Vidéo : Dérivation de fonctions exponentielles

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées de fonctions exponentielles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la dérivée de fonctions exponentielles. Nous allons commencer par donner la formule de la dérivée d’une fonction exponentielle sous la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥 et 𝑒 de 𝑘𝑥, avant d’appliquer cette formule à des exemples de complexité croissante. Nous verrons également comment nous pouvons utiliser les propriétés des exponentielles et des logarithmes pour déterminer la dérivée des fonctions exponentielles générales.

Rappelez-vous, une fonction exponentielle est l’une des formes 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes et 𝑏 est strictement supérieure à zéro. Nous sommes en train de considérer la dérivée d’une forme particulière de ce type, la fonction exponentielle 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 égal 𝑒 de 𝑘𝑥. Or, une idée fausse commune est de penser que nous pouvons appliquer la règle de puissance à ces fonctions exponentielles. En fait, la règle de puissance ne s’applique que lorsque l’exposant est fixe et que les bases sont variables.

Dans les fonctions exponentielles, la base est fixe et l’exposant est la variable. Donc, nous aurons besoin d’utiliser une formule distincte pour la dérivée d’une fonction exponentielle, bien que la dérivation de cette formule est réalisable si vous savez comment dériver l’inverse de 𝑒 de 𝑥 ou ln 𝑥. Et cela peut aussi être réalisé grâce à la définition. Mais il est hors des contraintes de cette vidéo de regarder tout cela. Ainsi, à la place, nous énonçons la formule pour la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 et 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥.

La dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et cette formule peut être généralisée. Et on peut dire que la dérivée de 𝑒 à la puissance z𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑘𝑒 de 𝑘𝑥. Maintenant, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥 est incroyablement inhabituel. Sa dérivée est la même que la fonction d’origine. Géométriquement, cela signifie que, pour chaque valeur de 𝑥, la pente ou la pente de la tangente à la courbe en ce point est égale à la valeur 𝑦. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance deux, ce qui correspond à environ 7.39. Puisque la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥, cela signifie que la pente de la tangente à la courbe en ce point est également 7.39. Regardons un exemple d’application de ces formules.

Si 𝑓 de 𝑥 est égale à moins cinq 𝑒 de moins neuf 𝑥, déterminez 𝑓 prime de 𝑥. Déterminez la dérivée de la fonction.

Rappelez-vous, la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 est 𝑘𝑒 de 𝑘𝑥. Maintenant, notre fonction est un multiple de 𝑒 de 𝑘𝑥. C’est moins cinq fois 𝑒 de 𝑘𝑥, où 𝑘 est égal à neuf. Nous savons maintenant que la règle du facteur constant nous permet de prendre des constantes en dehors d’une dérivée et de nous concentrer sur la dérivation de la fonction de 𝑥 elle- même. Donc, cela signifie que nous pouvons dire que la dérivée de la fonction de 𝑥 est égale à moins cinq fois la dérivée de 𝑒 de moins neuf 𝑥. Et nous savons que la dérivée de 𝑒 de moins neuf 𝑥 est neuf fois moins 𝑒 de moins neuf 𝑥. Et puisque le nombre moins cinq multiplié par le nombre moins neuf est 45, nous pouvons dire que la dérivée de notre fonction est 45𝑒 de moins neuf 𝑥.

Prenons un autre exemple.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 si cinq 𝑦𝑒 de deux 𝑥 est égal à sept 𝑒 à cinq.

À première vue, cela semble un peu compliqué. Cependant, nous pouvons voir clairement que l’on peut modifier l’équation pour faire de 𝑦 le sujet. Nous allons diviser les deux côtés de l’équation par cinq 𝑒 de deux 𝑥. Du côté gauche, qui nous laisse simplement avec 𝑦. Et du côté droit, nous avons sept 𝑒 à la puissance cinq sur cinq 𝑒 de deux 𝑥. Or, en réalité, un sur 𝑒 à la puissance deux 𝑥 est égal à 𝑒 de moins deux. Nous pouvons donc réécrire notre équation. Et nous disons que 𝑦 est égal à sept 𝑒 à la puissance cinq sur cinq fois 𝑒 de moins deux 𝑥.

Notez que sept 𝑒 de cinq sur cinq est juste une constante. Nous pouvons donc dériver cela en utilisant la formule générale pour la dérivée de la fonction exponentielle. La dérivée de 𝑒 de 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑘𝑒 de 𝑘𝑥. Et bien sûr, rappelons-nous que la règle du facteur constant nous permet de placer des constantes en dehors d’une dérivée et de nous concentrer sur la dérivation de la fonction de 𝑥 elle-même.

En d’autres termes, d𝑦 sur d𝑥 est égal à sept 𝑒 à la puissance cinq sur cinq fois la dérivée de 𝑒 de moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Et la dérivée de 𝑒 de moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins deux 𝑒 de moins deux 𝑥. Cela signifie d𝑦 sur d𝑥 est moins deux fois sept 𝑒 à la puissance cinq sur cinq fois 𝑒 de moins deux 𝑥.

Notez que la dérivée peut effectivement être exprimée en fonction de 𝑦 depuis que nous avons dit que 𝑦 était égal à sept 𝑒 à la puissance cinq sur cinq fois 𝑒 de moins deux 𝑥. Et on peut donc dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins deux 𝑦.

Ensuite, nous examinons un exemple un peu plus complexe dans lequel nous devrons appliquer d’autres règles de dérivation.

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑧 est égale à moins trois 𝑒 de quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un.

Nous avons ici une fonction d’une fonction ou une fonction composée. Cela nous indique que nous allons devoir appliquer la règle de la chaîne. Ceci indique que la dérivée de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑔 de 𝑥. Sinon, on peut dire que si 𝑦 est égal à cette fonction composée, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, alors si nous posons 𝑢 égal à 𝑔 de 𝑥, alors 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑢. Et cela signifie que nous pouvons dire que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 multipliée par la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥.

Dans cet exemple, on dit que 𝑦 est égal à moins trois fois 𝑒 à la puissance 𝑢, où 𝑢 est égal à quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un. Et puisque nous allons dériver par rapport à 𝑧, nous modifions légèrement la formule. Et on dit que d𝑦 sur d𝑧 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑧. Nous allons donc avoir besoin de résoudre d𝑦 sur d𝑢 et d𝑢 sur d𝑧. d𝑦 sur d𝑢 est assez facile à dériver. Nous savons que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑢 est 𝑒 à la puissance 𝑢. Ainsi, la dérivée de moins trois 𝑒 à la puissance 𝑢 est moins trois 𝑒 à la puissance 𝑢. Et puis, on peut remplacer 𝑢 avec quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un pour obtenir moins trois 𝑒 de quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un. Mais qu’en est-il de la dérivée de quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus un ?

Eh bien, ici, nous devons utiliser la règle du quotient. Cela dit que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la fonction 𝑔 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥 moins la fonction 𝑓 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑔 de 𝑥. Et le tout sur 𝑔 de 𝑥 au carré. Nous changeons 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de 𝑧 et 𝑔 de 𝑥 en 𝑔 de 𝑧. Ensuite, la dérivée du numérateur de notre fraction est quatre. Et la dérivée du dénominateur de notre fraction est également quatre. Ainsi, l’équivalent de 𝑔 de 𝑧 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑧 est quatre 𝑧 plus un fois quatre. Et l’équivalent de 𝑓 de 𝑧 fois la dérivée de 𝑔 de 𝑧 est quatre 𝑧 fois quatre. Et le tout sur le dénominateur au carré. C’est quatre 𝑧 plus un carré. Maintenant, en développant les parenthèses et nous nous retrouvons simplement avec quatre sur le numérateur de cette fraction. Donc, d𝑢 sur d𝑧 est égal à quatre sur quatre 𝑧 plus un carré.

Remplaçons maintenant tout ce que nous avons par la formule pour la règle de la chaîne. d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑧 est moins trois 𝑒 de quatre 𝑧 sur quatre 𝑧 plus une fois quatre sur quatre 𝑧 plus un carré. Et si nous simplifions, nous voyons que la dérivée de notre fonction est négative 12 𝑒 de quatre 𝑧 plus de quatre 𝑧 plus un ensemble plus de quatre 𝑧 plus un carré.

Notre exemple suivant nous conduira dans une définition de la dérivée d’une équation exponentielle sous la forme 𝑎𝑏 à la puissance 𝑥.

Si 𝑦 est égal à moins trois fois deux à la puissance 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

Pour répondre à cette question, rappelons tout d’abord le fait que la règle du facteur constant nous permet de prendre des constantes en dehors d’une dérivée et de nous concentrer sur la dérivation de la fonction de elle- même. On peut donc dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins trois fois la dérivée de deux à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. Mais comment dériver deux de la puissance 𝑥 ? Eh bien, nous allons utiliser les lois des logarithmes et des exponentielles.

Nous commençons par dire que deux est la même chose que 𝑒 à la puissance ln deux. Et rappelez-vous, cela est vrai car 𝑒 et ln sont des fonctions inverses l’une de l’autre. Nous élevons ensuite les deux côtés de cette équation à la puissance 𝑥 et on utilise les lois des exposants pour dire que deux à la puissance 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance deux fois ln 𝑥. Eh bien, ln deux, c’est juste une constante. Nous utilisons donc le fait que la dérivée de 𝑒 de 𝑘𝑥 est 𝑘𝑒 de 𝑘𝑥. Et on peut dire que la dérivée de deux à la puissance 𝑥 est deux fois ln 𝑒 de ln deux 𝑥. Cela signifie que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins trois fois ln deux fois 𝑒 de ln deux 𝑥.

Maintenant, rappelez-vous, nous avons effectivement défini deux à la puissance 𝑥 comme étant 𝑒 de ln deux 𝑥. Nous remplaçons donc 𝑒 de ln deux 𝑥 par deux à la puissance 𝑥. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 dans ce cas est moins trois fois ln deux fois deux à la puissance 𝑥.

Maintenant, nous pouvons généraliser le résultat de l’exemple précédent. Et on peut dire que la dérivée d’une fonction exponentielle de la forme 𝑏 à la puissance 𝑥 est ln 𝑏 fois 𝑏 à la puissance 𝑥. Et nous pouvons généraliser cela un peu. Et nous disons que la dérivée de 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 fois ln de 𝑏 fois 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥. Et bien qu’il soit très utile d’apprendre cette formule par cœur, il est également important que vous puissiez suivre le processus que nous avons suivi auparavant pour les déterminer. Regardons l’application de ces formules.

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale sept à la puissance moins neuf 𝑥 moins huit à la puissance moins deux.

Pour déterminer la dérivée de cette fonction, nous allons d’abord voir s’il existe un moyen de la simplifier quelque peu. En fait, nous pouvons utiliser les lois des exposants pour le faire. Rappelez-vous, 𝑎 à la puissance 𝑚 à la puissance 𝑛 est égale à 𝑎 à la puissance 𝑚 fois 𝑛. Nous pouvons donc dire que sept à la puissance moins neuf 𝑥 moins huit tout à la puissance moins deux équivaut à sept à la puissance 18 plus 16. Nous utilisons ensuite une autre loi des exposants. Cette fois-ci, 𝑎 à la puissance 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 est le même que 𝑎 à la puissance 𝑚 plus 𝑛. Donc 𝑦 doit être égal à sept à la puissance 18𝑥 fois sept à la puissance 16.

Maintenant, sept à la puissance 16 est une constante. On peut donc dire que la dérivée première de notre fonction d𝑦 sur d𝑥 est égal à sept à la puissance 16 fois la dérivée de sept à la puissance 18𝑥 par rapport à 𝑥. Et ici, nous utilisons le fait que la dérivée de 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois ln de 𝑏 fois 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥. Et cela signifie que la dérivée de sept à la puissance 18𝑥 est 18 fois ln de sept fois sept à la puissance 18𝑥.

Maintenant, encore une fois, nous allons utiliser le fait que 𝑎 à la puissance 𝑚 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 est le même que 𝑎 à la puissance 𝑚 plus 𝑛. Et nous pouvons réécrire sept à la puissance 16 fois sept à la puissance 18𝑥 comme étant sept à la puissance 18𝑥 plus 16. Et cela signifie que la dérivée première de notre fonction est 18 fois ln sept fois sept à la puissance 18𝑥 plus 16. Dans notre dernier exemple, examinons un problème écrit impliquant les dérivées des exponentielles.

La désintégration radioactive du Radon-222 est modélisée par la formule suivante. 𝑁 de 𝑡 est égal à 𝑁 zéro fois un demi à la puissance 𝑡 sur un demi 𝑡, où 𝑁 de 𝑡 est la quantité restante, en grammes, de Radon-222 qui n’a pas décru après 𝑡 jours. 𝑁 zéro est la quantité initiale de Radon-222. Et un demi 𝑡 est sa demi-vie. Un échantillon particulier contenait initialement 10 grammes de Radon-222. Étant donné que la demi-vie du Radon-222 est de 3.8215 jours, déterminez le taux de dégradation de l’échantillon 10 jours plus tard. Donnez votre réponse avec trois chiffres significatifs.

N’oubliez pas que le taux de variation ou, ici, le taux de décroissance, correspondra toujours à la fonction de gradient ou à la dérivée. Pour répondre à cette question-là, nous allons avoir besoin de dériver les fonctions 𝑁 zéro fois un demi à la puissance 𝑡 sur un demi 𝑡 par rapport à 𝑡. Maintenant, cela peut sembler un peu délicat. Cependant, 𝑁 zéro est une constante tout comme un demi 𝑡. Et nous utilisons le fait que la dérivée de 𝑏 à 𝑘𝑥 est 𝑘 fois ln 𝑏 fois 𝑏 à 𝑘𝑥. Et on peut dire que la dérivée de 𝑁 par rapport à 𝑡 est égal à 𝑁 zéro fois un sur un demi 𝑡, puisque dans notre équation qui est l’équivalent de 𝑘, fois ln d’un demi, puisque dans notre équation 𝑏 est un demi, fois un demi à la puissance 𝑡 sur un demi 𝑡.

Maintenant, nous réécrivons ln d’un demi et disons que c’est la même chose que ln de deux à la puissance moins un. Et nous utilisons les lois des logarithmes. Et nous voyons qu’un demi est égal à moins une fois sur deux ou juste moins ln de deux. Et ainsi nous pouvons réécrire un peu notre expression. Maintenant, étant donné qu’un échantillon particulier contenant initialement 10 grammes de Radon-222, on peut dire que 𝑁 zéro doit être égal à 10. Nous savons que 𝑡 moitié est égale à 3.8215. Et nous cherchons à déterminer le taux de décroissance lorsque 𝑡 est égal à 10. Nous allons donc substituer tous ces éléments dans notre équation de la dérivée. Et nous obtenons 10 sur 3.8215 fois moins ln deux fois un demi à la puissance 10 sur 3.8215. Et cela nous donne une valeur de moins 0.2957.

Mais qu’est-ce que cela signifie réellement par rapport à notre question ? Eh bien, avec une précision de trois chiffres significatifs, le taux de variation est égal à moins 0.296. Maintenant, puisque cela est négatif, cela signifie que l’échantillon se décompose selon un taux de 0.296 grammes par jour.

Dans cette vidéo, nous avons vu que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et nous avons vu que cela peut être généralisé. Et on peut dire que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥. Nous avons vu aussi que nous pouvons dériver 𝑏 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 pour obtenir ln 𝑏 fois 𝑏 à la puissance 𝑥. Et on généralise cela pour dire que la dérivée de 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥 est égale à 𝑘 fois ln 𝑏 fois 𝑏 à la puissance 𝑘𝑥. Nous avons également vu qu’il peut être utile de simplifier ou de manipuler des expressions en utilisant les règles des exposants avant de dériver. Et nous avons dit qu’il était important de ne pas confondre règle de puissance et règle de dérivation des fonctions exponentielles.

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