Transcription de la vidéo
Déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 si 𝑦 égale quatre à la puissance neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit.
Maintenant, afin de trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, ce que nous allons faire, c’est en fait que nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Et la règle de dérivation en chaîne stipule que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 multiplié par 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥. Et c’est quand 𝑦 est égal à une fonction de 𝑢 et 𝑢 est égale à une fonction de 𝑥. D’accord, nous avons maintenant la règle de dérivation en chaîne. Appliquons-la à notre problème pour résoudre et trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥.
Donc, tout d’abord, nous devons identifier notre 𝑢. Donc, ça va être neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit. Et par conséquent, notre 𝑦 va être égal à quatre à la puissance de 𝑢. D’accord, c’est la première étape. Maintenant, ce que nous devons faire, c’est dériver pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 et 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥.
Je vais commencer par trouver 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥 et je le ferai en dérivant l’expression neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit. Et cela va nous donner 18𝑥 moins quatre. Nous l’avons fait normalement. Nous avons donc simplement dérivé ou souligné cela avec le premier terme. Donc, ce que nous avons fait, c’est que nous avons multiplié l’exposant par le coefficient. Donc, deux multiplié par neuf est 18, puis nous avons réduit l’exposant par un - donc de deux à un. Nous obtenons donc 18𝑥.
Magnifique, nous avons dérivé cela. Maintenant, passons à trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢. Alors maintenant, pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢, ce que nous allons devoir faire, c’est en fait calculer la dérivée de quatre à la puissance 𝑢. Et pour ce faire, nous allons utiliser la règle générale qui est que si nous voulons dériver 𝑎 à la puissance 𝑥, alors nous allons obtenir une réponse de 𝑎 à la puissance 𝑥 multipliée par le logarithme népérien de 𝑎. Donc, par conséquent, comme résultat, nous allons obtenir quatre à la puissance 𝑢 parce que c’est notre 𝑎 puis la multiplier par le logarithme népérien de quatre car encore une fois c’est notre 𝑎 parce que c’est 𝑎 à la puissance 𝑥 ln 𝑎.
Génial, nous avons donc dérivé les deux parties. Nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour les assembler afin de trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Alors maintenant, nous allons appliquer la règle de dérivation en chaîne, qui nous dit que 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 multiplié par 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥. Nous allons donc obtenir 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est égal à quatre à la puissance 𝑢 ln de quatre et c’est parce que c’était notre 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑢 puis multiplié par 18𝑥 moins quatre parce que c’était notre 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥.
Très bien, mais ce n’est pas une réponse finale car nous pouvons voir qu’il y a toujours 𝑢. Donc, ce que nous devons maintenant faire, c’est substituer en fait notre valeur par 𝑢. Donc, nous allons obtenir - et je viens de réarranger un peu ici - 18𝑥 moins quatre multiplié par quatre à la puissance neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit parce que c’était notre 𝑢 et puis cela est multiplié par le logarithme népérien de quatre.
Donc, après un petit nettoyage en utilisant la factorisation, nous pouvons dire que si 𝑦 est égal à quatre à la puissance neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit, donc 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 va être égal à deux multiplié par neuf 𝑥 moins deux. Et nous l’avons obtenu parce que nous avons en fait factorisé 18𝑥 moins quatre vu que deux est un facteur commun de 18𝑥 et moins quatre. Et cela est multiplié par quatre à la puissance neuf 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus huit ln de quatre.
