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Un élève monte le circuit illustré dans la figure. Au départ, l’interrupteur est ouvert. Lorsque l’étudiant ferme l’interrupteur, le courant circulant dans le circuit augmente-t-il ou diminue-t-il ?
En regardant cette figure, nous voyons un circuit simple. Il y a une pile fournissant une tension. Et il y a deux résistances disposées en parallèle l’une avec l’autre. Sur l’une des branches contenant une résistance, nous voyons qu’un interrupteur est actuellement ouvert. Nous voulons savoir quand l’étudiant ferme l’interrupteur, de sorte que cette section inférieure du circuit soit maintenant une boucle complète et que le courant puisse la traverser, ce courant global dans le circuit augmentera-t-il ou diminuera-t-il ? C’est une question intéressante. Et avant de comprendre ce qui arrive au courant lorsque l’interrupteur est fermé, nous allons d’abord déterminer où le courant peut se déplacer lorsque l’interrupteur est ouvert.
En regardant notre pile, nous voyons que le courant conventionnel se déplacera dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Donc, il viendra ici, puis il atteindra ce point de jonction dans le circuit. Si l’interrupteur au bas du circuit était fermé, cela signifierait que le courant a la possibilité de voyager à travers cette branche inférieure. Mais bien sûr, l’interrupteur est ouvert. Et le courant n’a pas cette option. Cela signifie que 100 pourcents du courant passera par la branche supérieure, à travers cette résistance, puis reviendra à la borne négative de la pile. C’est le courant dans le circuit avec l’interrupteur ouvert.
Mais ensuite on nous dit que l’étudiant ferme l’interrupteur. Lorsque cela se produit, il est maintenant possible pour le courant de continuer vers le bas lorsqu’il atteint cette partie du circuit. Il y a un chemin fermé à suivre. Il est donc capable de traverser l’autre résistance, puis de rejoindre l’autre branche. Et comme nous l’avons dit, la question est de savoir ce qui arrive au courant lorsque l’interrupteur est fermé. Est-ce qu’il augmente globalement ou diminue-t-il globalement ?
Commençons par répondre à cette question en rappelant une loi des circuits électriques, la loi d’Ohm. Cette loi dit que pour une résistance à résistance constante, si nous multiplions cette valeur de résistance par le courant qui la traverse, cela équivaut à la différence de potentiel aux bornes de la résistance. En regardant notre circuit, nous voyons qu’il n’a pratiquement pas d’annotations. Mais cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas en ajouter nous-mêmes. Et si nous allions sur notre pile et disions que cette pile produit une différence de potentiel de 𝑉 ? Et pas seulement cela, mais nous pouvons également annoter nos résistances sans nom. Appelons la résistance supérieure 𝑅 indice un. Et nous appellerons la résistance inférieure 𝑅 indice deux. Notez que nous n’avons pas précisé quelles sont ces valeurs ni même comment elles se rapportent les unes aux autres. Nous leur donnons simplement des noms.
Nous nous intéressons globalement à deux états de ce circuit. Celui que nous pourrions appeler l’état avant. C’est quand l’interrupteur est toujours ouvert et que le courant ne passe que par une seule résistance. Si nous appliquons la loi d’Ohm dans ce scénario avant que l’interrupteur ne soit fermé, alors nous pouvons dire que 𝑉, la différence de potentiel créée par la pile, est égale à 𝐼 - nous l’appellerons 𝐼 indice 𝑏, le courant dans ce circuit avant la fermeture de l’interrupteur - multiplié par la seule résistance du circuit, qui est 𝑅 indice un. Rappelons que lorsque l’interrupteur est ouvert, le courant n’a pas d’autre choix que de voyager dans cette branche supérieure du circuit à travers la résistance 𝑅 indice un. Il ne traverse pas 𝑅 indice deux.
Alors, avant la fermeture de l’interrupteur, voici l’équation de la loi d’Ohm. Et nous pouvons la réorganiser en fonction de ce courant, 𝐼 indice 𝑏. 𝐼 indice 𝑏, le courant dans le circuit avant la fermeture de l’interrupteur, est égal au potentiel fourni par la pile divisé par 𝑅 indice un. Bien sûr, nous ne connaissons pas les valeurs de 𝑉 et 𝑅 indice un, mais nous n’en avons pas besoin. Nous avons seulement besoin de d’exprimer 𝐼 indice 𝑏 en fonction du courant après la fermeture de l’interrupteur, que nous appellerons 𝐼 indice 𝑐. Alors, regardons cela maintenant. Regardons le courant dans le circuit après la fermeture de l’interrupteur.
Avant d’appliquer la loi d’Ohm à l’état après la fermeture de l’interrupteur, il y a un point important à souligner. Lorsque l’interrupteur est fermé, nous avons noté que le courant se divise entre les deux branches parallèles du circuit. En d’autres termes, si nous choisissons un point sur l’une ou l’autre de ces deux branches parallèles, nous n’obtiendrons pas le courant total du circuit. Mais puisque c’est le courant total du circuit que nous voulons résoudre, nous allons analyser ce circuit en un point où le courant n’est pas divisé, avant de se répartir entre les branches. Analysons le circuit en ce point ici même.
En appliquant la loi d’Ohm à ce scénario, nous pouvons dire une fois de plus que la différence de potentiel fournie par la pile est égale au courant total dans le circuit à ce point, ce que nous appellerons 𝐼 indice 𝑐, multiplié par la résistance totale, maintenant nous l’appellerons simplement 𝑅 indice 𝑡, de notre circuit. En comparant brièvement cette équation avec notre équation précédente que nous avons utilisée pour résoudre 𝐼 indice 𝑏, nous pouvons voir que le nœud du problème est 𝑅 indice 𝑡, la résistance totale du circuit, par rapport à 𝑅 indice un. C’est la comparaison entre ces deux valeurs qui déterminera si 𝐼 indice 𝑐 est supérieur ou inférieur à 𝐼 indice 𝑏. C’est-à-dire si le courant a augmenté ou diminué.
Alors, quelle est la valeur de 𝑅 indice 𝑡 ? Quelle est la résistance totale équivalente de notre circuit lorsque l’interrupteur est fermé ? Dans ces conditions, nous avons deux résistances disposées en parallèle. Nous les avons appelés 𝑅 indice un et 𝑅 indice deux. Lorsque les résistances sont disposées de cette manière et qu’il y en a exactement deux, il existe une relation mathématique particulière pour leur résistance globale ou équivalente. Nous pouvons appeler cette résistance équivalente 𝑅 indice deux 𝑝, lorsque deux résistances sont disposées en parallèle. Dans ce cas, leur résistance globale est égale au produit de leurs résistances individuelles divisé par leur somme.
Appliquons maintenant cette relation à notre scénario avec 𝑅 indice un et 𝑅 indice deux. Lorsque nous faisons cela, nous voyons que la résistance totale de notre circuit parallèle, lorsque le commutateur est fermé, est égale à 𝑅 un fois 𝑅 deux divisée par 𝑅 un plus 𝑅 deux. À première vue, remplacer 𝑅 indice 𝑡 par cette expression peut ne pas sembler très utile. Après tout, lorsque nous réarrangeons en fonction de 𝐼 indice 𝑐, le courant total du circuit après la fermeture du commutateur, tout ce que nous obtenons à droite est cette expression. Et rappelez-vous, nous ne connaissons pas 𝑉, 𝑅 indice un ou 𝑅 indice deux. Mais heureusement, nous n’en avons pas besoin. Tout ce que nous devons savoir, c’est ce qui est le plus grand, 𝐼 indice 𝑐 ou 𝐼 indice 𝑏.
La façon dont nous pouvons le déterminer est de réécrire cette expression de dénominateur dans notre équation 𝐼 indice 𝑐. Notez qu’elle contient 𝑅 indice un multiplié par 𝑅 indice deux divisé par la somme de 𝑅 indice un plus 𝑅 indice deux. Cela signifie que nous pourrions écrire cela d’une manière différente. Nous pourrions exprimer cela comme 𝑅 indice un multiplié par l’ensemble, 𝑅 indice deux divisé par 𝑅 indice un plus 𝑅 indice deux. L’importance de cela est que maintenant nous avons 𝑉 divisé par 𝑅 indice un, ce qui correspond à 𝐼 indice 𝑏. C’est égal, simplement, à 𝑉 divisé par 𝑅 indice un.
Alors, toute notre question repose maintenant sur cela. Est-ce que cette expression ici, 𝑅 indice deux divisé par 𝑅 indice un plus 𝑅 indice deux, est-ce supérieur ou inférieur à un ? Si elle est supérieure à un, cela signifie que lorsque nous le multiplions par 𝑅 indice un, dans l’ensemble, par rapport à 𝐼 indice 𝑏, 𝐼 indice 𝑐 sera inférieur. D’autre part, si 𝑅 indice deux divisé par 𝑅 indice un plus 𝑅 indice deux est inférieur à un, cela signifie que lorsque nous le multiplions par 𝑅 indice un, notre courant global, 𝐼 indice 𝑐, augmentera par rapport à 𝐼 indice 𝑏. Alors, qu’en est-il ? Est-ce que 𝑅 indice deux divisé par 𝑅 indice un plus 𝑅 indice deux est supérieur à un ? Ou est-ce inférieur à un ?
On peut voir ça de la manière suivante. 𝑅 indice deux apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur. Si 𝑅 indice un égal à zéro, alors cette fraction entière serait simplement un. Ce serait 𝑅 indice deux divisé par 𝑅 indice deux. Mais nous savons que 𝑅 indice un est présent au dénominateur. Et nous pouvons supposer que 𝑅 indice un est supérieur à zéro. En d’autres termes, cette résistance est vraiment là dans le circuit. Et donc, lorsque nous ajoutons ce nombre non nul pour 𝑅 indice un à la valeur de 𝑅 indice deux, puis divisons 𝑅 indice deux par cette somme, nous obtenons un résultat inférieur à un. Et c’est parce que le dénominateur, 𝑅 indice deux plus 𝑅 indice un, est supérieur au numérateur, 𝑅 indice deux, pris tout seul. Donc, si cette fraction ici est inférieure à un, et nous venons de constater que c’est le cas, alors lorsque nous multiplions cela par 𝑅 indice un, puis nous divisons 𝑉 par cet ensemble, ce que nous faisons c’est diviser un numérateur par un dénominateur relativement plus petit par rapport au dénominateur de 𝐼 indice 𝑏.
Une façon de clarifier cela mathématiquement serait de prendre 𝐼 indice 𝑏, qui est égal à 𝑉 divisé par 𝑅 indice un, et de substituer cela dans l’expression 𝐼 indice 𝑐. Lorsque nous faisons cela, et que nous réorganisons la fraction dans le dénominateur de l’expression de 𝐼 indice 𝑐, alors nous trouvons que 𝐼 indice 𝑐 est égal à 𝐼 indice 𝐼 multiplié par cette valeur, qui est supérieure à un. Cela nous indique que le courant après la fermeture de l’interrupteur augmente par rapport à ce qu’il était avant la fermeture de l’interrupteur. Cela signifie que nous pouvons répondre à cette question en disant que le courant augmentera lorsque l’interrupteur sera fermé.
