Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à mesurer la pression à l’aide de la hauteur d’une colonne de liquide dans un tube en U.
Un manomètre à colonne de liquide est un tube en forme de U contenant un liquide qui est utilisé pour mesurer la différence de pression des gaz de chaque extrémité de celui-ci. Un manomètre ouvert à l’atmosphère contenant de l’eau est illustré ci-dessous.
Le niveau d’eau est égal des deux côtés du tube. Cela traduit le fait que la pression du côté gauche est égale à la pression exercée sur le côté droit (c.-à-d. si les hauteurs des colonnes d’eau du côté gauche et du côté droit sont égales, alors les pressions séront égales aussi) si et seulement sii
Si un côté du tube est relié à une pression différente de celle de l’atmosphère, alors la hauteur du liquide peut changer, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Le gaz inconnu et l’atmosphère exercent de la pression sur le liquide, mais maintenant les pressions sont différentes, de sorte que les hauteurs de l’eau dans le tube se trouvent à des niveaux différents .
Si est supérieure à , alors cela signifie qu’il y a moins de pression qui pousse sur l’eau, dont est inférieure à : quand et inversement.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1: Manomètre à colonne de liquide : comparaison des pressions inconnues
La figure montre un manomètre à colonne de liquide dont une extrémité est reliée à un réservoir de gaz et l’autre extrémité est reliée à l’atmosphère. Comment la pression du gaz se compare à la pression de l’atmosphère ?
Réponse
est la pression sur le côté droit, provenant du réservoir de gaz. est la pression sur le côté gauche, provenant de l’atmosphère.
Si était plus grande que , alors le liquide dans le manomètre serait poussé vers la gauche. Si c’est qui était plus grande que , alors le liquide serait poussé vers la droite.
Étant donné que les hauteurs sont égales, cela signifie que les pressions des deux côtés sont égales. La bonne réponse est C, .
Exemple 2: Manomètre à colonne de liquide : comparaison des pressions inconnues différentes
La figure montre un manomètre à colonne de liquide relié à une extrémité à un réservoir de gaz et l’autre extrémité à l’atmosphère. Comment la pression du gaz se compare à la pression atmosphérique ?
Réponse
est la pression sur le côté droit, provenant du réservoir de gaz. est la pression sur le côté gauche, provenant de l’atmosphère.
Étant donné que les hauteurs des colonnes de liquide sont différentes dans le tube, nous savons que ne peut pas être égale à . Comme elles sont différentes, l’une doit être plus grande que l’autre.
Si était la plus grande, le liquide dans la colonne serait poussé vers la droite, mais la colonne n’y est pas plus haute ; elle est plus petite. Par conséquent, doit être supérieure à .
La réponse correcte donc est B, .
La mesure dans laquelle les pressions sont différentes est donnée par la différence des hauteurs. Une plus grande différence de hauteurs signifie une plus grande différence de pressions. Nous pouvons utiliser une version modifiée de l’équation de la pression pour quantifier la pression que représente une colonne de liquide.
Équation: différence de pressions dans un manomètre à colonne de liquide
L’équation utilisée pour relier la différence de pressions à la différence de hauteurs de liquide dans un manomètre est la suivante : où est la différence de pressions, est la masse volumique du fluide, est l’accélération due à la gravité ( 9,81 m/s2 pour la Terre), et est la différence de hauteurs.
On peut voir dans cette équation que est proportionnel à . Deux fois la différence de hauteurs signifie deux fois la différence de pressions.
Résolvons un problème en utilisant cette relation. Un manomètre à colonne de liquide contient de l’eau, dont nous prendrons la masse volumique égale à 997 kg/m3. Le côté gauche est relié à un gaz de pression inconnue, et le côté droit est ouvert à la pression atmosphérique au niveau de la mer, que nous prendrons égale à 101,3 kPa. On peut aussi prendre la gravité égale à 9,81 m/s2.
Nous cherchons la pression du gaz inconnue du côté gauche. Regardons l’équation de la différence de pressions dans un manomètre :
Notez que nous nous intéressons uniquement à l’amplitude de la différence de hauteurs, de sorte que l’on tient compte seulement la valeur absolue.
De même, la différence de pression est également une amplitude. On peut les écrire de la façon suivante ou
Nous savons que, du fait que la hauteur du liquide du côté gauche est plus petite, . Cela signifie que nous pouvons prendre la deuxième forme sans valeur absolue, sachant que ce sera positif.
Cela donne à l’équation la forme suivante :
Comme nous cherchons à mettre en évidence , ajoutons des deux côtés pour l’isolons :
est la pression atmosphérique au niveau de la mer, à 101,3 kPa. Les autres valeurs sont égale à 997 kg/m3 , égale à 9,81 m/s2 , et égale à 10 cm. Avant de remplacer , convertissons-la en mètres , en se rappelant qu’il y a 100 cm dans un mètre :
Donc, 10 cm est égal à 0,1 m. En les mettant dans l’équation, on obtient
Dans le membre de droite, on simplifie partiellement les mètres , il nous reste 1 / m3 venant de la masse volumique. La substitution des nombres donne
Dans le membre de droite, on convertit les valeurs au même unité avant de les additionner. Rappelons-nous que les pascals sont des newtons par mètre carré et les newtons sont des kilogrammes-mètres par seconde carrée. Nous pouvons convertir les unites en newtons par mètre carré comme suit : il vient
On fait la même chose pour les unités de pression, pascal pareil. Il y a 1 000 Pa dans 1 kPa :
En les additionnant, on obtient
Arrondi à une décimale, la pression inconnue du côté gauche est 102,3 kPa , une petite différence. Parfois, des fluides plus denses sont utilisés pour mesurer des difféences de pressions plus importantes.
Regardons un exemple.
Exemple 3: Calcul de la pression du gaz dans un manomètre à colonne de liquide
La figure montre un manomètre à colonne de liquide dont une extrémité est reliée à un réservoir de gaz et à l’autre extrémité à l’atmosphère. Le tube en U contient du mercure qui a une masse volumique de 13 595 kg/m3. Le sommet de la colonne de mercure en contact avec l’atmosphère est verticalement en-dessous du sommet de la colonne de mercure en contact avec le réservoir de gaz. La distance verticale entre les sommets des colonnes . Déterminons la pression du gaz dans le réservoir. Utilisons une valeur de pour la pression atmosphérique.
- 33 kPa
- 68 kPa
- 101 kPa
- 105 kPa
- 135 kPa
Réponse
Pour déterminer la pression du gaz dans le réservoir, on peut relier la différence de hauteurs à la différence de pressions entre le réservoir et le côté ouvert à l’atmosphère.
Reprenons l’équation de la différence de pressions et de niveau des colonnes de fluide :
Nous cherchons à calculer la pression dans le réservoir de gaz, qu’on appellera , et on connaît déjà . On voit que la colonne en contact avec l’atmosphère est plus basse, donc . Ainsi, la différence des pressions sera à
En remplaçant ceci dans l’équation,
Nous voulons isoler dans un membre, nous commençons par l’ajouter aux deux membres :
On peut alors soustraire des deux côtés pour isoler :
Nous connaissons la masse volumique, 13 595 kg/m3 la gravité, 9,81 m/s2 , et , 25 cm. Convertissons d’abord les centimètres en mètres de sorte que toutes les unités sont homogènes :
Nous pouvons alors remplacer les valeurs connues dans l’équation :
Après avoir effectué les multiplications, il vient
On vérifie que l’unité de ce dernier résultat est bien en pascals , ou Pa ( N/m2 ) : et ça se ramène à
La pression du côté gauche a été donné en kilopascals , alors convertissons la valeur du côté droit dans la même unité :
étant égale à 101,3 kPa. En remplaçant dans l’équation, on obtient
La pression dans le réservoir de gaz est donc celle de l’option B, 68 kPa.
Parfois, ce n’est pas une pression inconnue qui doit être calculée, mais une hauteur inconnue. Si les pressions sont données, nous pouvons déterminer la hauteur.
Voyons seulement l’équation
On peut isoler en divisant les deux membres par : en simplifiant le membre de droite :
Tout comme la différence de pressions, nous devons ensuite déterminer comment agencer les hauteurs pour ne pas avoir de valeur négative. Sur le schéma ci-dessous, par exemple, on peut voir que est plus grand que .
La différence de hauteurs peut donc s’exprimer comme , et généralement on a seulement besoin de connaitre la différence de hauteurs.
Regardons un exemple.
Exemple 4: Calcul de la différence de hauteur dans un manomètre à colonne de liquide
La figure montre un manomètre à colonne de liquide dont les côtés sont reliés à deux réservoirs de gaz. Les pressions des réservoirs de gaz sont et . Le tube en U contient une huile avec une masse volumique de 1 080 kg/m3. Quelle est la distance verticale entre les sommets des colonnes d’huile ? Donne ta réponse au centième près.
- 22,05 m
- 12,22 m
- 11,65 m
- 1,25 m
- 0,62 m
Réponse
Commençons par transformer l’équation du manomètre à colonne de liquide pour isoler :
Nous pouvons isoler en divisant les deux membres par : qui devient
La valeur de est la différence entre les pressions et . Nous voulons travailler avec des nombres positifs, donc puisque , la différence des pressions s’écrit
est 123,3 kPa et est 110,1 kPa , ce qui donne la différence de pression
Comme nous devons avoir une réponse finale en mètres ,on doit convertir kilopascals , kPa en pascals , Pa. Il y a 1 000 Pa dans un kilopascal :
Maintenant, nous avons tous les paramètres dont nous avons besoin pour trouver la différence en hauteur. La masse volumique est 1 080 kg/m3 et est 9,81 m/s2. L’équation s’écrit donc
Nous devons expliciter le pascal en function de kilogramme, mètre et seconde. Le pascal est équivalent au newton par mètre carré , et les newtons équivalent à kilogrammes-mètres par seconde carrée. Ensemble, la conversion s’écrit
En rassemblant toutes ces unités, on obtient
En simplifiant les unités du numérateur avec les unités du dénominateur, le tout se ramène plus qu’à mètres :
Et après calcul, on obtient
Au centième près, la réponse est D, 1,25 m.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- L’équation utilisée pour relier la différence de pressions et la différence de hauteurs pour un manomètre à colonne de liquide est la suivante : où est la différence de pressions, est la masse volumique du fluide, est l’accélération due à la gravité, et est la différence de hauteurs.
- Dans un manomètre à colonne de liquide, le rapport des variations des hauteurs est égal au rapport des variations des pressions.
