Vidéo de la leçon : Résoudre graphiquement des systèmes d’équations linéaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs représentations graphiques et en identifiant leur point d’intersection.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs représentations graphiques et en identifiant leur point d’intersection.

Nous rappelons tout d’abord qu’une équation linéaire est une équation dans laquelle la puissance la plus élevée de chaque variable qui apparaît est un et qu’il n’y a pas de terme contenant le produit des variables. Par exemple, l’équation deux 𝑥 plus 𝑦 égale six est une équation linéaire.

Un système de deux équations linéaires est simplement une paire de telles équations. Par exemple, si nous avons également l’équation 𝑥 plus 𝑦 égale deux, cela définit un système d’équations linéaires. Il existe de nombreuses méthodes différentes qui peuvent être utilisées pour résoudre de tels systèmes d’équations, mais dans cette vidéo, nous nous concentrons sur la méthode graphique. Par conséquent, les deux lettres que nous utilisons pour représenter nos variables seront souvent 𝑥 et 𝑦, mais ce n’est pas nécessairement le cas.

La solution d’un système de deux équations linéaires peut être déterminée en traçant sur un graphique les deux droites représentant ces équations, puis en identifiant les coordonnées de leur point d’intersection. En effet, ce point se situe sur les deux droites et vérifie donc les deux équations simultanément.

Dans notre premier exemple, nous rappellerons comment déterminer l’équation d’une droite à partir de sa représentation graphique. Cela nous permettra alors d’identifier le système d’équations linéaires qui peut être résolu en utilisant un graphique donné.

Lequel des systèmes d’équations suivants peut être résolu en utilisant le graphique donné ? (A) 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, 𝑦 égale 𝑥 plus cinq. (B) 𝑦 égale moins quatre 𝑥 plus deux, 𝑦 égale cinq 𝑥 moins un. (C) 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq. (D) 𝑦 égale deux 𝑥 plus quatre, 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq. Ou (E) 𝑦 égale moins quatre 𝑥 plus deux, 𝑦 égale cinq 𝑥 plus un.

On nous a donné un graphique avec deux droites. Appelons-les 𝑙 un et 𝑙 deux. On nous demande de déterminer quel système d’équations nous pourrions résoudre en utilisant ce graphique. Cela signifie que nous devons déterminer les équations des deux droites.

Pour ce faire, nous rappelons l’équation générale d’une droite sous sa forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Et nous rappelons que le coefficient de 𝑥, c’est-à-dire 𝑚, est le coefficient directeur de la droite. Et le terme constant, c’est-à-dire 𝑏, donne l’ordonnée à l’origine de la droite. C’est la valeur 𝑦 à laquelle la droite coupe l’axe des ordonnées.

Nous pouvons déterminer ces deux valeurs à partir du graphique. Premièrement, la ligne 𝑙 un a une ordonnée à l’origine de cinq, et la ligne 𝑙 deux a une ordonnée à l’origine de moins quatre. Ensuite, nous déterminons le coefficient directeur de chaque droite en utilisant le fait qu’une droite passant par deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, a pour coefficient directeur 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. La droite 𝑙 un passe par les points de coordonnées zéro, cinq et un, quatre. Nous aurions pu sélectionner n’importe quelle paire de points de cette droite. Mais le processus est plus facile si nous choisissons un deuxième point près de l’ordonnée à l’origine.

La première droite a un coefficient directeur 𝑚 égal à quatre moins cinq sur un moins zéro. Ainsi, le coefficient directeur de 𝑙 un est moins un. La deuxième droite 𝑙 deux passe par les points de coordonnées zéro, moins quatre et un, moins deux. Son coefficient directeur est 𝑚 égale moins quatre moins moins deux sur zéro moins un. Ainsi, le coefficient directeur de 𝑙 deux est plus deux. Par conséquent, la droite 𝑙 un a 𝑏 égal à cinq et 𝑚 égal à moins un. Son équation sous forme réduite est 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq, ce qui est l’une des équations données aux choix (C) et (D).

La ligne 𝑙 deux a 𝑏 égal à moins quatre et 𝑚 égal à deux. Donc son équation est 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre. Cela nous donne le système d’équations 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq. La solution de ce système d’équations linéaires donnée par les coordonnées du point d’intersection est 𝑥 égale trois et 𝑦 égale deux. Le graphique donné représente le système d’équations linéaires du choix (C) : 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, 𝑦 égale moins 𝑥 plus cinq.

Considérons maintenant un deuxième exemple.

Utilisez le graphique donné pour résoudre le système d’équations : 𝑦 égale quatre 𝑥 moins deux, 𝑦 égale moins 𝑥 plus trois.

Nous rappelons que la solution du système d’équations est donnée par les coordonnées du point d’intersection des représentations graphiques de toutes les équations. Cela signifie que les coordonnées du point d’intersection des deux droites nous indiquent la solution du système d’équations. Nous voyons que l’abscisse de ce point est un et l’ordonnée est deux. Cela nous dit que 𝑥 égale un et 𝑦 égale deux est une solution du système d’équations.

Nous pouvons confirmer cela en substituant ces valeurs dans les équations. Si nous substituons 𝑥 égale un dans la première équation, nous obtenons 𝑦 égale quatre fois un moins deux égale deux, ce qui correspond à notre solution. De même, si nous substituons 𝑥 égale un dans la deuxième équation, nous obtenons 𝑦 égale moins un plus trois égale deux, ce qui correspond également à notre solution. Puisque les deux équations sont vraies, cela confirme la solution. Comme il s’agit du seul point d’intersection, cela est la seule solution du système d’équations. Par conséquent, la seule solution est 𝑥 égale un et 𝑦 égale deux.

Dans notre exemple suivant, nous devrons tracer les représentations graphiques des deux équations que nous souhaitons résoudre. Nous allons donc rappeler certaines des méthodes clés pour faire cela.

En traçant les représentations graphiques de 𝑦 égale 𝑥 moins un et 𝑦 égale cinq 𝑥 plus sept, trouvez le point qui vérifie les deux équations simultanément.

Nous rappelons que si les coordonnées 𝑥 et 𝑦 vérifient simultanément les deux équations, alors le point se trouve nécessairement sur les représentations graphiques des deux équations. Par conséquent, il s’agit de leur point d’intersection, et celui-ci est donc une solution du système d’équations. Par conséquent, nous pouvons déterminer les solutions de ce système en identifiant les coordonnées des points d’intersection. Nous faisons cela en traçant les deux représentations graphiques dans un même repère du plan. On note que les deux droites sont de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Nous rappelons qu’une telle droite a une ordonnée à l’origine 𝑏 et un coefficient directeur 𝑚, avec 𝑚 non nul.

Nous pouvons interpréter les informations importantes sur chaque droite en nous référant à cette formule. Premièrement, la droite 𝑦 égale 𝑥 moins un a une ordonnée à l’origine de moins un. Nous savons que le coefficient de 𝑥 est un, donc le coefficient directeur de la première droite est un. Nous rappelons que le coefficient directeur d’une droite est la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥. Par conséquent, un coefficient directeur de un représente une augmentation de un pour 𝑦 et une augmentation de un pour 𝑥. En appliquant ce changement de coordonnées, de un vers le haut et de un vers la droite, nous obtenons un autre point sur la droite, de coordonnées un, zéro. Relier ces points nous permet de tracer la droite avec un coefficient directeur de un et une ordonnée à l’origine de moins un.

Passons à la deuxième équation linéaire ; nous avons une ordonnée à l’origine de sept et un coefficient directeur de cinq. Cela signifie que la variation de l’ordonnée est de cinq pour une variation de l’abscisse de un. Donc nous partons de l’ordonnée à l’origine puis nous nous déplaçons de cinq vers le haut et de un vers la droite. Cependant, en raison de la position de l’ordonnée à l’origine près du bord de notre repère, nous pouvons inverser ces directions si nécessaire pour trouver un point de la droite situé à gauche du point de coordonnées zéro, sept. Nous nous déplaçons alors de cinq vers le bas et de un vers la droite. Nous avons trouvé un point sur la droite de coordonnées 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale deux.

Enfin, nous relions ces points pour tracer la droite 𝑦 égale cinq 𝑥 plus sept. Nous pouvons voir que les deux droites contiennent le point moins deux, moins trois. Cela est le point d’intersection, ce qui signifie que 𝑥 égale moins deux et 𝑦 égale moins trois vérifient les deux équations.

Nous pouvons confirmer que ces coordonnées vérifient les deux équations en substituant 𝑥 égale moins deux. On note que les deux équations donnent 𝑦 égale moins trois. Puisque les deux équations sont vraies, cela confirme la solution que nous avons déterminée graphiquement. Par conséquent, 𝑥 égale moins deux et 𝑦 égale moins trois vérifient les deux équations. Et nous pouvons dire que le point qui vérifie les deux équations est moins deux, moins trois.

Tracez les représentations graphiques du système d’équations 𝑦 égale deux 𝑥 plus sept, 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, puis résolvez le système.

Nous rappelons que les points d’intersection des représentations graphiques des deux équations nous indiqueront les solutions du système d’équations. Cela signifie que nous pouvons résoudre le système en traçant les deux équations sur un repère du plan. Comme ce sont des équations linéaires données sous forme réduite, nous allons les représenter graphiquement en utilisant leur coefficient directeur et leur ordonnée à l’origine.

Nous allons commencer par la première équation, 𝑦 égale deux 𝑥 plus sept. Nous voyons que deux est le coefficient de 𝑥 et sept est la constante. Cela signifie que deux est le coefficient directeur et sept est l’ordonnée à l’origine. Donc nous représentons l’ordonnée à l’origine de la première droite en sept. La deuxième droite a le même coefficient directeur que la première, mais une ordonnée à l’origine différente, moins quatre.

Maintenant, nous rappelons que le coefficient directeur est la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥. Par conséquent, un coefficient directeur de deux peut être interprété comme ajouter deux à l’ordonnée et ajouter un à l’abscisse. Pour trouver un autre point sur la deuxième ligne, il suffit de se déplacer de deux vers le haut et de un vers la droite. Ensuite, pour représenter graphiquement la droite 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre, nous relions l’ordonnée à l’origine au nouveau point par une droite. Ceci est la droite définie par l’équation 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre.

Puisque la première droite a le même coefficient directeur que la deuxième, nous pouvons la représenter graphiquement en traçant une droite parallèle passant par l’ordonnée à l’origine sept. Ceci est la droite définie par l’équation 𝑦 égale deux 𝑥 plus sept. Puisque ces droites sont parallèles, nous savons qu’il n’y a pas de point d’intersection, donc ce système n’a pas de solution.

En fait, nous aurions pu éviter l’étape de représentation graphique en examinant simplement les équations des deux droites. Nous pouvons voir que les deux droites ont le même coefficient directeur, mais des ordonnées à l’origine distinctes. Cela nous indique que ces droites sont parallèles ; elles ont le même coefficient directeur. Et elles sont distinctes ; elles passent par différentes ordonnées à l’origine. Par conséquent, les droites ne se croisent pas et le système n’a aucune solution.

Dans nos exemples jusqu’à présent, nous avons vu deux possibilités. Premièrement, les droites peuvent se croiser en un unique point, auquel cas il y a une solution au système d’équations linéaires. Nous appelons cela un système d’équations linéaires indépendantes. Deuxièmement, les droites peuvent être parallèles, si elles ont le même coefficient directeur et des ordonnées à l’origine distinctes. Dans ce cas, il n’y a pas de solution au système d’équations, car les deux droites ne se croisent pas. Nous appelons cela un système d’équations incompatible. Les systèmes avec au moins une solution sont considérés comme compatibles, comme dans le premier cas.

Il existe en fait une troisième option. Supposons qu’on nous demande de résoudre le système d’équations 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre et quatre 𝑥 moins deux 𝑦 égale huit. Si nous devions les représenter graphiquement, nous pourrions voir que ces deux équations décrivent exactement la même droite. Cela vient du fait que si nous écrivons la deuxième équation sous forme réduite, nous obtenons 𝑦 égale deux 𝑥 moins quatre. Cela signifie que la deuxième équation est une façon équivalente d’écrire l’équation de la première droite. Dans ce cas, les droites sont dites confondues. Elles sont identiques. Et chaque point de cette droite infiniment longue vérifie donc le système d’équations linéaires. Nous disons donc qu’il existe une infinité de solutions. Nous appelons cela un système d’équations linéaires dépendantes, qui est également considéré comme compatible car ce type de système a des solutions.

Donc voilà les trois possibilités lors de la résolution graphique d’un système d’équations linéaires.

Passons en revue les points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Premièrement, nous avons vu que les systèmes d’équations linéaires peuvent être résolus en les représentant graphiquement et en identifiant les coordonnées de leurs points d’intersection. Cependant, nous avons également vu que toutes les droites ne se croisent pas. Les trois possibilités sont que les droites se coupent en un point, ce qui signifie qu’il existe une solution consistant en une abscisse 𝑥 et une ordonnée 𝑦. Les deux droites sont parallèles. Elles ne se croisent jamais, donc il n’y a pas de solutions. Ou les deux droites sont confondues, auquel cas il y a une infinité de solutions au système d’équations linéaires.

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