Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en considérant leurs représentations graphiques et en identifiant le point d’intersection des droites.
Lorsque nous devons résoudre un système d’équations, nous recherchons en fait l’ensemble des valeurs des variables qui vérifient chaque équation. Pour apprendre à résoudre graphiquement un système d’équations, considérons l’exemple suivant :
On remarque d’abord que ces équations correspondent en fait à des fonctions affines. Puisqu’il y a deux équations, on appelle ceci un système de deux équations linéaires.
Nous souhaitons alors trouver les valeurs de et qui vérifient les deux équations. Supposons que , est une solution des deux équations. On peut ainsi déterminer graphiquement les valeurs potentielles de et . Puisque , on sait que le point appartient à la représentation graphique de la première équation. De même, comme , le point appartient à la représentation graphique de la deuxième équation. Par conséquent, appartient aux deux représentations graphiques, c’est-à-dire c’est un point d’intersection des représentations graphiques.
On peut tracer les représentations graphiques de ces équations en remarquant que les deux équations correspondent à des droites dans le plan cartésien. Elles sont d’ailleurs exprimées sous forme réduite. On trace la première droite qui coupe l’axe des en 1 et de pente 1, et la deuxième droite qui coupe l’axe des en 4 et de pente . Cela nous donne la figure suivante.
On peut lire sur la figure que les coordonnées du point d’intersection sont . Rappelons que nous avons déduit ici que si est une solution du système, alors il s’agit du point d’intersection des droites. Vérifions maintenant que tous les points d’intersection sont également des solutions. On remarque pour cela que si est un point d’intersection, alors appartient à la représentation graphique de chaque équation et doit donc vérifier chaque équation ; si ce n’était pas le cas, il ne se situerait pas sur leurs représentations graphiques. Par conséquent, chaque point d’intersection (s’il existe), est une solution du système d’équations.
On peut utiliser ces informations pour conclure que, comme il n’y a qu’un seul point d’intersection, , est la seule solution de ce système d’équations.
Nous pouvons également noter que s’il n’existe pas de point d’intersection entre toutes les représentations graphiques des équations, alors il n’y a pas de valeurs pour les variables qui vérifient toutes les équations. Ceci nous donne ainsi le résultat suivant.
Théorème : Résoudre un système d’équations graphiquement
Chaque solution d’un système d’équations est un point d’intersection de toutes leurs représentations graphiques.
Chaque point d’intersection de toutes les représentations graphiques d’équations est une solution du système d’équations.
S’il n’y a pas de points d’intersection entre toutes les représentations graphiques, alors il n’y a pas de solution du système d’équations.
Si on étudie un système de deux équations linéaires, on sait que les deux équations peuvent être représentées graphiquement par des droites. On rappelle alors qu’il y a trois possibilités pour l’intersection de deux droites dans le plan.
- Les droites se coupent en un seul point.
- Les droites sont distinctes et parallèles, il n’y a donc pas de points d’intersection.
- Les droites sont confondues, donc les droites se coupent en tous leurs points.
Comme les points d’intersection sont les solutions du système d’équations, ces trois possibilités nous indiquent le nombre de solutions de ces systèmes d’équations. Il y a trois possibilités pour le nombre de solutions d’un système de deux équations linéaires : il peut y avoir ou une infinité de solutions selon le nombre de points d’intersection des droites. Il convient de noter que cette propriété est vraie pour plus de deux droites. Ces trois situations sont décrites ci-dessous.
Définition : Nombre de solutions d’un système d’équations linéaires
Si un système d’équations linéaires possède une solution, alors il y a un seul point d’intersection entre les droites et il s’agit d’un système d’équations linéaires indépendantes.
Si un système d’équations linéaires a une infinité de solutions, alors toutes les droites sont confondues et il s’agit d’un système d’équations linéaires dépendantes.
Dans les deux cas, le système admet au moins une solution et on l’appelle système d’équations compatible.
Si un système d’équations linéaires n’a pas de solutions, alors il n’existe pas de points d’intersection entre les droites et on dit que c’est un système d’équations incompatible.
Résolvons graphiquement le système de deux équations linéaires suivant :
On remarque d’abord que la deuxième équation n’est pas donnée sous forme réduite donc on commence par réarranger l’équation sous cette forme en soustrayant aux deux membres de l’équation :
On trace ensuite les deux droites sur le même repère. La première droite coupe l’axe des en 3 et a une pente de 4, et la deuxième droite coupe l’axe des en 1 et a une pente de , ce qui donne la figure suivante.
On peut voir sur le graphique qu’il y a un point d’intersection et qu’il y a donc une solution unique du système d’équations. On ne peut pas cependant déterminer les coordonnées exactes de ce point d’intersection. On peut uniquement noter que l’abscisse du point d’intersection se situe entre les droites et et que l’ordonnée du point d’intersection se situe entre les droites et .
Bien que nous ne puissions pas déterminer graphiquement la solution exacte de ce système d’équations, nous avons pu déterminer qu’il a une solution unique et que celle-ci vérifie les inégalités et .
Voici donc un résumé des étapes pour résoudre graphiquement un système d’équations linéaires.
Comment résoudre graphiquement un système d’équations linéaires
- Si les représentations graphiques des équations linéaires ne sont pas données, la première chose à faire est de les tracer toutes sur un même repère. Pour cela il faut parfois réarranger chaque équation sous forme réduite.
- Tout point d’intersection de toutes les droites est une solution du système d’équations. En particulier, s’il n’existe pas de points d’intersection, alors il n’y a pas de solutions du système, et si les droites sont confondues, alors il y a une infinité de solutions.
- Si possible, on peut lire directement les coordonnées du point d’intersection sur le graphique pour trouver les valeurs exactes de la solution. Si cela n’est pas possible, on peut cependant utiliser la grille du repère pour identifier les intervalles de valeurs auxquels appartient la solution.
Voyons maintenant comment appliquer cette méthode pour déterminer graphiquement les solutions d’un système d’équations linéaires.
Exemple 1: Résoudre un système de deux équations linéaires à l’aide de leurs représentations graphiques
Utilisez le graphique ci-dessous pour résoudre le système d’équations
Réponse
On rappelle que la solution d’un système d’équations correspond aux coordonnées du point d’intersection entre les représentations graphiques de toutes les équations. Ceci signifie que les coordonnées du point d’intersection entre les deux droites nous indiquent la solution du système d’équations.
On voit que l’abscisse de ce point est 1 et que son ordonnée est 2. On en déduit que , est la solution du système d’équations et on peut le vérifier en substituant ces valeurs dans les équations.
En substituant dans la première équation, on obtient ce qui correspond bien à la solution. De même, si on substitue dans la deuxième équation, on obtient qui correspond également à la solution. Comme les deux équations sont vraies, cela confirme la solution.
Puisqu’il n’y a qu’un seul point d’intersection, il s’agit de la solution unique du système d’équations.
Par conséquent, la solution unique est , .
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment exprimer les solutions d’un système d’équations avec la notation des ensembles.
Exemple 2: Résoudre un système de deux équations linéaires à l’aide de leurs représentations graphiques
Déterminez l’ensemble des solutions du système des deux équations représentées par et ci-dessous.
Réponse
On rappelle que la solution d’un système d’équations correspond aux coordonnées du point d’intersection entre les représentations graphiques de toutes les équations. Ceci signifie que les coordonnées du point d’intersection entre les deux droites sont la solution de ce système d’équations.
Puisqu’il y a un seul point d’intersection, on peut conclure qu’il n’y a qu’une seule solution, ce qui signifie que l’ensemble des solutions n’aura qu’un seul élément. On peut identifier cette solution unique en déterminant les coordonnées du point d’intersection sur le graphique.
On voit que les coordonnées de ce point sont , ce qui signifie que les valeurs , sont la seule solution de ce système d’équations. Pour écrire cela comme un ensemble des solutions, on rappelle que l’on peut représenter la solution par un couple, qui n’est que ses coordonnées.
Par conséquent, l’ensemble des solutions du système des deux équations représentées par et est .
Dans les deux exemples précédents, les représentations graphiques des équations linéaires étaient données. Cela n’est cependant pas toujours le cas. Étudions maintenant quelques exemples où nous devons résoudre un système d’équations linéaires en traçant d’abord les représentations graphiques de chaque équation.
Exemple 3: Résoudre un système de deux équations linéaires en traçant leurs représentations graphiques
En traçant les représentations graphiques de et , déterminez le point qui vérifie les deux équations simultanément.
Réponse
On rappelle que si vérifie les deux équations simultanément, alors le point doit appartenir aux représentations graphiques des deux équations. Ce sera donc un point d’intersection entre les deux graphiques. De même, si est un point d’intersection entre les deux représentations graphiques, alors il vérifie les deux équations et est donc une solution du système d’équations. On peut ainsi trouver les solutions de ce système en déterminant les coordonnées des points d’intersection. Commençons pour cela par tracer les deux représentations graphiques.
Il y a plusieurs façons de tracer la représentation graphique d’une droite. Par exemple, pour tracer la droite , on rappelle que cette droite coupe l’axe des en , coupe l’axe des en à condition que et que sa pente est . Relier ces points par une droite nous permet alors de tracer la droite.
Appliquons donc cette méthode à chaque droite. Tout d’abord, la droite coupe l’axe des en et coupe l’axe des en . Ensuite, la droite coupe l’axe des en 7 et coupe l’axe des en .
Comme cette valeur n’est pas un entier, on peut trouver un autre point par substitution. On substitue dans l’équation pour obtenir
Cela nous donne la figure suivante.
On voit que les droites se coupent à gauche du point . Essayons donc . En remplaçant dans l’équation de la première droite, on obtient
En remplaçant dans l’équation de la deuxième droite, on obtient
Les deux équations donnent la même valeur . Par conséquent, et vérifient les deux équations donc le point qui vérifie les deux équations est .
Exemple 4: Résoudre un système de deux équations linéaires en traçant leurs représentations graphiques
Tracez les représentations graphiques des équations du système puis résolvez le système.
Réponse
On rappelle que les points d’intersection des représentations graphiques des deux équations sont les solutions du système. Cela signifie que nous pouvons résoudre le système en traçant les deux équations, comme ces équations sont affines et exprimées sous forme réduite, il y a plusieurs façons de le faire.
Par exemple, pour tracer la droite , on rappelle que cette droite coupe l’axe des en , coupe l’axe des en à condition que et que sa pente est . Relier ces points par une droite nous permet de tracer la droite.
La première droite coupe l’axe des en 7 et coupe l’axe des en . Comme cette valeur n’est pas un entier, on peut chercher un autre point sur la droite. On substitue dans l’équation et on obtient
La deuxième droite coupe l’axe des en et coupe l’axe des en . Relier les points d’intersection avec les axes du repère de chaque droite nous donne alors la figure suivante.
On peut voir que ces droites sont parallèles ; cela signifie qu’il n’y a pas de points d’intersection et que le système n’a donc pas de solutions.
Il n’était en réalité pas nécessaire de tracer leurs représentations graphiques ; en observant les équations des deux droites, on verra qu’elles sont exprimées sous forme réduite. On sait alors que le coefficient de nous indique la pente de la droite et on voit dans les deux cas qu’elle est égale à 2. On constate également que les deux droites coupent l’axe des en des points différents d’après leurs équations. Cela nous indique ainsi que ces droites sont parallèles (elles ont la même pente) et distinctes (elles coupent l’axe des en différents points). Par conséquent, les droites ne se coupent pas et le système n’a pas de solution.
Les deux méthodes permettent de montrer qu’il n’y a pas de solution car les deux équations représentent des droites parallèles.
Dans l’exemple suivant, nous allons montrer comment résoudre un système d’équations linéaires qui ne sont pas exprimées sous forme réduite.
Exemple 5: Résoudre un système de deux équations linéaires en traçant leurs représentations graphiques
En traçant les représentations graphiques de et , déterminez l’abscisse et l’ordonnée du point qui vérifie les deux équations simultanément.
Réponse
On rappelle que la solution d’un système d’équations correspond aux coordonnées du point d’intersection entre les représentations graphiques de toutes les équations. Ceci signifie que les coordonnées des points d’intersection entre les deux droites sont la solution du système d’équations. On peut donc résoudre ce système en représentant chaque équation sur le même repère et en déterminant les coordonnées des points d’intersection.
Nous allons tracer les deux représentations graphiques en déterminant leur point d’intersection avec l’axe des et leur point d’intersection avec l’axe des . On substitue dans l’équation de la première droite et on obtient
Comme cette valeur n’est pas un entier, nous allons utiliser un autre point. On substitue dans l’équation et on a
On réarrange ensuite pour obtenir
On substitue dans l’équation de la première droite et on a
On substitue dans l’équation de la deuxième droite pour obtenir
Comme cette valeur n’est pas un entier, nous allons utiliser un autre point. On substitue dans l’équation et on a
On réarrange ensuite pour obtenir
On substitue dans l’équation de la deuxième droite et on obtient
On constate alors que les points d’intersection avec l’axe des et les points d’intersection avec l’axe des des deux droites sont identiques ; par conséquent, les droites sont confondues. On peut représenter les droites ci-dessous.
Chaque point de la droite vérifie les deux équations donc chaque point est une solution du système d’équations.
Nous aurions également pu déterminer cela à partir du système d’équations lui-même. En réarrangeant les équations sous forme réduite, on obtient et
On voit alors que les deux équations représentent la même droite donc elles sont confondues.
Nous avons ainsi montré que les deux droites sont confondues et qu’il y a donc une infinité de solutions.
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser le graphique fourni pour déterminer quel système d’équations permettrait il de le résoudre.
Exemple 6: Identifier le système d’équations qui peut être résolu à partir d’un graphique
Lequel des systèmes d’équations suivants pourrait être résolu à l’aide du graphique ci-dessous ? 
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
On rappelle que les coordonnées du point d’intersection entre les deux droites indiquent la solution du système des équations les représentant. Un système d’équations peut donc être résolu à l’aide de ce graphique.
Nous devons pour cela déterminer les équations des deux droites. On rappelle alors que l’équation d’une droite sous forme réduite est , où est la pente et est l’intersection avec l’axe des . On peut déterminer ces deux paramètres à partir du graphique. Tout d’abord, la droite bleue coupe l’axe des en 5 et la droite rouge coupe l’axe des en . On calcule ensuite la pente de chaque droite en rappelant que la droite passant par et a pour pente
La droite bleue passe par les points et , donc elle a pour pente
La droite rouge passe par les points et , donc elle a pour pente
Pour la droite bleue, on a donc et , et son équation est ; pour la droite rouge, on a et , et son équation est . Cela nous donne le système d’équations
La solution de ce système d’équations linéaires, correspondant aux coordonnées du point d’intersection, est , .
Il s’agit de la solution du système d’équations linéaires C : , .
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Chaque solution d’un système d’équations est un point d’intersection de toutes leurs représentations graphiques. Réciproquement, chaque point d’intersection de toutes les représentations graphiques des équations est une solution du système d’équations. On peut donc résoudre des systèmes d’équations en traçant leurs représentations graphiques et en déterminant les coordonnées des points d’intersection.
- S’il n’y a pas de points d’intersection entre toutes les représentations graphiques, alors il n’y a pas de solution du système d’équations.
- Un système d’équations linéaires peut avoir ou une infinité de solutions selon que les droites sont parallèles, se coupent en un point unique ou sont confondues. Un système qui n’a pas de solution est appelé un système incompatible, un système avec une unique solution est un système d’équations indépendantes et un système avec une infinité de solutions est un système d’équations dépendantes.
