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Fiche explicative de la leçon : Dérivation des fonctions exponentielles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d’une fonction exponentielle.

Les fonctions exponentielles jouent un rôle important en mathématiques et ont de nombreuses applications physiques. Par exemple, on utilise les fonctions exponentielles pour modéliser la croissance des bactéries, l’intérêt en composition continue et la décroissance radioactive, pour ne citer que quelques-unes de ses applications. En fait, son utilisation omniprésente en mathématiques a poussé le mathématicien américain d’origine autrichienne, Walter Rudin, à l’appeler la fonction la plus importante en mathématiques. L’une des raisons pour lesquelles les fonctions exponentielles sont si importantes en mathématiques est leurs propriétés par rapport aux dérivées;dans cette fiche explicative, nous allons étudier ces propriétés. Commençons par une définition générale de la fonction exponentielle.

Définition : Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑏,𝑏 est une constante qui vérifie 𝑏>0 et 𝑏1. La constante 𝑏 est appelée la base de la fonction exponentielle.

Une erreur courante lorsqu’on dérive les fonctions exponentielles est de supposer qu’on peut utiliser la règle de dérivation d’une puissance ddpourtouteconstante𝑥𝑥=𝑝𝑥,𝑝.

Ceci n’est pas vrai comme nous allons le voir. Il est important de pouvoir clairement distinguer:on utilise la règle de dérivation d’une puissance lorsque la base de la fonction est la variable et l’exposant est fixe, alors que pour les fonctions exponentielles, l’exposant est la variable et la base est fixe.

Fonctions puissancesFonctions exponentielles
𝑥𝑏
La variable est la base.La base est une constante.
L’exposant est une constante.La variable est l’exposant.

On peut dériver les fonctions puissances à l’aide de la règle de dérivation d’une puissance. Pour tout 𝑝, dd𝑥(𝑥)=𝑝𝑥.

Cependant, on ne peut appliquer la règle de dérivation d’une puissance qu’aux fonctions puissances et non aux fonctions exponentielles. Utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour dériver une fonction exponentielle est une erreur courante de dérivation. Par exemple, utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour déterminer la dérivée de 2 donnerait 𝑥2, ce qui est incorrect. Nous devons faire attention à reconnaître que la variable dans 2 est dans l’exposant, ce qui la rend une fonction exponentielle. Par conséquent, on ne peut pas utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour déterminer la dérivée de cette fonction exponentielle.

Voyons comment dériver une fonction exponentielle. Nous allons commencer par déterminer la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, 𝑒, dont la base 𝑒 est la constante d’Euler. La constante d’Euler est définie par la limite suivante:

𝑒=1+1𝑛.lim()1

Après avoir déterminé la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées des fonctions exponentielles générales, qui sont de la forme 𝑏 pour tout 𝑏>0 et 𝑏1.

Rappelons que la dérivée d’une fonction 𝑓(𝑥) est donnée par ddlim𝑥𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

Si on applique cette définition à la fonction exponentielle naturelle 𝑓(𝑥)=𝑒 on obtientddlim𝑥(𝑒)=𝑒𝑒.

En utilisant la règle des exposants, on peut écrire 𝑒 comme 𝑒×𝑒. Alors, on écrit cette limite comme lim𝑒×𝑒𝑒.

Dans le numérateur du quotient, on note que 𝑒 est un facteur commun. Ainsi, la forme factorisée est donnée par lim𝑒×𝑒1.

Puisque 𝑒 ne dépend pas de , on peut la considérer comme une constante par rapport à la limite quand 0. Ainsi, on peut factoriser cette expression à partir de la limite et écrire

ddlim𝑥(𝑒)=𝑒𝑒1.()2

Ainsi, lorsqu’on cherche la limite lim𝑒1 on obtient la formule de la dérivée de 𝑒. Déterminons cette limite.

Calculer cette limite nécessite quelques astuces, qui ne sont pas apparentes au début. Mais il sera utile de voir exactement comment la définition de la constante d’Euler donnée dans (1) impacte le calcul de cette limite.

On commence par définir la variable 𝑦 comme égale au numérateur du quotient dans la limite:𝑦=𝑒1.

On peut réarranger cette équation de sorte que en soit le sujet:𝑦+1=𝑒=(𝑦+1).ln

On peut remplacer le numérateur du quotient par 𝑦 et le dénominateur du quotient par ln(𝑦+1). On note également que lorsque tend vers 0, la variable 𝑦 tend également vers 0 puisque lim𝑒1=𝑒1=0. Si on change la variable de la limite de à 𝑦, on peut écrire limlimln𝑒1=𝑦(𝑦+1).

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par 1𝑦, on obtient limlnlimln𝑦×(𝑦+1)=1(𝑦+1).

Rappelons la loi des logarithmes qui stipule que le coefficient d’un log devient l’exposant de son argument. Ainsi, si on applique les concepts de fonctions continues, on peut écrire la limite ci-dessus comme

limlnlnlim1(𝑦+1)=1(𝑦+1).()3

Maintenant, considérons la limite entre parenthèses ci-dessus. Ceci ressemble un peu à la limite dans l’équation (1), qui est la définition de la constante d’Euler. Définissons une autre variable 𝑛 par 𝑛=1𝑦.

Cela signifie aussi que 𝑦=1𝑛. On note que lorsque 𝑦 tend vers 0, 𝑛 tend vers l’infini. Cela nous donne limlim(𝑦+1)=1+1𝑛.

D’après l’équation (1), la limite de droite est égale à 𝑒. Si on remplace la valeur de cette limite dans l’équation (3), on peut obtenir la valeur de la limite cherchée:limln𝑒1=1𝑒=1.

Maintenant que nous avons trouvé la valeur de cette limite, nous pouvons revenir à la dérivation de 𝑒. Lorsqu’on introduit cette valeur de la limite dans l’équation (2), on obtient ddlim𝑥(𝑒)=𝑒×𝑒1=𝑒.

Cela nous donne la dérivée de la fonction exponentielle naturelle.

Règle : Dérivée de la fonction exponentielle naturelle

La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est dd𝑥(𝑒)=𝑒.

L’importance de la règle de la dérivée pour la fonction exponentielle naturelle ne peut être surestimée. La fonction exponentielle naturelle est la seule fonction non nulle dont la dérivée est égale à elle-même. Ce fait rend la fonction exponentielle naturelle une solution à de nombreux modèles mathématiques de problèmes de la vie courante. Sans aucun doute, la fonction exponentielle naturelle est la fonction la plus importante dans les modèles mathématiques du monde réel.

Commençons par un exemple dans lequel on utilise cette règle pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée.

Exemple 1: Déterminer les dérivées des fonctions impliquant des exponentielles

Déterminez la dérivée de la fonction définie par 𝑦=3𝑒5𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer la dérivée d’une fonction qui contient la fonction exponentielle 𝑒 et une fonction racine 5𝑥. Nous notons qu’on peut exprimer la fonction racine donnée comme une fonction puissance 5𝑥=5𝑥=5𝑥.

En utilisant cette forme, on peut réécrire la fonction donnée comme 𝑦=3𝑒5𝑥.

Par conséquent, on écrit la dérivée comme suit 𝑦=3𝑒5𝑥.

Nous rappelons la règle de la somme/différence qui nous permet de séparer la somme à l’intérieur de la dérivée et aussi la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante qui nous permet de sortir les constantes 3 et 5 de la dérivée. Par conséquent, 𝑦=(3𝑒)5𝑥=3(𝑒)5𝑥.

Maintenant, nous devons déterminer la dérivée de la fonction exponentielle et de la fonction puissance. Rappelons les règles de dérivation pour ces fonctions:(𝑥)=𝑝𝑥,𝑝,(𝑒)=𝑒.pourtouteconstante

Lorsqu’on applique ces règles à 𝑦, on obtient 𝑦=3𝑒513𝑥=3𝑒+53𝑥.

Par conséquent,𝑦=3𝑒+53𝑥.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la dérivée de la fonction exponentielle naturelle multipliée par la fonction trigonométrique sécante.

Exemple 2: Déterminer la dérivée d’une fonction qui contient les fonctions trigonométrique et exponentielle à l’aide de la règle du produit

Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥sec.

Réponse

On peut commencer par remarquer que la fonction donnée est un produit de deux fonctions, 𝑒 et sec𝑥. On rappelle la règle du produit:si 𝑔(𝑥) et (𝑥) sont des fonctions dérivables, alors (𝑔(𝑥)(𝑥))=𝑔(𝑥)(𝑥)+𝑔(𝑥)(𝑥).

Utiliser la règle du produit pour notre fonction, donne 𝑓(𝑥)=(𝑒)𝑥+𝑒(𝑥).secsec

Maintenant, nous devons calculer les dérivées (𝑒) et (𝑥)sec. Rappelons les dérivées de la fonction exponentielle et de la fonction trigonométrique sécante (𝑒)=𝑒,(𝑥)=𝑥𝑥.secsectan

Lorsqu’on introduit ces expressions dans 𝑓(𝑥), on obtient 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒𝑥𝑥.secsectan

Nous pouvons voir que 𝑒𝑥sec est un facteur commun aux deux termes dans le membre droit de l’équation. Si on factorise ce terme, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥(1+𝑥).sectan

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la dérivée de la fonction exponentielle naturelle combinée avec la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée.

Exemple 3: Déterminer la dérivée des fonctions exponentielles à l’aide de la règle de dérivation en chaîne

Si 𝑓(𝑥)=5𝑒, trouvez 𝑓(𝑥).

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver 𝑓(𝑥)=5𝑒.

Avant de déterminer la dérivée de la fonction exponentielle, nous pouvons factoriser la constante 5 hors de la dérivée en utilisant la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante:𝑓(𝑥)=5𝑒=5𝑒.

Maintenant, on considère la dérivée 𝑒. On peut noter que 𝑒 est composée de deux fonctions;par conséquent, nous rappelons la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée:(𝑔((𝑥)))=𝑔((𝑥))(𝑥).

Pour la fonction 𝑒, la fonction extérieure est 𝑔(𝑢)=𝑒 et la fonction intérieure est (𝑥)=9𝑥. Nous devons calculer les dérivées de chacune de ces fonctions. Pour calculer la dérivée de 𝑔(𝑢)=𝑒, rappelons la règle de dérivation de la fonction exponentielle, (𝑒)=𝑒.

Ceci nous donne 𝑔(𝑢)=(𝑒)=𝑒.

En revanche, on peut utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour déterminer la dérivée de (𝑥)=(9𝑥)=9.

Lorsqu’on introduit ces expressions dans la règle de dérivation en chaîne, on obtient 𝑒=𝑒×(9)=9𝑒.

Enfin, sachant que nous avons factorisé 5 au début, on peut écrire 𝑓(𝑥)=59𝑒=45𝑒.

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction exponentielle. Suivant la même approche, on peut écrire une formule générale pour les règles de dérivation en chaîne qui impliquent la fonction exponentielle.

Règle : Règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle

Étant donné une fonction dérivable 𝑢(𝑥), on a 𝑒=𝑢(𝑥)𝑒.()()

Lorsqu’on a déterminé la dérivée 𝑒 dans l’exemple précédent, on aurait pu noter qu’il s’agit de la règle de dérivation en chaîne avec la fonction exponentielle où 𝑢(𝑥)=9𝑥. Puisque 𝑢(𝑥)=9, on obtient la dérivée 𝑒=9𝑒.

Nous ne devons pas mémoriser cette formule car nous pouvons toujours déterminer cette dérivée en écrivant la règle de dérivation en chaîne comme nous l’avons fait dans le premier exemple. Cependant, connaître cette règle supplémentaire aide à gagner du temps lorsqu’on cherche la dérivée de ces fonctions.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser cette règle pour la dérivation d’une fonction exponentielle avec un exposant du second degré.

Exemple 4: Déterminer la dérivée des fonctions exponentielles naturelles à l’aide de la règle de dérivation en chaîne

Déterminez la dérivée de 𝑔(𝑥)=5𝑒.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver la dérivée 𝑔(𝑥)=5𝑒.

On peut factoriser la constante 5 hors de la dérivée, en utilisant la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante:𝑔(𝑥)=5𝑒.

Pour calculer la dérivée 𝑒, on note qu’il s’agit d’une fonction composée de la forme 𝑒(), 𝑢(𝑥)=3𝑥+3𝑥. Rappelons la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle:𝑒=𝑒𝑢(𝑥).()()

Grâce à la règle de dérivation d’une puissance, on peut calculer 𝑢(𝑥)=6𝑥+3.

Si on introduit cette dérivée dans la règle de dérivation en chaîne, on obtient𝑒=𝑒(6𝑥+3).

Enfin, sachant que nous avons factorisé 5 au début, on peut écrire 𝑔(𝑥)=5𝑒(6𝑥+3)=𝑒(30𝑥15).

Par conséquent,𝑔(𝑥)=𝑒(30𝑥15).

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle avec la règle de dérivation du quotient pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée.

Exemple 5: Déterminer la dérivée des combinaisons de fonctions exponentielle et polynomiale à l’aide de la règle de dérivation du quotient

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦=4𝑒7𝑥+4.

Réponse

On peut commencer par remarquer que la fonction donnée est un quotient de deux fonctions, 4𝑒 et 7𝑥+4. Par conséquent, nous rappelons la règle de dérivation du quotient:étant donné deux fonctions dérivables 𝑔(𝑥) et (𝑥), 𝑔(𝑥)(𝑥)=𝑔(𝑥)(𝑥)𝑔(𝑥)(𝑥)((𝑥)).

Si on applique la règle de dérivation d’un quotient à la fonction, on obtient 𝑦=4𝑒(7𝑥+4)4𝑒(7𝑥+4)(7𝑥+4).

Nous devons maintenant calculer les dérivées 4𝑒 et (7𝑥+4). La dérivée (7𝑥+4)=7 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Pour l’autre dérivée, on peut d’abord utiliser la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante pour factoriser la constante 4 de la dérivée:4𝑒=4𝑒.

Pour calculer 𝑒, rappelons la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle:𝑒=𝑒𝑢(𝑥).()()

Dans ce cas, 𝑢(𝑥)=7𝑥;par conséquent, 𝑢(𝑥)=7 de la règle de dérivation d’une puissance. Si on substitue ces expressions dans la règle de dérivation en chaîne, on obtient 𝑒=𝑒×7, ce qui signifie que 4𝑒=4𝑒×7=28𝑒.

Nous pouvons maintenant introduire ces dérivées dans 𝑦 pour obtenir 𝑦=28𝑒(7𝑥+4)4𝑒(7)(7𝑥+4)=196𝑥𝑒+112𝑒28𝑒(7𝑥+4)=196𝑥𝑒+84𝑒(7𝑥+4).

Jusqu’ici, nous avons considéré la règle de dérivation de la fonction exponentielle naturelle. Passons maintenant à la fonction exponentielle générale définie par 𝑏, où la base 𝑏 vérifie 𝑏>0 et 𝑏1. On peut relier une fonction exponentielle générale à la fonction exponentielle naturelle en utilisant l’identité 𝐵=𝐴,𝐴>0,𝐵>0.logpourtoutesconstantes

Si on applique cette identité avec 𝐵=𝑏 et 𝐴=𝑒, et on écrit log en base 𝑒 comme ln (log népérien), 𝑏=𝑒.ln

Rappelons la propriété du logarithme qui stipule que lnln𝑏=𝑥𝑏. Cela nous donne 𝑏=𝑒.ln

Ainsi, on peut écrire une fonction exponentielle générale sous la forme d’une fonction exponentielle naturelle. Pour déterminer la dérivée d’une fonction exponentielle générale, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle avec 𝑢(𝑥)=𝑥𝑏ln. On peut utiliser la règle de dérivation de puissance pour obtenir 𝑢(𝑥)=𝑏ln, on peut donc écrire (𝑏)=𝑒𝑏.lnln

Puisque 𝑒=𝑏ln, on peut substituer cette expression pour obtenir la dérivée d’une fonction exponentielle générale.

Règle : Dérivée des fonctions exponentielles générales

La dérivée d’une fonction exponentielle 𝑏, si 𝑏>0 et 𝑏1, est ddln𝑥(𝑏)=𝑏𝑏.

Considérons un exemple dans lequel on utilise la dérivée d’une fonction exponentielle générale pour trouver la dérivée d’une fonction donnée.

Exemple 6: Déterminer la dérivée première d’une fonction exponentielle avec une base entière

Étant donné 𝑦=3×2, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer dddd𝑦𝑥=𝑥(3×2).

On peut factoriser la constante 3 de la dérivée en utilisant la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante:dddd𝑦𝑥=3𝑥(2).

Pour calculer la dérivée de la fonction exponentielle 2, rappelons la dérivée d’une fonction exponentielle:ddln𝑥(𝑏)=𝑏𝑏.

Puisque l’on a la base 𝑏=2 de la fonction exponentielle, on peut écrire ddln𝑥(2)=22.

Si on introduit cette dérivée dans dd𝑦𝑥, on peut obtenir ddlnln𝑦𝑥=3(22)=3×22.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne avec la dérivée d’une fonction exponentielle générale. Bien que nous ayons établi une formule pour la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle, cette formule ne conduit pas directement à la règle de dérivation en chaîne pour les fonctions exponentielles générales. Dans un effort pour éviter l’excès de formules, nous allons calculer ces dérivées en utilisant directement la règle de dérivation en chaîne.

Exemple 7: Déterminer la dérivée des fonctions exponentielles à l’aide de la règle de dérivation en chaîne

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦=7.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver la dérivée première d’une fonction exponentielle qui est élevée à un autre exposant. Bien que cette expression semble compliquée, on peut utiliser les règles des exposants pour considérablement la simplifier. Rappelons que, pour toute base 𝑏 et des exposants 𝑐 et 𝑑, (𝑏)=𝑏.

En d’autres termes, on peut multiplier ces exposants. En utilisant cette règle, on peut simplifier la fonction donnée et obtenir 𝑦=7=7.()

Maintenant, nous calculons la dérivée première:𝑦=7.

On peut noter que la fonction 7 est composée de deux fonctions;par conséquent, nous rappelons la règle de dérivation en chaîne pour trouver la dérivée d’une fonction composée:(𝑓(𝑔(𝑥)))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Pour la fonction 7, la fonction extérieure est 𝑓(𝑢)=7 et la fonction intérieure est 𝑔(𝑥)=18𝑥+16. Nous devons calculer les dérivées de chacune de ces fonctions. Pour calculer la dérivée de 𝑓(𝑢)=7, rappelons la règle de dérivation des fonctions exponentielles générales définies par, (𝑏)=𝑏𝑏,𝑏>0,𝑏1.lnpourtouteconstante

Ceci nous donne 𝑓(𝑢)=(7)=77.ln

En revanche, on peut utiliser la règle de dérivation d’une puissance pour dériver 𝑔(𝑥)=(18𝑥+16)=18.

Lorsqu’on substitue ces expressions dans la règle de dérivation en chaîne, on obtient 𝑦=77×18=1877.lnln

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé la règle de dérivation en chaîne pour une fonction exponentielle générale pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée. Nous pouvons suivre la même procédure pour trouver une formule générale de la règle de dérivation en chaîne pour les fonctions exponentielles générales.

Règle : Règle de dérivation en chaîne pour les fonctions exponentielles générales

Étant donné une fonction dérivable 𝑢(𝑥) et une constante 𝑏 qui vérifie 𝑏>0 et 𝑏1, on a 𝑏=𝑢(𝑥)𝑏𝑏.()()ln

Dans le dernier exemple, nous allons considérer un problème concret qui implique la dérivée de la fonction exponentielle naturelle.

Exemple 8: Déterminer le taux de variation des fonctions exponentielles dans un contexte réel

La production d'une usine égale 𝑦 en une journée 𝑡 et elle est régie par la relation 𝑦=40010𝑒. Quel est le taux de variation de la production par rapport au temps au cinquième jour?

Réponse

Rappelons que le taux de variation d’une fonction est la dérivée de la fonction calculée en un point. Dans cet exemple, notre fonction représente la production d’une usine. Pour déterminer le taux de variation de la production par rapport au temps le cinquième jour, nous dévons déterminer la dérivée de cette fonction et la calculer à 𝑡=5.

Déterminons la dérivée dd𝑦𝑡. On peut utiliser la règle de dérivation d’un produit d’une fonction par une constante et la règle de somme/différence pour écrire dddddddddd𝑦𝑡=𝑡40010𝑒=400𝑡10𝑒=400𝑡(10)𝑡𝑒.

Nous devons maintenant calculer les dérivées dd𝑡(10) et dd𝑡𝑒. D’après la règle de dérivation d’une constante, on sait que dd𝑡(10)=0.

Pour calculer la dérivée dd𝑡𝑒, rappelons la règle de dérivation en chaîne pour la fonction exponentielle naturelle:étant donné une fonction dérivable 𝑢(𝑡), dd𝑡𝑒=𝑢(𝑡)𝑒.()()

Ici, 𝑢(𝑡)=0,8𝑡;donc, on a 𝑢(𝑡)=0,8 d’après la règle de dérivation d’une puissance. Si on substitue ces dérivées dans la règle de dérivation en chaîne, on obtient dd𝑡𝑒=0,8𝑒.

Nous pouvons maintenant substituer ces dérivées dans dd𝑦𝑡 et écrire dd𝑦𝑡=40000,8𝑒=320𝑒.

En déterminant la valeur de la dérivée lorsque 𝑡=5, on obtientdd𝑦𝑡|||=320𝑒=320𝑒.×

Donc, le taux de variation de la production par rapport au temps au cinquième jour est 320𝑒.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est dd𝑥(𝑒)=𝑒.
  • Étant donné une fonction dérivable 𝑢(𝑥), on a 𝑒=𝑢(𝑥)𝑒.()()
  • La dérivée d’une fonction exponentielle 𝑏, si 𝑏>0 et 𝑏1, est ddln𝑥(𝑏)=𝑏𝑏.
  • Étant donné une fonction dérivable 𝑢(𝑥) et une constante 𝑏 qui vérifie 𝑏>0 et 𝑏1, on a 𝑏=𝑢(𝑥)𝑏𝑏.()()ln

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