Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la différence de potentiel, le courant et la résistance en différents points dans des circuits en parallèles simples.
Le schéma ci-dessous représente un circuit composé d’un générateur et d’une résistance. La différence de potentiel fournie par le générateur est , le courant dans le circuit est et la valeur de la résistance est .
Dans le circuit ci-dessus, les électrons n’ont qu’un seul chemin possible pour se déplacer d’une borne à l’autre du générateur. Par opposition, dans le circuit ci-dessous, les électrons peuvent emprunter deux chemins pour se déplacer d’une borne à l’autre du générateur.
Le chemin allant d’une borne à l’autre du générateur se divise en deux branches au niveau du point A. Les deux chemins se rejoignent au point B. On trouve une résistance sur les deux chemins.
Lorsqu’il existe plusieurs chemins possibles permettant aux électrons de circuler entre les deux bornes d’un générateur comme ici, on dit que cette partie du circuit est un montage en parallèle. Un circuit comportant des composants à la fois en série et en parallèle est appelé un circuit mixte. Un circuit dont tous les composants sont connectés en parallèle est appelé un circuit en parallèle.
Considérons un exemple.
Exemple 1: Identifier les composants montés en parallèle
La figure représente quatre circuits. Quel circuit contient deux résistances en parallèle ?
Réponse
Des composants sont montés en parallèle s’ils se trouvent sur des chemins différents d’un même circuit.
Le circuit (a) comporte deux résistances mais elles sont sur le même chemin et non pas sur des chemins différents. Les électrons circulant d’une borne à l’autre du générateur doivent passer à travers les deux résistances. Les résistances sont donc en série et pas en parallèle.
Le circuit (b) est très similaire ; la seule différence est que les composants sont placés de l’autre côté du schéma. Cela n’a aucune incidence sur le fait que les composants soient en série ou en parallèle ; ces composants sont également montés en série.
Dans le circuit (d), il y a deux chemins permettant aux électrons de circuler entre les bornes du générateur, l’un contient une ampoule et l’autre deux résistances en série. Les résistances sont montées en parallèle avec l’ampoule mais pas entre elles.
Dans le circuit (c), il y a aussi deux chemins possibles pour la circulation des électrons et chaque chemin contient une résistance. Ces résistances sont en parallèle.
La bonne réponse est le circuit (c).
Savoir identifier exactement où commence et où se termine un circuit en parallèle peut être délicat. Considérons les circuits en parallèle suivants.
Les boucles parallèles semblent commencer et se terminer à des points différents mais ces deux circuits sont en fait équivalents. La partie entourée est identique dans les deux circuits : division en deux chemins avec d’un côté et de l’autre, puis les deux chemins se rejoignent.
Tant que les chemins empruntés par les courants sont identiques, les circuits sont équivalents. La figure ci-dessous représente deux autres circuits équivalents.
L’orientation des composants n’a pas d’importance tant que le circuit peut être décrit de la même manière - dans ce cas, une division en deux chemins, l’un contenant et l’autre , qui se rejoignent ensuite.
La figure ci-dessous représente quatre circuits totalement équivalents, avec deux résistances et une ampoule.
Ces circuits sont équivalents car les composants sont montés en parallèle de la même manière. Tous les circuits peuvent être décrits de la même manière : une division en deux chemins, l’un contenant deux résistances et l’autre contenant une ampoule, qui se rejoignent ensuite. La figure ci-dessous représente cette description de deux de ces circuits de manière visuelle.
Considérons un exemple.
Exemple 2: Identifier les schémas électriques équivalents
La figure représente quatre circuits avec des composants montés en parallèle. Quels sont les deux circuits équivalents ?
Réponse
Considérons les chemins dans ces circuits. Le circuit (a) est divisé en deux, avec une résistance de 10 Ω sur un chemin et une ampoule et une résistance de 20 Ω sur l’autre.
Le circuit (b) est divisé en deux, avec une résistance de 20 Ω sur un chemin et une ampoule et une résistance de 10 Ω sur l’autre.
Le circuit (c) a d’abord une résistance de 20 Ω, avant de se diviser en deux chemins avec une ampoule d’un côté et une résistance de 10 Ω de l’autre. En fait, il ne s’agit pas d’un vrai circuit en parallèle, mais plutôt d’un circuit mixte, car les composants sont à la fois en série et en parallèle.
Le circuit (d) est divisé en deux, avec une résistance de 10 Ω sur un chemin et une ampoule et une résistance de 20 Ω sur l’autre.
Si le courant suit le même chemin à travers les mêmes composants, les circuits sont équivalents. Les deux circuits décrits de la même manière sont les circuits (a) et (d).
Dans un circuit en parallèle, la différence de potentiel aux bornes de chaque branche parallèle sera la même. Quelles que soient les valeurs des résistances des composants sur les chemins, la différence de potentiel aux bornes de chaque branche sera la même. La figure ci-dessous représente deux voltmètres mesurant la différence de potentiel aux bornes de deux résistances.
Le fait que vaille 1 Ω et que vaille 1 000 Ω n’a pas d’importance. La différence de potentiel aux bornes des deux résistances est 20 V.
Règle : Différence de potentiel aux bornes de composants en parallèle
La différence de potentiel aux bornes de chaque branche d’un circuit en parallèle a la même valeur :
Considérons un exemple.
Exemple 3: Déterminer les différences de potentiel aux bornes de composants en parallèle
La figure représente deux résistances montées en parallèle avec un générateur. Si la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 3 Ω est 18 V, quelle est la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 6 Ω ?
Réponse
La différence de potentiel aux bornes de composants en parallèle est donnée par la règle
Pour ce circuit à deux composants, cette règle s’écrit
On nous donne la valeur de la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 3 Ω, , qui vaut 18 V. La différence de potentiel aux bornes de la résistance de 6 Ω doit alors être identique : 18 V.
Contrairement à la différence de potentiel, qui est la même pour chaque branche, le courant dans chaque branche peut être différent.
Rappelons que la résistance représente l’opposition à la circulation de charges électriques. Si une branche possède une plus grande résistance qu’une autre, il sera plus difficile pour les charges de circuler dans cette branche ; le courant dans cette branche sera ainsi plus faible et le courant dans l’autre branche sera plus fort.
Cependant, tous les électrons d’un générateur doivent circuler dans une des branches. Par conséquent, le courant total à travers toutes les branches sera égal au courant avant la division du circuit.
Sur la figure ci-dessous, l’intensité totale est égale à la somme des courants dans les deux branches, et .
Règle : Courant total dans les branches en parallèle d’un circuit
Le courant total circulant dans des branches en parallèle, , est égale à la somme des courants dans chaque branche : où , , et ainsi de suite sont les courants dans chacune des branches.
La manière exacte dont le courant se divise dépend de la résistance de chaque branche. La figure ci-dessous représente un circuit qui se divise en trois branches, ayant chacune un courant spécifique.
On nous donne le courant total, , et le courant dans deux des branches, ceux correspondants aux résistances et . Nous pouvons utiliser ces données pour calculer le courant circulant dans la branche de gauche, .
Le courant total dans le circuit vaut 9 A. Nous pouvons appeler le courant de la branche du milieu et celui de la branche de droite , qui valent respectivement 5 A et 1 A. Nous pouvons utiliser la règle sur le courant total dans des branches en parallèle pour écrire l’équation suivante :
En remplaçant les valeurs de courant connues, l’équation devient
Pour calculer , il faut soustraire 6 A des deux côtés :
Ainsi, le courant circulant dans la branche de gauche, , vaut 3 A.
Supposons maintenant qu’on ne nous donne plus le courant dans les branches, comme sur la figure ci-dessous.
Nous pouvons déterminer la valeur du courant circulant dans chaque branche en comparant les valeurs de résistance. Sur la figure ci-dessus, les résistances ont la même valeur . Cela signifie que le courant sera réparti uniformément entre les deux branches :
Donc, en considérant le courant total,
En remplaçant les deux courants par puisqu’ils sont égaux, nous obtenons
Pour déterminer , il faut diviser les deux côtés par 2 :
Ainsi, le courant dans chacune des branches vaut la moitié du courant total. L’intensité totale est de 8 A, alors
Comme et sont égaux, ils valent tous les deux 4 A.
Regardons quelques exemples.
Exemple 4: Déterminer des courants circulant à travers des composants montés en parallèle
Le circuit représenté sur le schéma est constitué de deux résistances montées en parallèle avec un générateur. La valeur de est de 30 A. Quelle est la valeur de ?
Réponse
L’intensité totale dans un circuit composé de plusieurs branches en parallèle est donnée par la règle
Pour seulement deux branches, cette règle s’écrit
Les deux résistances des branches de ce circuit sont identiques, le courant est donc réparti uniformément entre les deux branches. Cela signifie que le courant est le même que :
En utilisant cette relation dans l’équation donnant le courant total, nous obtenons
Maintenant, pour déterminer , il faut diviser les deux côtés par 2 :
Le 2 sur le côté droit de l’équation s’annule, ce qui nous donne
L’intensité totale vaut 30 A. En remplaçant cette valeur, nous obtenons la valeur de :
Ainsi, la valeur de est 15 A.
Pour observer comment évolue le courant en fonction de la résistance dans une branche, nous devons d’abord déterminer comment calculer la résistance totale de composants montés en parallèle.
Règle: Résistance totale de composants montés en parallèle
Si nous avons un certain nombre de composants montés en parallèle dans un circuit, la résistance totale est où est la résistance du premier composant, celle du deuxième et ainsi de suite.
Utilisons cette équation avec seulement deux résistances, et , pour montrer comment déterminer la valeur de . Cela nous donne l’équation
Prenons l’inverse des deux côtés de l’équation pour obtenir sur le côté gauche :
Diviser par une fraction est la même chose que multiplier par son dénominateur, le membre gauche de l’équation devient donc
Ce qui nous donne l’équation suivante
Multiplions maintenant des deux côtés par ; comme ce rapport vaut 1, nous gardons sur le côté gauche :
Il faut ensuite multiplier le haut et le bas des deux fractions sur le côté droit :
divisé par vaut un, donc l’équation est maintenant
Multiplions des deux côtés par :
En multipliant par en haut et en bas du côté droit, nous obtenons
Développons par au dénominateur :
Le rapport au dénominateur vaut 1, ce qui donne
Ainsi, lorsque nous avons deux résistances, voici l’équation qui peut être utilisée pour déterminer la résistance totale du circuit.
Règle : Résistance totale d’un circuit en parallèle avec deux composants
Pour deux composants en parallèle, la résistance totale est égale à où est la résistance du premier composant et celle du deuxième composant.
Dans le circuit ci-dessous, nous pouvons calculer en utilisant cette règle.
Prenons égale à 5 Ω et égale à 20 Ω. En remplaçant ces valeurs dans l’équation de la résistance totale, nous obtenons
La division par un terme en ohms annule le terme en ohms carré au numérateur, ce qui nous donne le résultat suivant pour la résistance totale
Considérons un exemple.
Exemple 5: Déterminer l’évolution du courant selon le nombre de branches en parallèle dans un circuit
Un étudiant réalise le circuit représenté sur le schéma. Initialement, l’interrupteur est ouvert. Lorsque l’étudiant ferme l’interrupteur, le courant circulant dans le circuit augmente-t-il ou diminue-t-il ?
Réponse
Pour déterminer le courant total dans un circuit, nous pouvons utiliser la loi d’Ohm :
La différence de potentiel dans ce circuit est imposée par le générateur, mais la résistance peut changer lorsque la branche inférieure est fermée. Appelons les résistances et comme cela.
Initialement, lorsque l’interrupteur est ouvert, il n’y a pas de courant dans la branche inférieure de ce circuit. Les électrons du générateur ne traversent que . La résistance totale peut donc s’écrire
Lorsque l’interrupteur est fermé, il y aura circulation d’un courant dans les branches contenant et . Rappelons que la résistance totale d’un circuit composé de deux résistances en parallèle est donnée par l’équation
Maintenant, on peut observer que quelle que soit la valeur de , la résistance totale sera plus faible. Car en multipliant par , puis en divisant par leur somme, le résultat sera toujours inférieur à pris individuellement :
Vérifions cela en disant par exemple que vaut 1 Ω et prenons deux valeurs de , 0,1 Ω et 1 000 Ω :
Avec une valeur de 0,1 Ω pour , la résistance totale vaut
Maintenant, essayons une valeur de 1 000 Ω pour :
Nous voyons que, dans les deux cas, le résultat final est inférieur à .
Donc, si la résistance totale diminue, d’après la loi d’Ohm, le courant total dans le circuit doit augmenter, car le courant est inversement proportionnel à la résistance :
La bonne réponse est donc que le courant augmente lorsque l’interrupteur est fermé.
Maintenant que nous avons vu les règles concernant le courant, la résistance et la différence de potentiel dans les circuits en parallèle, nous pouvons les utiliser pour déterminer des valeurs spécifiques dans un circuit.
Considérons un exemple.
Exemple 6: Déterminer les valeurs de différence de potentiel et de courant pour des composants montés en parallèle
Le circuit représenté sur le schéma est constitué de deux résistances montées en parallèle avec un générateur. La valeur du courant affichée par le deuxième ampèremètre, , est de 3 A. Quelle est la valeur de ?
Réponse
Nous savons que, dans un circuit en parallèle, le courant total est la somme des courants de tous les chemins parallèles. Donc, pour ce circuit, le courant total est
Cela signifie que nous devons déterminer le courant circulant dans la deuxième branche, , afin de pouvoir l’ajouter à pour déterminer le courant total. Nous pouvons faire cela en considérant les différences de potentiel aux bornes de chaque branche.
On ne nous donne pas la différence de potentiel du générateur, mais nous savons que la différence de potentiel est identique aux bornes de chaque branche :
Nous pouvons donc utiliser la loi d’Ohm pour relier les valeurs des deux branches. Mais avant de faire cela, appelons la résistance associée au courant , , et celle associée à , .
En utilisant la loi d’Ohm, nous pouvons écrire la différence de potentiel aux bornes de la première branche et aux bornes la deuxième branche mais comme , nous pouvons relier ces deux équations
Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de en divisant les deux côtés par :
Les termes sur la gauche se simplifient
vaut 3 A, vaut 4 Ω et vaut 12 Ω. En intégrant ces valeurs dans l’équation, nous obtenons
Comme nous avons des ohms au numérateur et au dénominateur, ils se simplifient, ce qui donne
Maintenant que nous avons calculé , il suffit de l’ajouter à pour obtenir le courant total :
Le courant total vaut donc 12 ampères.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Des composants sont montés en parallèle lorsqu’il y a plus d’un chemin possible pour le courant.
- Les circuits en parallèle sont des circuits dans lesquels tous les composants sont montés en parallèle.
- Si nous avons un certain nombre de composants en parallèle dans un circuit, la résistance totale est où est la résistance du premier composant, celle du deuxième et ainsi de suite.
- Pour 2 résistances en parallèle,
- Le courant total dans un circuit parallèle est divisé entre les différentes branches du circuit de sorte que
- Les différences de potentiel aux bornes des branches d’un circuit en parallèle sont identiques :
