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Vrai ou Faux : Lorsqu’on trace la fonction 𝑓 de 𝑥, si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est positive en 𝑥, alors la fonction 𝑓 de 𝑥 est convexe vers le bas en 𝑥.
Dans cet exemple, on nous demande de considérer la dérivée seconde. Lorsqu’on représente graphiquement une fonction, la dérivée première et la dérivée seconde peuvent permettre d’obtenir beaucoup d’informations sur la courbe. La dérivée seconde en particulier permet de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe vers le bas ou convexe vers le haut, tandis que la dérivée première permet de déterminer sur quel intervalle la fonction est croissante ou décroissante.
Nous allons maintenant rappeler les propriétés de la dérivée seconde. Premièrement, la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 doit être dérivable deux fois sur l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏. Ensuite, si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est positive pour tout 𝑥 sur l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, alors 𝑓 est convexe vers le bas sur cet intervalle ouvert. Si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est négative pour tout 𝑥 sur l’intervalle ouvert de 𝑎 à 𝑏, alors 𝑓 est convexe vers le haut.
Il convient de noter que si la fonction 𝑓 de 𝑥 a un point critique lorsque 𝑥 est égal à 𝑐, alors on peut utiliser le test de dérivée seconde pour tenter de classer ce point. Si la dérivée seconde en 𝑐 est positive, le point est un minimum relatif. Si la dérivée seconde en 𝑐 est négative, le point est un maximum relatif. Cependant, si la dérivée seconde en 𝑐 est égale à zéro, le point peut être un minimum relatif, un maximum relatif ou un point d’inflexion. Dans ce cas, il faudrait vérifier la dérivée première de chaque côté de 𝑐 pour déterminer sa nature.
Dans cet exemple, on nous donne une affirmation selon laquelle si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est positive en 𝑥, alors la fonction est convexe vers le bas en 𝑥. Selon la première propriété des dérivées secondes que nous avons rappelée, il s’agit d’une affirmation vraie.
