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Un cube de côté trois est placé avec un sommet à l’origine et trois côtés le long des axes positifs. Trouvez les équations paramétriques de la diagonale principale à partir de l’origine.
Commençons par faire un schéma du cube. La diagonale principale du cube va du sommet à l’origine, qui a pour coordonnées zéro, zéro, zéro, au sommet le plus éloigné, c’est-à-dire le sommet de coordonnées trois, trois, trois. Rappelons maintenant que les équations paramétriques d’une droite dans l’espace sont 𝑥 est égal à 𝑥 indice zéro plus 𝑎𝑡, 𝑦 est égal à 𝑦 indice zéro plus 𝑏𝑡 et 𝑧 est égal à 𝑧 indice zéro plus 𝑐𝑡. 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro, 𝑧 indice zéro est un point sur la droite, le vecteur 𝑎, 𝑏, 𝑐 est un vecteur directeur et 𝑡 est un paramètre réel compris entre moins l’infini et plus l’infini.
Maintenant, si nous prenons l’origine, le point zéro, zéro, zéro, comme le point sur la droite de coordonnées 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro, 𝑧 indice zéro, alors nos équations paramétriques deviennent 𝑥 est égal à zéro plus 𝑎𝑡, 𝑦 est zéro plus 𝑏𝑡, et 𝑧 est zéro plus 𝑐𝑡. Nous avons donc que 𝑥 vaut 𝑎𝑡, 𝑦 vaut 𝑧 et 𝑧 vaut 𝑐𝑡.
Maintenant, nous devons trouver les coordonnées d’un vecteur directeur, soit les composantes du vecteur directeur 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Si nous avons deux points sur une droite de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑥 deux, 𝑧 deux, alors les composantes du vecteur sont données par 𝑎 est égal à 𝑥 indice deux moins 𝑥 indice un, 𝑏 est égal à 𝑦 indice deux moins 𝑦 indice un et 𝑐 est 𝑧 indice deux moins 𝑧 indice un. Ainsi, si cette fois nous prenons l’origine comme le point de coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le sommet à la fin de la diagonale principale comme point de coordonnées 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, 𝑧 indice deux - qui a pour coordonnées trois, trois, trois - alors nous avons 𝑎 est égal à trois moins zéro, 𝑏 est égal à trois moins zéro et 𝑐 est égal à trois moins zéro. Notre vecteur directeur a donc pour composantes trois, trois, trois. En substituant ces valeurs dans nos équations paramétriques, nous avons 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡. Ce sont les équations paramétriques de la diagonale principale du cube.
Il convient de noter que nous aurions pu utiliser le point trois, trois, trois comme point sur la droite. Pour le vecteur directeur, nous aurions pu choisir n’importe quel vecteur parallèle à la droite. Nous aurions également pu restreindre les valeurs du paramètre 𝑡. En fait, la droite que nous avons trouvée s’étend sur l’ensemble de l’espace, alors que si nous limitions le paramètre 𝑡 pour ne prendre que des valeurs comprises entre zéro et un, les équations ne décriraient que la diagonale principale du cube.
