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Étudiez la continuité de la fonction 𝑓 étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égale à trois plus le sin de 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et 𝑥 est inférieur à 𝜋 de deux et 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre plus 𝑥 moins 𝜋 sur deux à la puissance huit si 𝑥 est supérieur ou égal à 𝜋 sur deux.
La question veut que nous discutions la continuité d’une fonction 𝑓. Et nous pouvons voir que cette fonction est définie par morceaux. Pour discuter la continuité de notre fonction 𝑓, rappelons ce que signifie que notre fonction soit continue en un point 𝑥 égal à 𝑎. Nous disons que 𝑓 est continue en 𝑥 est égale à 𝑎 si 𝑓 évaluée en 𝑎 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Et, bien sûr, 𝑓 évaluée en 𝑎 et cette limite doivent exister.
Parce que nous traitons la continuité d’une fonction définie par morceaux, nous pouvons la vérifier dans les trois étapes suivantes. Premièrement, nous voulons trouver l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥, puisqu’une fonction ne peut être que continue sur son ensemble de définition. Deuxièmement, nous vérifions la continuité sur chaque intervalle de notre fonction définie par morceaux. Enfin, il suffit de vérifier que sur les extrémités de ces intervalles, nos fonctions, correspondent.
Commençons par vérifier l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, nous devons vérifier les valeurs de 𝑥 pour lesquelles notre fonction définie par morceaux est définie. Nous voyons que lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et que 𝑥 est inférieur à 𝜋 sur deux, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois plus le sinus de 𝑥. Et trois plus le sinus de 𝑥 a pour ensemble de définition l’ensemble des nombres réels. Donc, en particulier, cela signifie qu’elle est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro et inférieures à 𝜋 sur deux. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est donc définie dans cet intervalle.
Ensuite, nous pouvons faire la même chose lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à 𝜋 sur deux. Nous obtenons 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre plus 𝑥 moins 𝜋 sur deux à la puissance huit. Et c’est un polynôme. Son ensemble de définition est donc, encore une fois, l’ensemble des nombres réels. Et, en particulier, cela signifie qu’elle est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à 𝜋 sur deux. Nous avons donc montré que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie sur ces deux intervalles. Ainsi, l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est la combinaison de ces deux intervalles. C’est 𝑥 supérieur ou égal à zéro. Nous voulons maintenant vérifier la continuité de notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur chacun de ces intervalles.
Commençons par vérifier la continuité pour 𝑥 supérieur ou égal à zéro et 𝑥 inférieur à 𝜋 sur deux. Sur cet intervalle, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois plus le sinus de 𝑥. Et nous savons que le sinus de 𝑥 est continu sur l’ensemble des nombres réels parce que toutes les fonctions trigonométriques sont continues sur leurs ensembles de définition et que le sinus de 𝑥 est défini pour tous les nombres réels. Ensuite, les fonctions constantes ne sont que des polynômes. Donc, elles sont continues sur l’ensemble des nombres réels. Enfin, cela signifie que trois plus le sinus de 𝑥 est la somme de deux fonctions continues, ce qui signifie qu’elle est continue. Et cela signifie que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur cet intervalle. Cependant, nous devons veiller à supprimer toutes les extrémités où notre fonction 𝑓 de 𝑥 change de définition.
Nous pouvons maintenant faire la même chose pour les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à 𝜋 sur deux. Nous pouvons voir, pour ces valeurs de 𝑥, que 𝑓 de 𝑥 est un polynôme. Et, bien sûr, nous savons que tous les polynômes sont continus sur l’ensemble des nombres réels. Et nous devons être prudents à ce stade, car cela nous indique uniquement que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 est strictement supérieure à 𝜋 sur deux. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 change de définition lorsque 𝑥 est inférieur à 𝜋 sur deux et lorsque 𝑥 est supérieur à 𝜋 sur deux.
Nous avons donc maintenant notre troisième et dernière étape. Nous devons vérifier que les extrémités de notre fonction 𝑓 de 𝑥 correspondent. Et nous pouvons voir que la seule extrémité où notre fonction change de définition est en 𝑥 égal à 𝜋 sur deux. Commençons par l’extrémité de trois plus le sinus de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à 𝜋 sur deux. Ceci est juste une constante plus une fonction trigonométrique. Nous pouvons donc le faire par substitution directe. Nous obtenons trois plus le sinus de 𝜋 sur deux, que nous pouvons évaluer pour nous donner juste quatre.
L’extrémité de notre deuxième intervalle est encore plus facile. Puisque 𝑥 doit être supérieur ou égal à 𝜋 sur deux, notre extrémité serait simplement où 𝑥 est égal à 𝜋 sur deux. Donc, nous venons de substituer directement 𝑥 est égal à 𝜋 sur deux en quatre plus 𝑥 moins 𝜋 sur deux à la puissance huit. Cela nous donne quatre plus 𝜋 sur deux moins 𝜋 sur deux à la puissance huit, que nous pouvons évaluer pour nous donner quatre. Et nous pouvons voir, dans ce cas, que ces extrémités correspondent. Elles sont toutes deux égales à quatre. Donc, cela nous dit que 𝑓 est continue en 𝑥 est égal à 𝜋 sur deux. Ainsi, lorsque nous vérifions l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous montrons en fait que 𝑓 de 𝑥 était continue sur tout son ensemble de définition.
Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est égale à trois plus le sinus de 𝑥 si 𝑥 est supérieure ou égale à zéro et 𝑥 est inférieure à 𝜋 sur deux. Et 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre plus 𝑥 moins 𝜋 sur deux à la puissance huit si 𝑥 est supérieur ou égal à 𝜋 sur deux. Est continue pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro.
