Video Transcript
Le schéma illustre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. Le tube en forme de U contient du mercure qui a une masse volumique de 13 595 kilogrammes par mètre cube. Selon la verticale, le sommet de la colonne de mercure en contact avec l’atmosphère se trouve en-dessous du sommet de la colonne de mercure en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets des colonnes ℎ est de 25 centimètres. Trouvez la pression du gaz dans le réservoir. Prenez une valeur de 𝑃 un de 101,3 kilopascals pour la pression atmosphérique.
Dans cet exemple, nous avons un manomètre à colonne de liquide. C’est ce tube en forme de U ici. Une extrémité du manomètre est ouverte à l’atmosphère, et une extrémité est reliée à un réservoir de gaz à une certaine pression. Le liquide dans le manomètre est du mercure. Et nous pouvons voir que la hauteur de la colonne de mercure à gauche n’est pas égale à la hauteur de la colonne de mercure à droite. Cela nous indique qu’il existe une différence de pression entre la pression atmosphérique agissant sur le mercure ici et la pression du gaz dans le réservoir agissant sur le mercure ici. Nous voulons déterminer la pression du gaz dans le réservoir, et nous allons la nommer 𝑃 indice gaz.
Rappelons que la masse volumique du mercure, nous la nommerons 𝜌 indice Hg, puisque Hg est le symbole atomique du mercure, est donnée comme étant de 13 595 kilogrammes par mètre cube. Cette masse volumique finit par être importante car, comme nous l’avons vu, il existe une différence de pression entre la pression de l’atmosphère et la pression du gaz.
Si nous appelons cette différence de pression de chaque côté du manomètre Δ𝑃, alors en regardant notre schéma, nous pouvons reconnaître que cette différence de pression est égale à la hauteur du mercure dans cette colonne ici. Dans l’énoncé du problème, on nous a dit que cette hauteur ℎ est de 25 centimètres. Alors, la pression créée par une colonne de mercure de 25 centimètres de haut est égale à la différence de pression Δ𝑃 entre la pression atmosphérique et la pression de notre gaz.
En général, pour un fluide de masse volumique 𝜌 de hauteur ℎ, la pression créée par ce fluide est 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ. On peut alors écrire que Δ𝑃 est égale à la masse volumique du mercure multipliée par l’accélération due à la gravité fois ℎ, notre hauteur de 25 centimètres. Nommons la pression atmosphérique 𝑃 indice atm, même si cela s’appelle 𝑃 indice un dans l’énoncé du problème, pour faciliter la mémorisation de ce qu’elle représente. Ensuite, en voyant de quel côté de notre manomètre la colonne de mercure est la plus grande, nous pouvons déterminer lequel est le plus grand, 𝑃 indice atm ou 𝑃 indice gaz.
En raison des 25 centimètres supplémentaires de mercure sur le côté droit de notre manomètre, nous savons qu’étant donné que la pression est transmise à travers le mercure pour agir à cette interface avec l’atmosphère, la pression due à l’atmosphère, 𝑃 indice atm, soutient plus de mercure, pourrait-on dire, que la pression due au gaz dans le réservoir. Comparée à la pression du gaz dans le réservoir, la pression atmosphérique soutient 25 centimètres de mercure de plus. Par conséquent, 𝑃 indice atm est supérieure à la pression du gaz.
Cette différence est ce que nous avons appelé Δ𝑃. Puisque Δ𝑃 est égale à la différence de ces pressions, et qu’elle est également égale à la pression due à cette hauteur de mercure de 25 centimètres, nous pouvons combiner ces équations et écrire que 𝑃 indice atm moins 𝑃 indice gaz est égal à la masse volumique du mercure fois 𝑔 fois ℎ.
Maintenant, rappelons que c’est la pression du gaz que nous voulons calculer. En réarrangeant cette équation, si nous ajoutons 𝑃 indice gaz des deux côtés et soustrayons 𝜌 fois 𝑔 fois ℎ des deux côtés, alors nous obtenons ce résultat, où 𝑃 indice gaz est le sujet de l’équation.
Complétons maintenant ce que nous savons du côté droit de cette expression. Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit que la pression atmosphérique est de 101,3 kilopascals. Nous connaissons la masse volumique du mercure. Nous savons que 𝑔, l’accélération due à la gravité, est de 9,8 mètres par seconde carrée. Et on nous a également dit que la hauteur ℎ est de 25 centimètres. À ce stade, libérons de l’espace à l’écran et considérons les unités de toute cette expression.
Pour le premier terme, nous avons des kilopascals. 1000 pascals font un kilopascal, et un pascal à son tour est égal à un newton de force divisé par un mètre carré d’aire. Ainsi, pour convertir 101,3 kilopascals en unités plus reconnaissables, nous pouvons déplacer la virgule d’un, deux, trois rangs vers la droite, ce qui nous donne 101 300 pascals. Et en notant que nous savons qu’un pascal est un newton par mètre carré, nous pouvons écrire cela comme 101 300 newtons par mètre carré.
Considérant alors le reste de notre expression, changeons d’abord ces 25 centimètres en une distance en mètres. Puisque 100 centimètres font un mètre, nous pouvons décaler la virgule de deux rangs vers la gauche. Cela nous montre que 25 centimètres font 0,25 mètre. Dans ce terme, nous notons que nous avons des mètres cubes au dénominateur et des mètres fois des mètres, soit des mètres carrés, au numérateur. Si nous simplifions ces mètres à droite et que nous regroupons ensuite les nombres et les unités séparément dans ce terme, nous voyons que, pour ce terme, nous obtiendrons des kilogrammes par mètre seconde carrée.
Ce que nous voulons faire ici, c’est vérifier que ces unités soient les mêmes que ces unités afin que nous puissions vraiment combiner ces termes par soustraction. Maintenant, un newton est égal à un kilogramme mètre par seconde carrée. Par conséquent, nous pouvons écrire qu’un newton par mètre carré est égal à un kilogramme mètre par seconde carrée par mètre carré. Notez que maintenant au numérateur, nous avons des mètres et au dénominateur des mètres carrés. Par conséquent, les unités de mètres se simplifient. Donc, nous n’avons qu’un seul facteur de mètres dans le dénominateur.
Et remarquez maintenant que les unités de ce premier terme sont exactement égales à celles du deuxième terme. Tout cela signifie que lorsque nous combinons ces deux nombres par soustraction, nous effectuons une opération physiquement valide.
En entrant cette expression sur notre calculatrice, nous obtenons 67 992,25 kilogrammes par mètre seconde carrée. Et rappelons-nous qu’un kilogramme par mètre seconde carrée est égal à un newton par mètre carré et qu’un newton par mètre carré est égal à un pascal. Nous pouvons alors écrire notre réponse finale en pascals. Mais puisque notre pression atmosphérique nous a été initialement donnée en kilopascals, nous pouvons convertir ce nombre de pascals en kilopascals en déplaçant la virgule de trois rangs vers la gauche. C’est la pression du gaz dans le réservoir.
Mais avant de l’encadrer comme notre réponse finale, arrondissons-le au nombre correct de chiffres significatifs. Dans l’énoncé du problème, on nous a dit que la hauteur ℎ de la colonne de mercure sur le côté droit qui dépasse la hauteur sur la gauche est de 25 centimètres. Cette valeur a deux chiffres significatifs, donc notre réponse finale en aura également deux.
Pour voir quelle sera cette valeur finale, nous pouvons regarder le premier chiffre après la virgule. Puisque cette valeur est supérieure ou égale à cinq, nous arrondissons vers le haut pour obtenir un résultat de 68 kilopascals. C’est donc la pression du gaz dans le réservoir de gaz. Nous voyons qu’elle est inférieure à la pression atmosphérique, ce qui est conforme au scénario présenté dans notre schéma.
