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Le graphique suivant représente les droites d’équations 𝑦 égal trois 𝑥 moins un et 𝑦 égal quatre 𝑥 moins sept. Déterminez le point dont les coordonnées vérifient les deux équations simultanément.
Sur notre graphique, nous avons donc deux droites. On a donc 𝑦 égal trois 𝑥 moins un et 𝑦 égal quatre 𝑥 moins sept. Nous savons que la droite bleue correspond à 𝑦 égal trois 𝑥 moins un et que la droite orange correspond à 𝑦 égal quatre 𝑥 moins sept. Car en fait nos deux équations sont de la forme 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑐, c'est-à-dire la forme générale de l’équation d'une droite. Et on a que le 𝑚 - le coefficient de 𝑥 - est notre coefficient directeur. Mais le dernier chiffre - notre 𝑐 - est en fait l’ordonnée 𝑦 à l'origine. Et on peut voir que la droite bleue rencontre l'axe des 𝑦 à moins 1 et que la droite orange rencontre l'axe des 𝑦 à moins 7. Voilà donc comment on les a identifiés.
Ce que nous voulons faire, c'est trouver le point dont les coordonnées vérifient les deux équations. Pour cela, on va utiliser deux méthodes : la première est la méthode graphique et la seconde est la méthode algébrique.
Pour la première méthode, on observe le graphique. Et on regarde si les deux droites se coupent vraiment ? Eh bien oui, elles se rencontrent. Elles se coupent au point que j'ai entouré en rose. Puis, nous lisons les valeurs de 𝑥 et de 𝑦 à l'endroit où se trouve le point. Donc 𝑥 égal six et 𝑦 égal 17. Par conséquent, le point dont les coordonnées vérifient les deux équations simultanément est six, 17 car comme nous l'avons dit l’abscisse 𝑥 vaut six et l’ordonnée 𝑦 vaut 17.
Bien, nous avons donc résolu le problème graphiquement. Je peux aussi vous montrer comment procéder algébriquement. Pour la résolution algébrique, on sait qu'une des droites a pour équation 𝑦 égal trois 𝑥 moins un et que l'autre a pour équation 𝑦 égal quatre 𝑥 moins sept. Donc là où elles se coupent, les expressions vont être égales. Donc on peut écrire l'équation trois 𝑥 moins un égal quatre 𝑥 moins sept. Cela signifie que nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer notre valeur 𝑥.
Puisque nous avons le plus grand nombre de 𝑥 à droite, donc que notre coefficient de 𝑥 est plus grand à droite, ce que nous allons faire, c'est soustraire trois 𝑥 aux deux membres de l'équation. En faisant cela, on obtient moins un égal 𝑥 moins sept. Je dois donc ajouter sept à chaque membre de l'équation. Ce qui donne six égal 𝑥. On a donc une valeur 𝑥 qui vaut six.
Bon, maintenant, il faut trouver quelle sera notre valeur 𝑦. Pour cela, on substitue 𝑥 égal six dans l’une de nos équations. Et ce que je vais faire, c'est la substituer dans 𝑦 égal trois 𝑥 moins un. Peu importe dans laquelle vous la substituez. Cela fonctionnerait pour l'une ou pour l'autre.
Donc, quand on fait ça on obtient 𝑦 égal trois fois six moins un. Et ceci car nous avons substitué six à 𝑥. Donc, on va dire que 𝑦 est égal à 18 moins un, ce qui donne 17. Cela nous donne à nouveau les coordonnées d'un point qui sont six, 17, où la valeur de 𝑥 est six, la valeur de 𝑦 est 17.
C'est donc exactement le même résultat que celui obtenu en utilisant la méthode graphique. On peut donc dire que si le graphique montre les droites d’équations 𝑦 égal trois 𝑥 moins un et 𝑦 égal quatre 𝑥 moins sept, le point dont les coordonnées sont les solutions des deux équations simultanément est six, 17.
