoile point 𝐯 étoile est égal à 𝑢 un 𝑣 un plus 𝑢 deux 𝑣 deux tout en ajoutant jusqu’à 𝑢 𝑛 𝑣 𝑛. Et, bien sûr, cela n’a de sens que si 𝐮 étoile et 𝐯 étoile ont la même dimension. Cependant, dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur le cas de deux dimensions. Voyons maintenant un exemple de calcul du produit scalaire de deux vecteurs.

Étant donné que le vecteur 𝐯 est sept, deux et le vecteur 𝐮 est trois, six, trouvez le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs, et nous pouvons voir que ces deux vecteurs sont en deux dimensions. En effet, chaque vecteur a deux composantes. On nous demande de trouver le produit scalaire entre ces deux vecteurs. Commençons donc par rappeler comment nous calculons le produit scalaire des deux vecteurs en dimension deux. Nous rappelons que si 𝐮 est le vecteur 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐯 est le vecteur 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors pour calculer le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯, nous voulons additionner les produits des composantes correspondantes. En d’autres termes, 𝐮 point 𝐯 est égal à 𝑥 un fois 𝑥 deux plus 𝑦 un fois 𝑦 deux.

Dans la question, on nous dit que 𝐮 est le vecteur trois, six. Nous allons donc définir 𝑥 un égal à trois et 𝑦 un égal à six. Et on nous dit aussi que 𝐯 est le vecteur sept, deux. Nous allons donc définir 𝑥 deux égal à sept et 𝑦 deux égal à deux. Cela signifie que nous sommes maintenant prêts à calculer le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯. Nous devons trouver le produit de toutes les composantes correspondantes, puis les additionner. Dans ce cas, c’est trois fois sept plus six fois deux. Et cela nous donne 21 plus 12, que nous pouvons calculer et est égal à 33. Par conséquent, nous avons pu montrer que le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 est 33.

Cependant, il y a une dernière question que nous pouvons poser. Et si on nous demandait plutôt de calculer le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐮 ? Pour calculer le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐮, nous configurons notre produit scalaire de la même manière. Cependant, les rôles de 𝐮 et 𝐯 seraient inversés. Maintenant, pour calculer ce produit scalaire, nous voulons multiplier les composantes correspondantes et ajouter les résultats. Cela nous donne sept fois trois plus deux fois six. Mais maintenant nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Nous savons que la multiplication est commutative, nous aurions donc pu les écrire dans l’ordre inverse. Et puis, nous obtiendrions exactement la même affirmation comme le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯. Et comme la multiplication est toujours commutative, nous pouvons toujours le faire.

Donc pour ces deux vecteurs spécifiques, le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐮 est égal à 33. Cependant, le plus important, pour deux vecteurs quelconques 𝐮 et 𝐯, le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 va être égal au produit scalaire entre 𝐯 et 𝐮. Et bien sûr, il convient de souligner la même affirmation en ce qui concerne les dimensions supérieures.

Voyons un exemple de la façon dont nous pouvons utiliser le produit scalaire pour calculer la norme d’un vecteur.

𝐀 point 𝐀 est égal à vide.

Dans cette question, on nous donne un vecteur 𝐀 et on nous demande de trouver une expression pour le produit scalaire entre le vecteur 𝐀 et lui-même. Il y a plusieurs façons de le faire. Commençons par le vecteur 𝐀 étant un vecteur à deux dimensions. Alors soit le vecteur 𝐀 avec la composante horizontale 𝑎 un et la composante verticale 𝑎 deux. Nous voulons trouver une expression pour le produit scalaire de 𝐀 avec lui-même. Maintenant, rappelez-vous, pour trouver un produit scalaire entre deux vecteurs, nous devons multiplier les composantes correspondantes, puis ajouter tous les résultats. Donc, dans ce cas, nous multiplions les premières composantes ensemble. C’est 𝑎 un fois 𝑎 un. Et puis nous devons ajouter les deuxièmes composantes multipliées ensemble. C’est 𝑎 deux fois 𝑎 deux. Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela pour nous donner 𝑎 un au carré plus 𝑎 deux au carré.

Maintenant, nous pourrions laisser notre réponse comme ceci pour le cas bidimensionnel. Cependant, cela équivaut en fait à un résultat très utile. Nous devons noter que cela apparaît dans la norme de 𝐀. Rappelons que la norme d’un vecteur est la somme des carrés de ses composantes puis on prend la racine carrée de cette valeur. Dans ce cas, la norme de 𝐀 est la racine carrée de 𝑎 un au carré plus 𝑎 deux au carré. Et c’est bien sûr la racine carrée de l’expression que nous avons pour le produit scalaire entre 𝐀 et lui-même.

Donc si nous devions élever au carré la norme de 𝐀, nous verrions quelque chose d’intéressant. La norme de 𝐀 au carré est 𝑎 un au carré plus 𝑎 deux au carré, les sommes des carrés de ses composantes. Par conséquent, nous avons montré que, dans le cas bidimensionnel, le produit scalaire entre 𝐀 et lui-même est égal à la norme de 𝐀 au carré. Et en fait, nous pouvons montrer que le même résultat est vrai pour les vecteurs dans n’importe quel nombre de dimensions. Si nous posons 𝐀 le vecteur de dimension 𝑛 𝑎 un, 𝑎 deux jusqu’à 𝑎 𝑛, alors nous pouvons calculer le produit scalaire entre le vecteur 𝐀 et lui-même de la même manière. Nous multiplions les composantes correspondantes et ajoutons les résultats. C’est 𝑎 un fois 𝑎 un plus 𝑎 deux fois 𝑎 deux, et nous additionnons jusqu’à 𝑎 𝑛 fois 𝑎 𝑛.

Nous pouvons simplifier chaque terme de la même manière qu’avant. Et de la même manière, les sommes des carrés des composantes seront la norme de 𝐀 au carré. Par conséquent, nous avons pu montrer le produit scalaire entre un vecteur 𝐀 et lui-même est égal à la norme de 𝐀 au carré.

Voyons maintenant comment utiliser ce résultat pour nous aider à prouver une formule très utile pour le produit scalaire. Nous voulons utiliser le produit scalaire pour nous aider à trouver l’angle entre deux vecteurs. Alors considérons les deux vecteurs suivants : vecteur 𝐮 et vecteur 𝐯. Et rappelez-vous, ce qui est important avec les vecteurs est leur norme et leur direction, afin que nous puissions dessiner nos deux vecteurs en commençant à l’origine. Nous voulons trouver la valeur de 𝜃, qui est l’angle entre nos deux vecteurs. Et disons aussi que 𝐮 est le vecteur 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐯 est le vecteur 𝑥 deux, 𝑦 deux .

Et avant de continuer, il convient de souligner que le même raisonnement que nous allons utiliser fonctionnera dans des dimensions supérieures. Cependant, il est plus facile de visualiser cela en deux dimensions. Pour nous aider à trouver la valeur de 𝜃, nous allons utiliser ce que nous savons du produit scalaire et de la trigonométrie. Tout d’abord, nous construisons le triangle suivant en construisant le vecteur 𝐯 moins 𝐮. Et nous savons que nous pouvons trouver une expression pour ce vecteur en soustrayant 𝐮 de 𝐯 en ce qui concerne les composantes. C’est le vecteur 𝑥 deux moins 𝑥 un, 𝑦 deux moins 𝑦 un.

À ce stade, nous pouvons faire deux choses sur ce diagramme. Essayons d’abord d’appliquer les lois des cosinus à ce diagramme. Rappelez-vous, nous pouvons trouver les longueurs de ces vecteurs en prenant leurs normes. Et notre angle 𝜃 est opposé au côté avec une norme de 𝐯 moins 𝐮. Par conséquent, en appliquant les lois des cosinus à ce triangle, nous obtenons la norme de 𝐯 moins 𝐮 le tout au carré est égal à la norme de 𝐮 au carré plus la norme de 𝐯 au carré moins deux fois la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯 multiplié par le cosinus de 𝜃.

Maintenant, si nous connaissions les vecteurs 𝐮 et 𝐯, nous pourrions trouver l’angle entre eux en utilisant cette formule. Cependant, nous pouvons simplifier cette formule en utilisant ce que nous savons des produits scalaires. Rappelez-vous, un vecteur en produit scalaire avec lui-même est égal à sa norme au carré. Par conséquent, la norme de 𝐯 moins 𝐮 le tout au carré est en fait égale au vecteur 𝐯 moins 𝐮 point le vecteur 𝐯 moins 𝐮. Et nous connaissons une expression par composantes du vecteur 𝐯 moins 𝐮. Nous pouvons donc écrire ces deux vecteurs complètement et calculer le produit scalaire. Nous devons multiplier les premières composantes ensemble, puis ajouter le produit des deuxièmes composantes. Cela se simplifie pour nous donner 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré.

Distribuons maintenant les carrés sur nos deux parenthèses. En distribuant et en réarrangeant, nous obtenons 𝑥 deux au carré plus 𝑥 un au carré moins deux 𝑥 un 𝑥 deux plus 𝑦 deux au carré plus 𝑦 un au carré moins deux 𝑦 un 𝑦 deux. Et au début, il pourrait sembler que nous ne simplifions du tout. Cependant, nous pouvons maintenant simplifier cette expression. Tout d’abord, nous remarquons que 𝑥 un au carré plus 𝑦 un au carré est la norme de 𝐮 au carré. De même, 𝑥 deux au carré plus 𝑦 deux au carré est la norme de 𝐯 au carré. Et pour nos deux derniers termes, nous allons commencer par éliminer le facteur commun de moins deux. Et cela nous donne un terme supplémentaire de moins deux fois 𝑥 un 𝑥 deux plus 𝑦 un 𝑦 deux.

Mais nous savons comment simplifier 𝑥 un fois 𝑥 deux plus 𝑦 un fois 𝑦 deux en utilisant notre produit scalaire. À l’intérieur de nos parenthèses se trouve exactement le produit scalaire entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯. Alors réfléchissons exactement à ce que nous avons montré. Nous avons trouvé deux expressions différentes pour la norme de 𝐯 moins 𝐮 le tout au carré. Par conséquent, ces deux expressions doivent être égales. Egalisons donc ces deux expressions. Nous pouvons immédiatement voir quelques façons de simplifier. Par exemple, nous pouvons soustraire la norme de 𝐮 au carré et la norme de 𝐯 au carré des deux membres de l’équation. Cela nous laisse avec moins deux fois la norme de 𝐮 multipliée par la norme de 𝐯 fois le cosinus de 𝜃 est égal à moins deux fois le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯.

Bien sûr, nous pouvons simplifier davantage. Nous pouvons diviser par moins deux. Et rappelez-vous, lorsque nous avons initialement posé ce problème, nous voulions trouver l’angle entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯. Donc en particulier, il ne serait pas très utile si 𝐮 ou 𝐯 était le vecteur nul car nous ne pourrions pas de toute façon trouver l’angle entre ces vecteurs. Cela n’aurait aucun sens. Donc dans ce contexte, il est logique que la norme de 𝐮 et la norme de 𝐯 ne soient pas nulles. Nous allons donc diviser par ceci, et cela nous donne un résultat vraiment utile. Si 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Et bien sûr, nous pouvons résoudre pour trouver 𝜃 en prenant la réciproque de cosinus des deux membres de cette équation.

Et il y a quelque chose d’intéressant à souligner concernant notre valeur de 𝜃. Notre valeur de 𝜃 va être comprise entre zéro et 180 degrés inclus. Et cela a du sens si nous regardons notre diagramme. Bien sûr, dans tout diagramme, il y a deux valeurs possibles pour 𝜃. Nous pourrions avoir l’angle interne entre nos deux vecteurs, ou nous pourrions avoir l’angle externe entre ces deux vecteurs. Les deux sont des solutions à cette équation ; cependant, nous nous intéressons à l’angle interne.

Voyons un exemple de la façon dont nous pourrions utiliser cela pour trouver l’angle entre deux vecteurs.

Étant donné les vecteurs 𝐮 quatre, un et 𝐯 deux, cinq, trouvez leur produit scalaire et l’angle entre eux au dixième près.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs bidimensionnels 𝐮 et 𝐯, et on nous demande de déterminer deux choses. Tout d’abord, nous devons trouver le produit scalaire des deux vecteurs. Ensuite, nous devons trouver l’angle entre ces deux vecteurs, et nous devons donner notre réponse au dixième près. Pour ce faire, commençons par rappeler comment nous calculons le produit scalaire des deux vecteurs. Nous rappelons que si 𝐮 est le vecteur 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐯 est le vecteur 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le produit scalaire entre 𝐮 et 𝐯 est la somme des produits de leurs composantes correspondantes. Donc 𝐮 point 𝐯 est 𝑥 un fois 𝑥 deux plus 𝑦 un fois 𝑦 deux.

Nous voulons utiliser ceci pour trouver le produit scalaire entre le vecteur quatre, un et le vecteur deux, cinq. Nous devons multiplier les composantes correspondantes ensemble puis les ajouter. C’est quatre fois deux plus un fois cinq. Et bien sûr, cela se simplifie pour nous donner huit plus cinq, ce qui est égal à 13. La partie suivante de cette question veut que nous déterminions l’angle entre ces deux vecteurs. Commençons donc par rappeler comment nous procédons. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯.

Nous avons déjà trouvé le produit scalaire entre ces deux vecteurs, alors trouvons la norme de chaque vecteur. Rappelez-vous, pour trouver la norme d’un vecteur, nous devons additionner les carrés des composantes et prendre la racine carrée de cette valeur. La norme de 𝐮 est la racine carrée de quatre au carré plus un au carré, que nous pouvons calculer et est égale à la racine carrée de 17. De même, la norme de 𝐯 sera la racine carrée de deux au carré plus cinq au carré, que nous pouvons calculer et est la racine carrée de 29. Maintenant nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre formule. Cela nous donne le cosinus de 𝜃 est égal à 13 divisé par la racine carrée de 17 fois la racine carrée de 29.

Enfin, nous pouvons trouver notre valeur de 𝜃 en prenant la réciproque de cosinus des deux membres de l’équation. Cela nous donne 𝜃 est égal au arccosinus de 13 divisé par radical 17 fois radical 29, qui au dixième près est égale à 54.2 degrés, ce qui est notre réponse finale. Il convient également de souligner qu’il peut être utile de vérifier notre réponse en dessinant ces deux vecteurs sur un diagramme. Si nous faisions cela, nous obtiendrions un croquis qui ressemble à ceci. La composante horizontale de 𝐮 est quatre, et la composante verticale est un. Et la composante horizontale de 𝐯 est deux, et la composante verticale est cinq. Et nous dessinons les deux vecteurs en partant de l’origine, ce qui nous donne que 𝜃 est l’angle entre eux. Nous pourrions alors également trouver la valeur de 𝜃 en utilisant la trigonométrie. De toute façon, nous avons montré que le produit scalaire entre ces deux vecteurs était de 13 et l’angle entre eux au dixième près était de 54,2 degrés.

Voyons maintenant un exemple où l’angle entre nos vecteurs est obtus.

Trouvez l’angle entre les vecteurs 𝐮 trois, moins deux et 𝐯 moins cinq, moins trois. Donnez votre réponse au dixième près.

Nous voulons trouver l’angle entre deux vecteurs. Commençons donc par esquisser la situation. Notre vecteur 𝐮 a la composante horizontale trois et la composante verticale moins deux. Et notre vecteur 𝐯 a une composante horizontale moins cinq et une composante verticale moins trois. Nous voulons trouver l’angle entre ces deux vecteurs. Ce sera l’angle 𝜃, et nous connaissons une formule pour le faire. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯.

Donc pour trouver notre valeur de 𝜃, nous devons trouver le produit scalaire de nos deux vecteurs et leurs deux normes. Commençons par le produit scalaire. Rappelez-vous, pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs, nous multiplions les composantes correspondantes et ajoutons le résultat. Cela nous donne trois fois moins cinq plus moins deux fois moins trois, que nous pouvons calculer et est égal à moins neuf. Trouvons maintenant la norme de nos vecteurs 𝐮 et 𝐯. Commençons par la norme de 𝐮. Nous devons prendre la racine carrée des carrés de la somme de nos composantes. La norme de 𝐮 est la racine carrée de trois au carré plus moins deux le tout au carré, que nous pouvons calculer et est la racine carrée de 13.

Nous pouvons faire la même chose pour trouver la norme de 𝐯. C’est la racine carrée de moins cinq au carré plus moins trois au carré, qui est la racine carrée de 34. Maintenant nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre formule et prendre la réciproque de cosinus pour trouver notre valeur de 𝜃. Cela nous donne que 𝜃 sera l’arccosinus de moins neuf divisé par la racine carrée de 13 fois la racine carrée de 34, ce qui, au dixième près, est notre réponse finale de 115,3 degrés.

Voyons maintenant un dernier exemple de la façon dont cette formule d’angle peut être utilisée.

Étant donné que 𝐀 est le vecteur moins quatre, 𝑘 et 𝐁 est le vecteur moins 12, moins trois et 𝐀 est perpendiculaire à 𝐁, déterminez la valeur de 𝑘.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs et on nous dit que 𝐀 est perpendiculaire à 𝐁. Nous devons l’utiliser pour déterminer notre valeur de 𝑘. Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que si 𝐀 et 𝐁 sont perpendiculaires, l’angle entre eux doit être égal à 90 degrés. Et cela est utile car nous connaissons également une formule impliquant l’angle entre deux vecteurs. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, alors le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁. Et dans notre question, nos vecteurs sont perpendiculaires, donc l’angle entre eux, 𝜃, devrait être égal à 90 degrés.

Donc nous pouvons poser la question, que se passe-t-il si nous remplaçons la valeur de 90 degrés dans cette formule ? Eh bien, le cosinus de 90 degrés est égal à zéro. Par conséquent, le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 devrait être égal à zéro. Et nous pouvons voir que la seule façon dont cela se produira sera si le produit scalaire entre 𝐀 et 𝐁 est nul. Cela nous donne un résultat vraiment utile sur deux vecteurs. Si 𝐮 et 𝐯 sont perpendiculaires, alors leur produit scalaire doit être égal à zéro. Nous pouvons maintenant utiliser ceci pour répondre à notre question. 𝐀 et 𝐁 sont perpendiculaires, donc leur produit scalaire est égal à zéro. Donc nous pouvons trouver une équation pour 𝐀 en résolvant le produit scalaire de ces deux vecteurs est égal à zéro.

Rappelez-vous, pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs, nous multiplions les composantes correspondantes et ajoutons les résultats. Ainsi, le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est moins quatre fois moins 12 plus 𝑘 fois moins trois, ce que nous pouvons simplifier. Moins quatre fois moins 12 est 48, et 𝑘 fois moins trois est moins trois 𝑘. Et rappelez-vous, cela est égal à zéro car 𝐀 et 𝐁 sont perpendiculaires. Maintenant, nous pouvons simplement réorganiser cette équation pour 𝑘. Nous ajoutons trois 𝑘 aux deux membres de notre équation et divisons par trois, ce qui nous donne si les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont perpendiculaires, alors notre valeur de 𝑘 doit être égale à 16.

Récapitulons maintenant les points clés de cette vidéo. Premièrement, nous avons vu si 𝐮 est un vecteur avec des composantes 𝑢 un, 𝑢 deux jusqu’à 𝑢 𝑛 et 𝐯 est le vecteur avec des composantes 𝑣 un, 𝑣 deux jusqu’à 𝑣 𝑛, alors nous pouvons calculer le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 en multipliant les composantes correspondantes puis en ajoutant tous ces éléments. Nous avons également vu que cela n’a de sens que s’ils ont le même nombre de composantes. En d’autres termes, nos vecteurs doivent avoir la même dimension. Nous avons également vu que le résultat que nous obtenons du produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. C’est pour cela il s’appelle parfois le produit scalaire.

Ensuite, nous avons vu quelques résultats utiles impliquant le produit scalaire, le plus important étant si 𝜃 est l’angle entre 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Et cela nous donne un résultat utile. Si 𝐮 et 𝐯 sont des vecteurs perpendiculaires, l’angle entre eux doit être de 90 degrés. Et le cosinus de 90 est zéro, donc la seule façon que cela peut arriver est si le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 est nul.

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