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Fiche explicative de la leçon: Produit scalaire en 2D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le produit scalaire de deux vecteurs en 2 dimensions.

Il existe trois types de multiplications de vecteurs. Premièrement, la multiplication scalaire, qui consiste à multiplier chaque composante du vecteur par un nombre réel, par exemple 3𝑣. Ici, on multiplie chaque composante du vecteur 𝑣 par le nombre trois. Deuxièmement, on peut « multiplier » un vecteur par un autre vecteur;il existe deux types de produits:le produit scalaire et le produit vectoriel. Dans cette leçon, nous ne parlerons que du produit scalaire.

Soit un vecteur 𝑢𝑢,𝑢 et un vecteur 𝑣𝑣,𝑣. Leur produit scalaire se note 𝑢𝑣. Notez que le point se place à mi-hauteur entre les deux vecteurs, et non en bas. Pour calculer le produit scalaire, on écrit les composantes des deux vecteurs, on multiplie les composantes correspondantes de chaque vecteur, et on additionne les produits obtenus.

Définition : Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢=𝑢,𝑢 et 𝑣=𝑣,𝑣 se calcule en multipliant les composantes correspondantes de chaque vecteur et en additionnant les produits obtenus:𝑢𝑣=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

L’exemple 1 montre comment faire.

Exemple 1: Calcul du produit scalaire de vecteurs bidimensionnels

Soient les vecteurs 𝑣=(7;2) et 𝑢=(3;6), calculez 𝑢𝑣.

Réponse

Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢=𝑢,𝑢 et 𝑣=𝑣,𝑣 est égal à 𝑢𝑣=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

Par conséquent, on a 𝑢𝑣=(7,2)(3,6)=73+26=21+12=33.

Remarquez que dans cet exemple, on a écrit « 73 » et non pas « 7×3 ». On utilise la première notation pour éviter toute confusion avec le produit vectoriel, qui lui se note à l’aide d’une croix ou d’un V inversé, et non pas avec un point. Notez également qu’un produit scalaire donne une valeur réelle, un scalaire. C’est pourquoi on l’appelle produit scalaire.

Voyons ce qui se passe lorsqu’on calcule un produit scalaire 𝑘𝑢𝑣, 𝑘 est un réel non nul et 𝑢=𝑢,𝑢 et 𝑣=𝑣,𝑣. Les composantes de 𝑘𝑢 sont alors 𝑘𝑢,𝑘𝑢 et on obtient 𝑘𝑢𝑣=𝑘𝑢𝑣+𝑘𝑢𝑣=𝑘𝑢𝑣+𝑢𝑣=𝑘𝑢𝑣.

De même, on obtient 𝑢𝑘𝑣=𝑘𝑢𝑣 et 𝑘𝑢𝑘𝑣=𝑘𝑘𝑢𝑣.

Comme il s’agit d’une propriété importante, prenons-en note.

Propriété : Multiplication scalaire et produit scalaire

Pour tous réels 𝑘 et 𝑘, on a 𝑘𝑢𝑘𝑣=𝑘𝑘𝑢𝑣.

De plus, d’après la définition, 𝑣𝑢=𝑣𝑢+𝑣𝑢, et comme la multiplication est commutative, on obtient 𝑣𝑢=𝑢𝑣+𝑢𝑣=𝑢𝑣.

Ce qui prouve la commutativité du produit scalaire.

Propriété : Commutativité du produit scalaire

Le produit scalaire est commutatif:𝑢𝑣=𝑣𝑢.

Soient maintenant trois vecteurs 𝑢=𝑢,𝑢, 𝑣=𝑣,𝑣, et 𝑤=𝑤,𝑤 calculons le produit scalaire 𝑢𝑣+𝑤. On a 𝑣+𝑤=𝑣+𝑤,𝑣+𝑤;par conséquent, 𝑢𝑣+𝑤=𝑢(𝑣+𝑤)+𝑢𝑣+𝑤=𝑢𝑣+𝑢𝑤+𝑢𝑣+𝑢𝑤=𝑢𝑣+𝑢𝑣+𝑢𝑤+𝑢𝑤.

Enfin, on obtient 𝑢𝑣+𝑤=𝑢𝑣+𝑢𝑤.

Cette équation montre que le produit scalaire est distributif.

Propriété : Distributivité du produit scalaire

Le produit scalaire est distributif:𝑢𝑣+𝑤=𝑢𝑣+𝑢𝑤.

Considérons une propriété utile du produit scalaire lorsqu’on s’intéresse au produit scalaire d’un vecteur par lui-même, qu’on va calculer dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Calcul du produit scalaire d’un vecteur par lui-même

Soit 𝐴𝐵=(5;12), calculez 𝐴𝐵𝐴𝐵.

Réponse

Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢=𝑢;𝑢 et 𝑣=𝑣;𝑣 est égal à 𝑢𝑣=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

Comme 𝑢=𝑣=(5;12), on a (5,12)(5,12)=55+1212=25+144=169.

Pour comprendre l’intérêt de ce résultat, calculons la norme de ce vecteur. Commençons par dessiner le vecteur.

Sa norme est sa longueur et se calcule à l’aide du théorème de Pythagore. Ainsi, la norme de 𝐴𝐵, qu’on note usuellement 𝐴𝐵, se calcule comme suit:𝐴𝐵=5+12=169=13.

Si on compare la norme et le produit scalaire, on obtient la propriété suivante.

Propriété : Produit scalaire et norme

La norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de son produit scalaire par lui-même:𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐵.

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’interpréter géométriquement comme l’explique l’encadré de la définition suivante.

Définition : Définition géométrique du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l’angle qu’ils forment:𝑢𝑣=𝑢𝑣𝜃,cos𝜃 est l’angle entre 𝑢 et 𝑣.

L’interprétation géométrique montre que plus les deux vecteurs sont « proches », plus leur produit scalaire augmente, car plus l’angle est petit, plus son cosinus augmente. Par conséquent, la valeur maximale du produit scalaire de deux vecteurs de normes données se produit lorsqu’ils ont la même direction et le même sens, c’est-à-dire quand l’angle entre eux est nul.

Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires de même direction et de même sens est 𝑢𝑣=𝑢𝑣0,cos ce qui, comme cos0=1, donne 𝑢𝑣=𝑢𝑣.

Ceci est cohérent avec ce qu’on a trouvé plus haut sur le produit scalaire d’un vecteur par lui-même.

Lorsque deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires mais de sens opposés, l’angle entre eux mesure 180, dont le cosinus vaut 1, donc leur produit scalaire est égal à 𝑢𝑣=𝑢𝑣.

D’autre part, lorsque deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul puisque le cosinus de l’angle qu’ils forment ( 90 ) est nul. C’est une propriété importante qui peut servir à vérifier si deux vecteurs dont on connaît les composantes sont orthogonaux.

Propriété : Produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Réciproquement, lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux.

Voyons un exemple qui exploite cette propriété.

Exemple 3: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs dans un carré

Le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a un côté de 10 cm. Que vaut 𝐴𝐵𝐵𝐶?

Réponse

Pour répondre à cette question, commençons par dessiner le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 et les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶.

On voit que 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont orthogonaux car deux côtés adjacents d’un carré sont perpendiculaires. L’angle entre les deux vecteurs mesure 90, et, comme cos90=0, on a 𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐵𝐶90=0.cos

La réponse est 𝐴𝐵𝐵𝐶=0.

Passons à un autre exemple qui exploite la propriété de vecteurs orthogonaux.

Exemple 4: Calcul d’une composante d’un vecteur sachant qu’il est orthogonal à un autre

Sachant que 𝐴=(4,𝑘), 𝐵=(12;3), et 𝐴𝐵, déterminez la valeur de 𝑘.

Réponse

𝐴 et 𝐵 sont deux vecteurs orthogonaux;cela implique que leur produit scalaire est nul. Calculons leur produit scalaire à l’aide de leurs composantes:𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐴𝐵,𝐴,𝐴 sont les composantes de 𝐴 et 𝐵,𝐵 sont celles de 𝐵.

En remplaçant les composantes de 𝐴 et 𝐵 dans l’équation, on obtient 𝐴𝐵=4(12)+𝑘(3)𝐴𝐵=483𝑘.

Comme 𝐴 et 𝐵 sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul, ce qui donne 483𝑘=03𝑘=48𝑘=16.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment calculer un produit scalaire à partir de sa définition géométrique.

Exemple 5: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle isocèle tel que 𝐴𝐵=𝐴𝐶=6cm et 𝑚𝐴=120, calculez 𝐶𝐴𝐵𝐶.

Réponse

Commençons par dessiner le triangle 𝐴𝐵𝐶 et les vecteurs 𝐶𝐴 et 𝐵𝐶.

On nous demande de calculer 𝐶𝐴𝐵𝐶. Pour cela, il faut trouver l’angle entre 𝐶𝐴 et 𝐵𝐶 et la norme de 𝐵𝐶.

Pour déterminer l’angle 𝜃 entre les deux vecteurs, on trace un vecteur 𝑢 équivalent à 𝐵𝐶 de sorte que les origines de 𝑢 et de 𝐶𝐴 coïncident.

Dans le triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶, 𝑚𝐶=𝑚𝐵=1801202=30. L’angle entre 𝐶𝐵 et 𝑢 mesure 180;on a donc 𝜃=18030=150.

Pour déterminer la norme de 𝐵𝐶, comme on nous donne les longueurs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, on considère simplement que les normes des vecteurs sont leurs longueurs en centimètres. On cherche donc la longueur 𝐵𝐶. Pour cela, on utilise la loi des sinus dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Ça donne 630=𝐵𝐶120𝐵𝐶=612030𝐵𝐶=6𝐵𝐶=63.sinsinsinsincm

On peut maintenant calculer 𝐶𝐴𝐵𝐶 en écrivant que 𝐶𝐴𝐵𝐶=𝐶𝐴𝐵𝐶𝜃,cos𝜃 est l’angle entre 𝐶𝐴 et 𝐵𝐶. En substituant les normes de 𝐶𝐴 et 𝐵𝐶 et la valeur de 𝜃 dans l’équation, on obtient 𝐶𝐴𝐵𝐶=663150.cos

Sachant que cos150=32, on obtient 𝐶𝐴𝐵𝐶=66332𝐶𝐴𝐵𝐶=54.

Enfin, voyons comment retrouver la loi des cosinus en utilisant la distributivité du produit scalaire et sa définition géométrique. Pour trois points quelconques 𝐴, 𝐵, et 𝐶 , on peut écrire 𝐵𝐶=𝐵𝐶𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶𝐵𝐴+𝐴𝐶.

En développant, on obtient 𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐵𝐴𝐴𝐶+𝐴𝐶𝐵𝐴+𝐴𝐶.

Comme 𝐵𝐴𝐴𝐶=𝐴𝐶𝐵𝐴, on a 𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶+2𝐵𝐴𝐴𝐶.

Soit 𝜃 l’angle entre 𝐵𝐴 et 𝐴𝐶 comme indiqué sur le schéma ci-dessus. On a 𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶+2𝐵𝐴𝐴𝐶𝜃.cos

L’angle entre 𝐴𝐵 et 𝑢 mesure 180;on a donc 𝜃=180𝑚𝐵𝐴𝐶.

Et comme coscos(180𝑥)=𝑥 pour tout 𝑥, on obtient 𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶2𝐵𝐴𝐴𝐶𝐵𝐴𝐶,cos ce qui correspond à la loi des cosinus, 𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴,cos avec 𝑎=𝐵𝐶, 𝑏=𝐴𝐶, 𝑐=𝐵𝐴, et 𝐴=𝐵𝐴𝐶.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢=𝑢,𝑢 et 𝑣=𝑣,𝑣 se calcule en multipliant les composantes correspondantes des deux vecteurs et en additionnant les produits obtenus:𝑢𝑣=𝑢𝑣+𝑢𝑣.
  • On a 𝑘𝑢𝑘𝑣=𝑘𝑘𝑢𝑣.
  • Le produit scalaire est commutatif:𝑢𝑣=𝑣𝑢.
  • Le produit scalaire est distributif:𝑢𝑣+𝑤=𝑢𝑣+𝑢𝑤.
  • Le produit scalaire de deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l’angle qu’ils forment:𝑢𝑣=𝑢𝑣𝜃,cos𝜃 est l’angle entre 𝑢 et 𝑣.
  • Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Réciproquement, si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors les deux vecteurs sont orthogonaux.

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