Transcription de la vidéo
Si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 est semblable à 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇, alors déterminez le facteur d’échelle entre 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 et 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇, et calculez le périmètre de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇.
Je l’ai dit lorsque j’ai lu la question, mais je rappelle que cette notation signifie « est semblable à ». On nous dit donc que ces deux polygones, qui sont des pentagones, sont semblables. Cela signifie que deux choses sont vraies. Les paires d’angles correspondants entre les deux polygones sont constitués d’angles congruents et les paires de côtés correspondantes ont le même rapport. Maintenant, nous devons être prudents ici lorsque nous regardons les deux figures parce que nous savons que l’ordre des lettres est important quand on discute de polygones semblables.
Ainsi, si 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 est semblable à 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇, cela signifie que le côté 𝐴𝐵, par exemple, correspond au côté 𝑃𝑄. Sur la figure, nous pouvons voir que ces deux côtés sont en fait dans des positions différentes sur les deux polygones. En fait, les polygones ont été présentés comme des réflexions l’un de l’autre. Nous devons donc être prudents lorsque nous apparions des paires de côtés correspondants et des paires d’angles correspondants. Cela ne fera en fait aucune différence pratique car chacun de ces polygones est symétrique. Seulement, il est important de faire attention, en général, lorsque nous apparions des paires de côtés correspondants et de ne pas simplement supposer que les deux polygones ont été dessinés suivant la même orientation.
On nous demande maintenant de trouver le facteur d’échelle entre 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 et 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇. Nous passons donc du plus grand polygone au plus petit polygone dans cette direction. Pour calculer un facteur d’échelle, nous devons diviser une nouvelle longueur par une longueur d’origine. Nous cherchons donc à diviser une longueur de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇 par la longueur correspondante dans 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Maintenant sur la figure, nous pouvons voir que 𝑃𝑇 correspond à 𝐴𝐸. Même si nous ne connaissons pas la longueur de 𝐴𝐸, nous pouvons voir qu’elle est la même que la longueur de 𝐶𝐷. Soit 21 unités. Concernant le facteur d’échelle, diviser une nouvelle longueur de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇 par une longueur d’origine de 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 donne 14 sur 21. En divisant le numérateur et le dénominateur par sept, cela se simplifie en deux tiers.
Nous comprenons tout de suite que cette valeur est logique. Nous passons du plus grand polygone au plus petit. Ainsi, notre facteur d’échelle devrait être une valeur inférieure à un, ce qui est le cas de deux tiers. Nous avons donc répondu à la première partie de la question. Maintenant, nous devons répondre à la seconde, qui consiste à calculer le périmètre de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇. Nous devons donc connaître toutes les longueurs des côtés de ce polygone.
Nous pouvons immédiatement calculer la longueur de 𝑅𝑆 car elle est identique à la longueur de 𝑃𝑇, soit 14 unités. Pour calculer les autres longueurs, nous devons utiliser le facteur d’échelle que nous venons d’établir. Le côté 𝑃𝑄 correspond au côté 𝐴𝐵. Nous pouvons donc calculer sa longueur en prenant la longueur de 𝐴𝐵, 24, et en multipliant par le facteur d’échelle de deux tiers. Nous pouvons annuler un facteur de trois du numérateur et du dénominateur, ce qui donne huit multiplié par deux, ce qui est bien sûr égal à 16.
Nous avons donc la longueur 𝑃𝑄. Sur la figure, nous pouvons voir que la longueur 𝑅𝑄 est la même que celle-ci. Soit 16 unités. La longueur finale dont nous avons besoin est 𝑆𝑇, qui correspond au côté 𝐷𝐸 sur le plus grand polygone. Notez que nous parlons de 𝐷𝐸 et non de 𝐸𝐷 car les deux polygones, rappelez-vous, ont été dessinés comme des reflets l’un de l’autre. Ainsi, pour calculer 𝑆𝑇, nous prenons la longueur de 𝐷𝐸, qui est 27, et la multiplions par le facteur d’échelle de deux tiers. Encore une fois, nous pouvons annuler un facteur de trois, ce qui donne 𝑆𝑇 est égal à neuf multiplié par deux, soit 18 unités.
Nous avons maintenant les longueurs de tous les côtés de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇. Nous sommes donc en mesure de calculer son périmètre. Il vaut 16 plus 16 plus 14 plus 18 plus 14, soit 78 unités. Nous pouvons alors conclure que pour ces deux polygones semblables, le facteur d’échelle de 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 à 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇, donc du plus grand polygone au plus petit, est de deux tiers. Puis, le périmètre de 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇 est de 78 unités.
