Fiche explicative de la leçon: Produit scalaire en 2D Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le produit scalaire de deux vecteurs en 2 dimensions.

Il existe trois types de multiplications de vecteurs. Premièrement, la multiplication scalaire, qui consiste à multiplier chaque composante du vecteur par un nombre réel, par exemple . Ici, on multiplie chaque composante du vecteur par le nombre trois. Deuxièmement, on peut « multiplier » un vecteur par un autre vecteur ; il existe deux types de produits : le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans cette leçon, nous ne parlerons que du produit scalaire.

Soit un vecteur et un vecteur . Leur produit scalaire se note . Notez que le point se place à mi-hauteur entre les deux vecteurs, et non en bas. Pour calculer le produit scalaire, on écrit les composantes des deux vecteurs, on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur, et on additionne les produits obtenus.

L’exemple 1 montre comment faire.

Remarquez que dans cet exemple, on a écrit «  » et non pas «  ». On utilise la première notation pour éviter toute confusion avec le produit vectoriel, qui lui se note à l’aide d’une croix ou d’un V inversé, et non pas avec un point. Notez également qu’un produit scalaire donne une valeur réelle, un scalaire. C’est pourquoi on l’appelle produit scalaire.

Voyons ce qui se passe lorsqu’on calcule un produit scalaire , où est un réel non nul et et . Les composantes de sont alors et on obtient

De même, on obtient et

Comme il s’agit d’une propriété importante, prenons-en note.

De plus, d’après la définition, et comme la multiplication est commutative, on obtient

Ce qui prouve la commutativité du produit scalaire.

Soient maintenant trois vecteurs , , et calculons le produit scalaire . On a  ; par conséquent,

Enfin, on obtient

Cette équation montre que le produit scalaire est distributif.

Considérons une propriété utile du produit scalaire lorsqu’on s’intéresse au produit scalaire d’un vecteur par lui-même, qu’on va calculer dans l’exemple suivant.

Pour comprendre l’intérêt de ce résultat, calculons la norme de ce vecteur. Commençons par dessiner le vecteur.

Sa norme est sa longueur et se calcule à l’aide du théorème de Pythagore. Ainsi, la norme de , qu’on note usuellement , se calcule comme suit : 

Si on compare la norme et le produit scalaire, on obtient la propriété suivante.

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’interpréter géométriquement comme l’explique l’encadré de la définition suivante.

Définition : Définition géométrique du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs et est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l’angle qu’ils forment :  où est l’angle entre et .

L’interprétation géométrique montre que plus les deux vecteurs sont « proches », plus leur produit scalaire augmente, car plus l’angle est petit, plus son cosinus augmente. Par conséquent, la valeur maximale du produit scalaire de deux vecteurs de normes données se produit lorsqu’ils ont la même direction et le même sens, c’est-à-dire quand l’angle entre eux est nul.

Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires de même direction et de même sens est ce qui, comme , donne

Ceci est cohérent avec ce qu’on a trouvé plus haut sur le produit scalaire d’un vecteur par lui-même.

Lorsque deux vecteurs et sont colinéaires mais de sens opposés, l’angle entre eux mesure , dont le cosinus vaut , donc leur produit scalaire est égal à

D’autre part, lorsque deux vecteurs et sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul puisque le cosinus de l’angle qu’ils forment ( ) est nul. C’est une propriété importante qui peut servir à vérifier si deux vecteurs dont on connaît les composantes sont orthogonaux.

Voyons un exemple qui exploite cette propriété.

Exemple 3: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs dans un carré

Le carré a un côté de 10 cm. Que vaut  ? 

Réponse

Pour répondre à cette question, commençons par dessiner le carré et les vecteurs et .

On voit que et sont orthogonaux car deux côtés adjacents d’un carré sont perpendiculaires. L’angle entre les deux vecteurs mesure , et, comme , on a

La réponse est .

Passons à un autre exemple qui exploite la propriété de vecteurs orthogonaux.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment calculer un produit scalaire à partir de sa définition géométrique.

Exemple 5: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs dans un triangle

Soit un triangle isocèle tel que et , calculez .

Réponse

Commençons par dessiner le triangle et les vecteurs et .

On nous demande de calculer . Pour cela, il faut trouver l’angle entre et et la norme de .

Pour déterminer l’angle entre les deux vecteurs, on trace un vecteur équivalent à de sorte que les origines de et de coïncident.

Dans le triangle isocèle , . L’angle entre et mesure  ; on a donc

Pour déterminer la norme de , comme on nous donne les longueurs de et , on considère simplement que les normes des vecteurs sont leurs longueurs en centimètres. On cherche donc la longueur . Pour cela, on utilise la loi des sinus dans le triangle . Ça donne

On peut maintenant calculer en écrivant que où est l’angle entre et . En substituant les normes de et et la valeur de dans l’équation, on obtient

Sachant que , on obtient

Enfin, voyons comment retrouver la loi des cosinus en utilisant la distributivité du produit scalaire et sa définition géométrique. Pour trois points quelconques , , et , on peut écrire

En développant, on obtient

Comme , on a

Soit l’angle entre et comme indiqué sur le schéma ci-dessus. On a

L’angle entre et mesure  ; on a donc

Et comme pour tout , on obtient ce qui correspond à la loi des cosinus, avec , , , et .

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.