Transcription de la vidéo
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle où la mesure de l’angle 𝐴 est égale à 40 degrés, la longueur du côté 𝑎 est égale à cinq centimètres et la longueur du côté 𝑏 est égale à quatre centimètres. Si le triangle existe, alors déterminez toutes les valeurs possibles des autres longueurs et angles du triangle 𝐴𝐵𝐶. Donnez les longueurs au centième près et les angles à la seconde d’arc près.
On rappelle que dans tout triangle 𝐴𝐵𝐶, d’après la loi des sinus, 𝑎 sur sinus 𝐴 est égal à 𝑏 sur sinus 𝐵, qui est égal à 𝑐 sur sinus 𝐶. On utilise les lettres minuscules pour noter les longueurs des côtés opposés aux angles correspondants. Dans cette question, on nous dit que l’angle 𝐴 mesure 40 degrés, le côté 𝑎 cinq centimètres et le côté 𝑏 quatre centimètres. Commençons par calculer la ou les valeurs de l’angle 𝐵. En remplaçant nos valeurs dans la formule on obtient quatre sur sinus 𝐵 égale cinq sur sinus 40 degrés.
On prend l’inverse de ces deux fractions et on obtient sinus 𝐵 sur quatre égale sinus 40 sur cinq. En multipliant les deux membres de cette équation par quatre, on obtient sinus 𝐵 égale sinus 40 degrés divisé par cinq, fois quatre. On peut alors appliquer la fonction réciproque du sinus des deux côtés de l’équation pour obtenir la mesure de l’angle 𝐵. Saisir cela dans la calculatrice nous donne 30,946 et ainsi de suite. On a obtenu un résultat en degrés, mais on nous demande de donner notre réponse à la seconde d’arc près. En utilisant la touche degrés, minutes et secondes de notre calculatrice scientifique, on obtient la réponse de 30 degrés, 56 minutes et 46 secondes.
En utilisant notre connaissance du cercle trigonométrique, on peut voir qu’une seconde valeur comprise entre zéro et 180 degrés est possible pour notre angle . On peut calculer cette seconde valeur en soustrayant 30 degrés, 56 minutes et 46 secondes à 180 degrés. Cela nous donne une réponse de 149 degrés, trois minutes et 14 secondes. Comme cette valeur est inférieure à 180 degrés, elle pourrait effectivement correspondre à la mesure d’un angle dans notre triangle. Cependant, il est précisé dans l’énoncé que l’angle 𝐴 mesure 40 degrés. Et puisque dans un triangle, la somme des angles est égale à 180 degrés, et que 40 plus 149 est supérieur à 180, alors cela ne peut pas être la mesure de notre angle. La seule mesure possible pour l’angle 𝐵 est 30 degrés, 56 minutes et 46 secondes.
À présent, on va utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés pour calculer la mesure de l’angle 𝐶. La mesure de l’angle 𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐶 doit faire 180 degrés. On peut remplacer notre valeur de l’angle 𝐴 et notre valeur de l’angle 𝐵 dans cette équation. Après avoir additionné ces deux valeurs, il suffit de soustraire 70 degrés, 56 minutes et 46 secondes à 180 degrés. Cela nous donne une réponse de 109 degrés, trois minutes et 14 secondes.
Enfin, on doit calculer la longueur du côté 𝑐. En utilisant à nouveau la loi du sinus, on a 𝑐 sur sinus de 109 degrés, trois minutes et 14 secondes est égal à cinq sur sinus de 40 degrés. Nous pouvons alors multiplier les deux côtés de l’équation par le sinus de l’angle 𝐶 pour obtenir que la longueur 𝑐 est égale à cinq sur sinus de 40 degrés, multiplié par sinus de 109 degrés, trois minutes et 14 secondes. Saisir le membre de droite de cette équation dans notre calculatrice nous donne une valeur de 𝑐 égale à 7,3524 et ainsi de suite. On arrondit ce résultat au centième pour obtenir que 𝑐 est égal à 7,35 centimètres.
Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, les angles dont on ne connaissait pas la valeur mesurent 30 degrés, 56 minutes, 46 secondes et 109 degrés, trois minutes, 14 secondes. Et le côté dont on ne connaissait pas la longueur mesure 7,35 centimètres.
