Fiche explicative de la leçon : Produit scalaire en 2D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le produit scalaire de deux vecteurs en 2D

Il y a trois façons de multiplier des vecteurs. Premièrement, vous pouvez effectuer une multiplication par un scalaire, ce qui consiste à multiplier chaque composante du vecteur par un nombre réel, par exemple, 3𝑣. Dans ce cas, nous multiplions chaque composante du vecteur 𝑣 par le nombre trois. Deuxièmement, on peut multiplier un vecteur par un autre vecteur. Ici, il y a deux méthodes différentes, le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans cette fiche explicative, nous ne verrons que le produit scalaire, avec quelques applications intéressantes, et quelques exemples.

Supposons que nous ayons un vecteur 𝑢 de coordonnées (𝑥;𝑦) et un vecteur 𝑣 de coordonnées (𝑥;𝑦), et que l’on nous ait demandé de trouver le produit scalaire de ces vecteurs. Cela serait alors écrit comme 𝑢𝑣. Notez ici que le point est placé au milieu des deux vecteurs, et non au milieu de leur base. Maintenant, pour calculer le produit scalaire, nous devons écrire les composantes de chaque vecteur, les multiplier une à une, et ajouter les nombres résultants: 𝑢𝑣=𝑥𝑥+𝑦𝑦. Ceci est illustré dans l’exemple 1.

Exemple 1: Déterminer le produit scalaire de vecteurs en 2D

Étant donné le vecteur 𝑣=(7;2) et le vecteur 𝑢=(3;6), trouvez 𝑢𝑣.

Réponse

On a 𝑢𝑣=(7;2)(3;6)=73+26=21+12=33. Remarquez dans cet exemple que nous avons écrit « 73 », qui est une autre manière d’écrire « 7×3 ». On utilise la première notation pour éviter toute confusion avec le produit vectoriel, qui s’écrit avec une croix au lieu d’un point. Remarquez également que le produit scalaire donne une réponse qui est une valeur numérique, autrement dit un scalaire. Il convient de noter ici que le produit scalaire est appelé ainsi pour cette raison.

En résumé, le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits des composantes correspondantes. Dans l’exemple 1, nous avons trouvé le produit des composantes selon 𝑥, puis ajouté le produit des composantes selon 𝑦, puisque les vecteurs 𝑢 et 𝑣 étaient tous deux sous la forme (𝑥;𝑦).

Dans l’exemple 1, nous avons cherché à déterminer le produit scalaire de vecteurs qui s’écrivent sous la forme (𝑥;𝑦), qui sont des vecteurs à deux dimensions. On peut aussi trouver le produit scalaire de vecteurs à trois, quatre ou même 𝑛 dimensions, à condition que les deux vecteurs aient la même dimension. Le procédé pour trouver le produit scalaire de vecteurs de dimensions supérieures à deux est très similaire. D’abord, nous multiplions la première composante de chaque vecteur, puis ajoutons le produit des secondes composantes, puis continuons ce processus jusqu’à ce que nous atteignions le produit de la 𝑛-ième composante de chaque vecteur.

Étant donné les vecteurs 𝑢=(𝑢;𝑢;;𝑢) et 𝑣=(𝑣;𝑣;;𝑣), on peut calculer 𝑢𝑣 comme suit: (𝑢;𝑢;;𝑢)(𝑣;𝑣;;𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣++𝑢𝑣. À nouveau, pour un exemple numérique, la réponse que l’on obtiendrait pour le produit scalaire de deux vecteurs de plus grande dimension serait un scalaire.

Avant de regarder des applications du produit scalaire, rappelons comment calculer la norme d’un vecteur. Ceci est illustré dans l’exemple 2.

Exemple 2: Déterminer la norme d’un vecteur

Déterminez la norme du vecteur 𝐴𝐵=(5;12).

Réponse

Tout d’abord, représentons le vecteur par un schéma.

Nous pouvons calculer sa norme en déterminant sa longueur grâce au théorème de Pythagore. Ainsi, la norme de 𝐴𝐵, généralement notée 𝐴𝐵, est calculée comme suit: 5+12=169=13.

À ce stade, il convient de noter une application du produit scalaire. Si l’on calculait le produit scalaire 𝐴𝐵𝐴𝐵; on trouverait 55+1212=5+12. Si l’on compare la norme et le produit scalaire, on peut voir que 𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐵.

Continuons maintenant notre étude du produit scalaire. Une autre application utile du produit scalaire est la possibilité de calculer l’angle entre deux vecteurs. Ceux-ci peuvent être de dimension deux ou bien de dimension 𝑛. Une application du produit scalaire est que le produit scalaire de deux vecteurs unitaires dans la direction de 𝑢 et de 𝑣 est égal au cosinus de l’angle entre eux: cos𝜃=𝑢𝑣𝑢𝑣.

En réarrangeant de façon à isoler 𝜃, on voit que 𝜃=𝑢𝑣𝑢𝑣.cos

Voyons ce concept de plus près dans les exemples 3 et 4.

Exemple 3: Déterminer l’angle entre deux vecteurs

Étant donné les vecteurs 𝑢=(4;1) et 𝑣=(2;5), déterminez leur produit scalaire et l’angle entre les deux au dixième près.

Réponse

Au début, il peut être utile de représenter la situation par un schéma.

Afin de répondre à la première partie, on doit trouver le produit scalaire entre les deux vecteurs. 𝑢𝑣=24+51=13.

Pour déterminer l’angle entre les deux vecteurs, on doit aussi déterminer la norme de chaque vecteur: 𝑢=4+1=17;𝑣=2+5=29.

Maintenant, on remplace dans notre formule réarrangée pour trouver la valeur de 𝜃: 𝜃=131729=13493=54,2().coscosaudixièmeprès

Nous avons donc trouvé que l’angle entre les deux vecteurs représentés sur le schéma est 54,2.

Exemple 4: Déterminer l’angle entre deux vecteurs qui ne sont pas dans le premier quadrant

Déterminez l’angle entre les vecteurs 𝑢=(3;2) et 𝑣=(5;3). Donner votre réponse au dixième près.

Réponse

Encore une fois, commençons par tracer une figure.

On a ensuite besoin de calculer le produit scalaire des deux vecteurs: 𝑢𝑣=35+23=9.

Maintenant, calculons la norme de chaque vecteur: 𝑢=(5)+(3)=34;𝑣=3+(2)=13.

Enfin, on remplace dans la formule pour trouver 𝜃: 𝜃=93413=9442=115,3().coscosaudixièmeprès

Exemple 5: Déterminer l’angle entre deux vecteurs qui ne sont pas dans le premier quadrant

Déterminez l’angle entre les vecteurs 𝑢=(1;0) et 𝑣=12;12. Si nécessaire, donner la réponse au dixième près.

Réponse

Pour cette question, nous avons un vecteur dans le sens des 𝑥 positifs. On a donc besoin de calculer le produit scalaire des deux vecteurs: 𝑢𝑣=112+012=12.

Maintenant, calculons la norme de chaque vecteur: 𝑢=(1)+(0)=1;𝑣=12+12=1.

Enfin, on remplace les valeurs trouvées dans la formule pour trouver 𝜃: 𝜃=1=𝑐𝑜𝑠12=135().cosaudixièmeprès

Points Clés

Nous avons établi que le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢=(𝑢;𝑢;;𝑢) et 𝑣=(𝑣;𝑣;;𝑣) est calculé de la manière suivante en multipliant chaque composante une à une: (𝑢;𝑢;;𝑢)(𝑣;𝑣;;𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣++𝑢𝑣; ce qui donne un résultat qui est un nombre, appelé scalaire. Par ailleurs, nous avons utilisé le fait que le produit scalaire des vecteurs unitaires, dans la direction de 𝑢 et 𝑣, 𝑢𝑢 et 𝑣𝑣, est égal au cosinus de l’angle entre eux: cos𝜃=𝑢𝑣𝑢𝑣.

Cela peut être utilisé pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

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