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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d'une fonction exponentielle. Nous allons d’abord donner la formule de la dérivée d’une fonction exponentielle de la forme 𝑓 de 𝑥 égale exponentielle 𝑥 et exponentielle 𝑘𝑥, avant d’appliquer cette formule à des exemples de difficulté croissante. Nous verrons également comment nous pouvons utiliser les propriétés des exponentielles et des logarithmes pour trouver la dérivée de fonctions exponentielles générales.
On rappelle qu’une fonction exponentielle de base 𝑏 est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑏 puissance 𝑥, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes et 𝑏 est supérieur à zéro. Nous allons commencer par étudier la dérivée des fonctions exponentielles de base 𝑒, 𝑓 de 𝑥 égale exponentielle 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 égale exponentielle 𝑘𝑥. Nous pourrions penser à tort que nous pouvons appliquer la formule de la dérivée d’une puissance à ces fonctions exponentielles. En fait, cette formule ne s’applique que lorsque l’exposant est constant et que la base est une variable.
Dans les fonctions exponentielles, la base est constante et l’exposant est la variable. Nous allons donc devoir utiliser une formule distincte pour la dérivée d’une fonction exponentielle, et la démonstration de cette formule est réalisable si vous savez comment dériver la réciproque d’exponentielle 𝑥, ln de 𝑥. On peut également la démontrer en utilisant la définition de la dérivée et les limites. Mais cette démonstration sort du cadre de cette vidéo. Nous allons donc énoncer la formule de la dérivée d’exponentielle 𝑥 et d’exponentielle 𝑘𝑥.
La dérivée d’exponentielle 𝑥 par rapport à 𝑥 est exponentielle 𝑥. Et cette formule peut être généralisée. La dérivée d’exponentielle 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑘 exponentielle 𝑘𝑥. Nous voyons donc que la fonction exponentielle 𝑥 présente une particularité unique. Sa dérivée est égale à la fonction d’origine. Géométriquement, cela signifie que pour chaque valeur de 𝑥, le coefficient directeur, ou la pente, de la tangente à la courbe en ce point est égale à la valeur 𝑦. Par exemple, lorsque 𝑥 égale deux, 𝑦 est égal à exponentielle de deux, soit environ 7,39. Comme la dérivée d’exponentielle 𝑥 est exponentielle 𝑥, cela signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point est également de 7,39. Étudions un exemple d’application de ces formules.
Si 𝑓 de 𝑥 égale moins cinq exponentielle de moins neuf 𝑥, déterminez 𝑓 prime de 𝑥. C’est-à-dire la dérivée de la fonction.
On rappelle que la dérivée d’exponentielle 𝑥 est exponentielle 𝑥. Et que la dérivée d’exponentielle 𝑘𝑥 est 𝑘 exponentielle 𝑘𝑥. Maintenant, notre fonction est un multiple d’exponentielle 𝑘𝑥. Elle est égale à moins cinq fois exponentielle 𝑘𝑥, où 𝑘 égale moins neuf. Les propriétés des dérivées nous permettent de sortir un multiple constant de la dérivée et de nous concentrer sur la dérivée de l’expression en fonction de 𝑥. Cela signifie que la dérivée de de 𝑥 est égale à moins cinq fois la dérivée d’exponentielle de moins neuf 𝑥. Et on sait que la dérivée d’exponentielle de moins neuf 𝑥 est moins neuf exponentielle de moins neuf 𝑥. Comme moins cinq fois moins neuf égale 45, nous pouvons dire que la dérivée de notre fonction est 45 exponentielle de moins neuf 𝑥.
Prenons un autre exemple.
Déterminez d𝑦 sur d𝑥 si cinq 𝑦 exponentielle deux 𝑥 égale sept exponentielle cinq.
À première vue, cette expression semble un peu compliquée. Nous pouvons cependant voir que nous pouvons réorganiser l’équation pour isoler 𝑦. On divise donc les deux membres de l’équation par cinq exponentielle deux 𝑥. Le membre gauche devient simplement 𝑦. Et sur le membre droit, on obtient sept exponentielle cinq sur cinq exponentielle deux 𝑥. On rappelle alors que un sur exponentielle deux 𝑥 égale exponentielle moins deux 𝑥. On peut donc reformuler l’équation. Et on obtient 𝑦 égale sept exponentielle cinq sur cinq fois exponentielle moins deux 𝑥.
Notez que sept exponentielle cinq sur cinq n’est qu’une constante. Nous pouvons donc dériver en utilisant la formule générale de la dérivée de la fonction exponentielle. La dérivée d’exponentielle 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑘 exponentielle 𝑘𝑥. Et bien sûr, les propriétés des dérivées nous permettent de sortir les constantes de la dérivée et de nous concentrer sur les termes en fonction de .
En d’autres termes, d𝑦 sur d𝑥 égale sept exponentielle cinq sur cinq fois la dérivée d’exponentielle moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Et la dérivée d’exponentielle moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins deux exponentielle moins deux 𝑥. Cela signifie que d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux fois sept exponentielle cinq sur cinq fois exponentielle moins deux 𝑥.
Remarquez que la dérivée peut en fait être exprimée en fonction de 𝑦 car 𝑦 égale sept exponentielle cinq sur cinq fois exponentielle moins deux 𝑥. Nous pouvons donc dire que d𝑦 sur d𝑥 égale moins deux 𝑦.
Nous allons maintenant étudier un exemple un peu plus complexe dans lequel nous devrons appliquer d’autres formules de dérivation.
Déterminez la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑧 égale moins trois exponentielle quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un.
Nous avons ici une fonction d’une fonction, soit une fonction composée. Nous allons donc devoir appliquer la formule de la dérivée d’une fonction composée. Elle stipule que la dérivée de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 en 𝑔 de 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑔 de 𝑥. Alternativement, nous pouvons dire que si 𝑦 est égal à cette fonction composée, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, et si nous définissons 𝑢 égale 𝑔 de 𝑥, alors 𝑦 égale 𝑓 de 𝑢. Et cela signifie que nous pouvons dire que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 fois la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥.
Dans cet exemple, nous définissons 𝑦 égale moins trois exponentielle 𝑢, où 𝑢 égale quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un. Et comme nous allons dériver par rapport à 𝑧, nous modifions légèrement la formule. d𝑦 sur d𝑧 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑧. Nous allons donc devoir calculer d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑧. d𝑦 sur d𝑢 est assez facile à dériver. On sait que la dérivée d’exponentielle 𝑢 est exponentielle 𝑢. Donc la dérivée de moins trois exponentielle 𝑢 est moins trois exponentielle 𝑢. Puis on remplace 𝑢 par quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un pour obtenir moins trois exponentielle quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un. Mais qu’en est-il de la dérivée de quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un ?
On peut ici utiliser la formule de la dérivée d’un quotient. Elle stipule que la dérivée de 𝑓 sur 𝑔 est égale à 𝑔 fois la dérivée de 𝑓 moins 𝑓 fois la dérivée de 𝑔. Le tout sur 𝑔 au carré. On remplace 𝑓 de 𝑥 par 𝑓 de 𝑧 et 𝑔 de 𝑥 par 𝑔 de 𝑧. La dérivée du numérateur de notre fraction est quatre. Et la dérivée du dénominateur de notre fraction est également quatre. Donc l’équivalent de 𝑔 de 𝑧 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑧 est égal à quatre 𝑧 plus un fois quatre. Et l’équivalent de 𝑓 de 𝑧 fois la dérivée de 𝑔 de 𝑧 est égal à quatre 𝑧 fois quatre. Le tout divisé par le dénominateur au carré. Soit quatre 𝑧 plus un au carré. En développant au numérateur, on se retrouve simplement avec quatre. Donc, d𝑢 sur d𝑧 égale quatre sur quatre 𝑧 plus un au carré.
Remplaçons maintenant par tout ce que nous avons trouvé dans la formule de la dérivée d’une fonction composée. d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑧 égale moins trois exponentielle quatre 𝑧 sur quatre plus un fois quatre sur quatre 𝑧 plus un au carré. En simplifiant, nous trouvons que la dérivée de la fonction est moins 12 exponentielle quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un sur quatre 𝑧 plus un au carré.
Le prochain exemple va nous permettre d’établir une formule de la dérivée d’une fonction exponentielle de base de la forme 𝑎𝑏 puissance 𝑥.
Soit 𝑦 égale moins trois fois deux puissance 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.
Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que les propriétés des dérivées nous permettent de sortir les constantes d’une dérivée et de nous concentrer sur l’expression en fonction de 𝑥. Nous pouvons donc dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins trois fois la dérivée de deux puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais comment pouvons-nous dériver deux puissance 𝑥 ? Eh bien, nous allons utiliser les propriétés des logarithmes et des exponentielles.
On commence par rappeler que deux est égal à exponentielle de ln de deux. Cela est en effet vrai parce que l’exponentielle et le logarithme népérien sont les fonctions réciproques l’une de l’autre. On élève ensuite les deux membres de cette équation à la puissance 𝑥 et on utilise les lois des exposants pour dire que deux puissance 𝑥 égale exponentielle de ln de deux fois 𝑥. Et ln de deux est simplement une constante. On utilise donc le fait que la dérivée d’exponentielle 𝑘𝑥 est 𝑘 exponentielle 𝑘𝑥. Et on peut dire que la dérivée de deux puissance 𝑥 est ln deux fois exponentielle de ln deux fois 𝑥. Cela signifie que d𝑦 sur d𝑥 égale moins trois ln deux fois exponentielle de ln deux fois 𝑥.
Maintenant, rappelez-vous que nous avons en fait dit que deux puissance 𝑥 égale exponentielle de ln deux fois 𝑥. On remplace donc exponentielle de ln deux fois 𝑥 par deux puissance 𝑥. Et nous trouvons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins trois ln deux fois deux puissance 𝑥.
Nous pouvons maintenant généraliser le résultat de cet exemple. Et dire que la dérivée d’une fonction exponentielle de base 𝑏, 𝑏 puissance 𝑥, est ln de 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑥. Et nous pouvons encore généraliser davantage. Et on dit que la dérivée de 𝑏 puissance 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 ln 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑘𝑥. Et bien qu’il soit très utile d’apprendre cette formule par cœur, il est également important que vous soyez capable de la retrouver par vous-même en suivant le raisonnement précédent. Voyons une application de ces formules.
Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale sept puissance moins neuf 𝑥 moins huit, le tout puissance moins deux.
Pour trouver la dérivée de cette fonction, nous commençons par chercher un moyen de la simplifier. Et nous pouvons utiliser les lois des exposants pour cela. On rappelle que 𝑎 puissance 𝑚 puissance 𝑛 égale 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑛. On peut donc dire que sept puissance moins neuf 𝑥 moins huit puissance moins deux est égale à sept puissance 18𝑥 plus 16. On utilise ensuite une autre loi des exposants. Cette fois, 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 égale 𝑎 puissance 𝑚 plus 𝑛. Donc 𝑦 doit être égal à sept puissance 18𝑥 fois sept puissance 16.
Maintenant, sept puissance 16 est une constante. On peut donc dire que la dérivée première de la fonction, d𝑦 sur d𝑥, est égale à sept puissance 16 fois la dérivée de sept puissance 18𝑥 par rapport à 𝑥. Et on utilise ici le fait que la dérivée de 𝑏 puissance 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 ln 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑘𝑥. Cela signifie que la dérivée de sept puissance 18𝑥 est 18 ln sept fois sept puissance 18𝑥.
On utilise alors à nouveau la loi 𝑎 puissance 𝑚 fois 𝑎 puissance 𝑛 égale 𝑎 puissance 𝑚 plus 𝑛. Et on peut réécrire sept puissance 16 fois sept puissance 18𝑥 comme sept puissance 18𝑥 plus 16. Et cela signifie que la dérivée première de notre fonction est 18 ln sept fois sept puissance 18𝑥 plus 16. Dans le dernier exemple, nous allons étudier un problème réel impliquant les dérivées de fonctions exponentielles.
La désintégration radioactive du radon 222 est modélisée par la formule suivante. 𝑁 de 𝑡 égale 𝑁 zéro fois un demi puissance 𝑡 sur 𝑡 un demi, où 𝑁 de 𝑡 est la quantité restante, en grammes, de radon 222 qui ne s’est pas désintégrée après 𝑡 jours. 𝑁 zéro est la quantité initiale de radon 222. Et 𝑡 un demi est sa demi-vie. Un échantillon initial donné contenait 10 grammes de radon 222. Sachant que la demi-vie du radon 222 est de 3,8215 jours, déterminez le taux de désintégration de l’échantillon 10 jours plus tard. Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.
Rappelez-vous que le taux de variation instantané ou dans ce cas, le taux de désintégration, correspond à la fonction pente de la courbe, soit la dérivée. Pour répondre à cette question, nous allons donc devoir dériver la fonction 𝑁 zéro fois un demi puissance 𝑡 sur 𝑡 un demi par rapport à 𝑡. Cela peut sembler un peu délicat. Cependant, 𝑁 zéro est une constante, ainsi que 𝑡 un demi. Et on utilise le fait que la dérivée de 𝑏 puissance 𝑘𝑥 est 𝑘 ln 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑘𝑥. On peut alors dire que la dérivée de 𝑁 par rapport à 𝑡 est égale à 𝑁 zéro fois un sur 𝑡 un demi, puisqu’il est l’équivalent de 𝑘 dans cette fonction, fois ln un demi, puisque 𝑏 est un demi dans cette fonction, fois un demi puissance 𝑡 sur 𝑡 un demi.
On peut maintenant réécrire ln un demi comme ln deux puissance moins un. On utilise ensuite les propriétés des logarithmes. Donc ln de un demi est égale à moins un fois ln deux ou tout simplement moins ln deux. Nous pouvons donc simplifier un peu notre expression. Maintenant, comme l’échantillon contenait initialement 10 grammes de radon 222, 𝑁 zéro doit être égal à 10. Nous savons aussi que 𝑡 un demi égale 3,8215. Et nous cherchons le taux de désintégration lorsque 𝑡 égale 10. Nous allons donc remplacer toutes ces valeurs dans l’équation de la dérivée. Nous obtenons 10 sur 3,8215 fois moins ln deux fois un demi puissance 10 sur 3,8215. Et cela nous donne une valeur de moins 0,2957.
Mais à quoi cela correspond-il pour cette question ? Eh bien, arrondie à trois chiffres significatifs, la dérivée est égale à moins 0,296. Comme elle est négative, cela signifie que l’échantillon se désintègre à un taux de 0,296 grammes par jour.
Dans cette vidéo, nous avons vu que la dérivée d’exponentielle 𝑥 est exponentielle 𝑥. Et que ce résultat peut être généralisé. La dérivée d’exponentielle 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 fois exponentielle 𝑘𝑥. Nous avons également vu que nous pouvons dériver 𝑏 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 pour obtenir ln 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑥. Et nous pouvons généraliser cela pour dire que la dérivée de 𝑏 puissance 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 ln 𝑏 fois 𝑏 puissance 𝑘𝑥. Nous avons enfin vu qu’il peut être utile de simplifier ou manipuler les expressions en utilisant les propriétés des exposants avant de les dériver. Et nous avons rappelé qu’il est important de ne pas confondre la formule de la dérivée d’une puissance et les formules de dérivation des fonctions exponentielles.
