Vidéo : Polygones semblables

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les propriétés de polygones semblables pour trouver des angles, des longueurs de côté, des facteurs d’échelle et des périmètres inconnus.

17:15

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à utiliser les propriétés de polygones semblables pour trouver des angles, des longueurs de côté, des facteurs d’échelle et des périmètres inconnus. Tout d’abord, nous rappelons qu’un polygone est une figure fermée à côtés droits. Ainsi, par exemple, un triangle, un carré et un hexagone sont tous des exemples de polygones, alors qu’un cercle ne l’est pas car ses côtés ne sont pas tous droits. On dit que deux polygones sont mathématiquement semblables si l’un est un agrandissement de l’autre. Cela signifie que deux éléments clés seront vrais.

Premièrement, les angles correspondants dans les deux polygones semblables sont superposables ou identiques. Deuxièmement, les paires de côtés correspondantes sont proportionnelles. Une autre façon de dire cela est de dire que les paires de côtés correspondants sont toutes dans le même rapport. Donc, dans notre exemple ici, la longueur de 𝐴𝐵 divisée par la longueur du côté correspondant 𝐸𝐹 donne le même résultat que si nous divisons 𝐵𝐶 par 𝐹𝐺, et si nous divisons 𝐶𝐷 par 𝐺𝐻, et si nous divisons 𝐷𝐴 par 𝐻𝐸.

Si deux polygones sont semblables, nous pouvons l’exprimer en utilisant la notation à l’écran. Notez que l’ordre des lettres est important. Donc, si j’ai dit que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝐸𝐹𝐺𝐻, cela signifie que l’angle à 𝐴 correspond à l’angle à 𝐸. Et le côté 𝐶𝐷 correspond au côté 𝐺𝐻. Si deux polygones sont semblables, nous pouvons calculer le facteur d’échelle entre eux. Il s’agit du rapport des longueurs correspondantes et sera toujours un multiplicateur. C’est la valeur dont nous avons besoin pour multiplier la longueur dans un polygone par pour trouver la longueur correspondante dans l’autre polygone. Nous pouvons calculer le facteur d’échelle dans l’une ou l’autre direction.

Par exemple, si nous devons multiplier les longueurs de 𝐴𝐵𝐶𝐷 par 𝑆 afin de donner les longueurs correspondantes en 𝐸𝐹𝐺𝐻, alors pour aller dans l’autre sens, nous devons multiplier les longueurs de 𝐸𝐹𝐺𝐻 par un sur 𝑆 pour donner la longueurs correspondantes en 𝐴𝐵𝐶𝐷. Il est important de noter que le facteur d’échelle est toujours un multiplicateur. Ainsi, dans les formules, nous pouvons penser à passer du plus grand polygone au plus petit polygone en divisant par 𝑆. Mais notre facteur d’échelle sera le multiplicateur sur 𝑆. Examinons maintenant une question où nous devons calculer le facteur d’échelle entre deux polygones semblables, puis déterminer la longueur d’un côté.

Étant donné que les rectangles montrés sont semblables, qu’est-ce que 𝑥 ?

On nous dit dans la question que ces deux rectangles sont mathématiquement semblables, ce qui signifie que deux choses sont vraies. Tout d’abord, toutes les paires d’angles correspondants entre les deux rectangles sont superposables. Maintenant, pour une paire de rectangles, cela est vrai même pour des rectangles non semblables car tous les angles intérieurs d’un rectangle sont de 90 degrés. Deuxièmement, et plus important encore ici, toutes les paires de côtés correspondants sont proportionnelles.

Nous cherchons à trouver la valeur de 𝑥 qui représente une longueur de côté dans le grand rectangle. Il nous faut donc connaître le facteur d’échelle 𝑆 qui est le multiplicateur qui nous fait passer du petit rectangle au plus grand. Nous pouvons utiliser n’importe quelle paire de côtés correspondants pour déterminer le facteur d’échelle. Il est égal à la nouvelle longueur divisée par la longueur d’origine. Sur la figure, nous pouvons voir que nous avons une paire de côtés correspondants de 29 centimètres sur le plus petit rectangle et 58 centimètres sur le plus grand. Nous divisons donc la nouvelle longueur de 58 par la longueur d’origine de 29, ce qui donne un facteur d’échelle de 58 sur 29, ce qui se simplifie en deux.

N’oubliez pas que le facteur d’échelle est toujours un multiplicateur. Cela nous indique donc que les longueurs sur le grand rectangle sont toutes deux fois les longueurs correspondantes sur le petit rectangle. Pour calculer la valeur de 𝑥 alors, nous devons prendre la longueur correspondante sur le plus petit rectangle, 26, et la multiplier par le facteur d’échelle de deux, ce qui donne 52. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥. Si nous avions voulu calculer une longueur sur le petit rectangle plutôt qu’une sur le plus grand rectangle, nous aurions pu utiliser le facteur d’échelle de moitié. C’est l’inverse de deux. Cela aurait pu être trouvé en divisant la longueur de 29 centimètres par la longueur correspondante de 58 centimètres.

Nous pouvons vérifier notre valeur pour 𝑥 en la multipliant par la moitié, donc 52 multiplié par la moitié ou la moitié de 52, ce qui est en effet égal à 26. Dans les formules, nous pouvons penser à cela comme divisant par deux. Mais rappelez-vous, le facteur d’échelle est toujours un multiplicateur, nous utilisons donc un multiplicateur de moitié.

Prenons un autre exemple.

Si les deux polygones suivants sont semblables, trouvez la valeur de 𝑥.

On nous dit que ces deux polygones sont mathématiquement semblables, ce qui signifie que deux éléments clés sont vrais. Premièrement, les paires d’angles correspondantes sont superposables. Et deuxièmement, les paires de côtés correspondantes sont en proportion ou dans le même rapport. Nous voulons calculer ce rapport ou facteur d’échelle. Et dans ce cas, comme 𝑥 représente la longueur sur le plus petit polygone, nous travaillons dans cette direction. Le facteur d’échelle peut être calculé à partir de n’importe quelle paire de côtés correspondante en divisant la nouvelle longueur par la longueur d’origine.

Nous avons une paire correspondante de longueurs latérales de 34 centimètres et 85 centimètres. Donc, en divisant la nouvelle longueur, c’est la longueur qui est dans le même polygone que celui que nous voulons calculer, par la longueur d’origine, nous avons un facteur d’échelle de 34 sur 85. Cela peut être simplifié en divisant le numérateur et le dénominateur par 17 pour donner les deux cinquièmes. Notez que cette valeur semble correcte. Nous passons du plus grand polygone au plus petit. La longueur devrait donc devenir plus petite.

Notre facteur d’échelle est une valeur fractionnaire inférieure à un. Et lorsque nous multiplions quelque chose par une valeur fractionnaire inférieure à un, comme les deux cinquièmes, il deviendra plus petit. Pour calculer la valeur de 𝑥 alors, nous devons prendre la longueur correspondante sur le plus grand polygone, qui est de 75 centimètres, et la multiplier par notre facteur d’échelle des deux cinquièmes. Nous pouvons simplifier ce calcul en annulant un facteur de cinq à la fois au numérateur et au dénominateur pour donner 𝑥 égal à 15 multiplié par deux, ce qui est bien sûr 30. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥.

Nous pouvons vérifier notre réponse en confirmant que le rapport de la paire de côtés correspondante est bien le même. Nous en avons 30 sur 75 et 34 sur 85. Les deux fractions s’annulent en effet à notre facteur d’échelle des deux cinquièmes. Et cela confirme donc que notre réponse est correcte.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment tester si deux polygones sont semblables ou non.

Le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il semblable au polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋 ?

Sur la figure, nous pouvons voir que les deux polygones qui nous ont été donnés sont chacun des parallélogrammes. Nous pouvons donc conclure qu’ils sont au moins le même type de forme pour commencer. Pour déterminer s’ils sont semblables, nous devons tester deux choses. Premièrement, nous devons tester si les paires d’angles correspondantes sont superposables. Et deuxièmement, nous devons tester si les paires de côtés correspondantes sont en proportion ou dans le même rapport.

Maintenant, il est important de se rappeler que lorsque nous travaillons avec des polygones semblables, l’ordre des lettres est important. Donc, si ces polygones sont semblables, l’angle à 𝐴 correspondra à l’angle à 𝐺. L’angle à 𝐵 correspondra à l’angle à 𝐹, et ainsi de suite. On peut donc en déduire que les polygones ont été dessinés dans la même orientation.

Considérons d’abord les angles. Dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋, on nous a donné un angle marqué de 110 degrés. Et dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷, on nous a donné un angle marqué de 70 degrés. Une chose que nous savons sur les parallélogrammes est que leurs angles opposés sont égaux. Donc, dans le parallélogramme 𝐺𝐹𝐸𝑋, l’angle à 𝑋 sera de 110 degrés. Et dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, l’angle à 𝐶 sera de 70 degrés.

Considérons l’angle à 𝐺 dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋. En prolongeant la droite 𝐹𝐺, nous voyons maintenant que nous avons deux droites parallèles 𝑋𝐺 et 𝐸𝐹 et une transversale 𝐺𝐹. Nous savons que les angles correspondants dans les droites parallèles sont égaux, ce qui signifie que l’angle au-dessus de la droite 𝑋𝐺 sera égal à l’angle au-dessus de la droite 𝐸𝐹. Il fait 110 degrés. Nous savons également que les angles sur une droite s’additionnent à 180 degrés, ce qui signifie que l’angle en dessous de 𝑋𝐺 sera de 180 moins 110. C’est 70 degrés. Cela nous montre que l’angle à 𝐺 dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋 est égal à l’angle à 𝐴 dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Nous avons déjà dit que les angles opposés dans les parallélogrammes sont égaux. Ainsi, l’angle à 𝐸 est également de 70 degrés, ce qui est égal à l’angle à 𝐶 dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nous pourrions utiliser la même logique dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour montrer que les angles à 𝐵 et 𝐷 sont chacun de 110 degrés, qui sont les mêmes que les angles à 𝐹 et 𝑋 dans le plus grand polygone. Nous avons alors montré que toutes les paires d’angles correspondants sont en effet superposables. Notre réponse à la première vérification est donc oui.

Voyons maintenant si les paires de côtés correspondantes sont proportionnelles. Tout d’abord, à partir de la figure, nous pouvons voir que nous avons reçu la longueur du côté 𝐴𝐵 ; c’est 13 centimètres. Et si les deux polygones sont semblables, cela correspondra à 𝐺𝐹. On ne nous a pas donné la longueur de 𝐺𝐹. Mais nous savons que les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale. Ce sera donc la même chose que 𝑋𝐸. En comparant alors le rapport de ces deux côtés, nous constatons que 𝐴𝐵 sur 𝐺𝐹 est égal à 13 sur 26, ce qui se simplifie en la moitié.

L’autre paire de côtés potentiellement correspondants qui nous ont été donnés sont 𝐵𝐶 et 𝐸𝐹. Le rapport est ici de 11.5 sur 23, ce qui se simplifie à nouveau en un demi. Maintenant, j’ai écrit 𝐸𝐹 ici. Mais vraiment, si nous voulons être cohérents avec l’ordre des lettres, alors nous devons vraiment écrire 𝐹𝐸 comme le point 𝐹 correspond au point 𝐵 et le point 𝐸 correspond au point 𝐶. Cependant, dans le calcul du rapport, la longueur 𝐸𝐹 est bien sûr la même que la longueur 𝐹𝐸. Cela ne fait donc aucune différence pratique.

Le rapport de ces paires de côtés correspondants est donc le même. Comme les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale, il en sera de même pour les deux autres paires de côtés correspondants. Et donc la réponse à notre deuxième contrôle, « les paires de côtés correspondantes sont-elles proportionnelles ?», Est également oui. Par conséquent, les deux critères pour que ces deux polygones soient semblables sont remplis. Et donc nous pouvons répondre, oui, le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable au polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋.

Prenons maintenant un autre exemple dans lequel nous prouvons la similitude de deux polygones.

Ces deux polygones sont-ils semblables ? Si oui, trouvez le facteur d’échelle de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Pour déterminer si ces deux polygones sont semblables, nous devons considérer deux questions. Premièrement, les paires d’angles correspondantes sont-elles superposables ? Et deuxièmement, les paires de côtés correspondantes sont-elles proportionnées ? N’oubliez pas que l’ordre des lettres est important. Donc, si ces deux polygones sont semblables, l’angle à 𝑋 correspondra à l’angle à 𝐴. Et, par exemple, le côté 𝑍𝐿 correspondra au côté 𝐶𝐷.

Considérons d’abord les angles. Et en regardant la figure, nous pouvons voir que trois des angles de chaque polygone ont été marqués en utilisant une notation différente. La ligne unique marquant l’angle à 𝐿 et l’angle à 𝐷 indique que ces deux angles sont égaux. La paire de lignes à l’angle 𝑋 et à l’angle 𝐴 indique que ces deux angles sont égaux. De la même manière, la triple ligne à l’angle 𝑍 et à l’angle 𝐶 indique que ces deux angles sont égaux. Mais qu’en est-il de l’angle final dans chaque polygone ? Eh bien, chacun de ces polygones a quatre côtés. Ce sont des quadrilatères. Et nous savons que la somme des angles intérieurs dans tout quadrilatère est de 360 degrés.

Si les trois autres angles des deux quadrilatères sont identiques, dans chaque cas, il nous restera la même quantité du total de 360 degrés pour former l’angle final. Et donc, on peut aussi dire que l’angle 𝑌 est égal à l’angle 𝐵. Nous avons donc vu que toutes les paires d’angles correspondants sont en effet superposables entre les deux polygones. La réponse à notre première vérification est donc oui.

Ensuite, considérons les côtés. Et nous devons vérifier si les paires de côtés correspondantes sont proportionnelles. Autrement dit, obtenons-nous la même valeur lorsque nous divisons chaque côté d’un polygone par le côté correspondant de l’autre ? On nous a donné toutes les longueurs de côté dont nous avons besoin. Nous pouvons donc les remplacer et déterminer à quoi chacun de ces rapports se simplifie. En fait, ils sont tous égaux aux quatre cinquièmes ou 0.8. Et les paires de côtés correspondantes sont en effet proportionnelles. Comme nous avons répondu oui aux deux affirmations, nous pouvons conclure que les deux polygones sont en effet semblables.

On nous demande maintenant de trouver le facteur d’échelle de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷. C’est voyager dans cette direction. N’oubliez pas que le facteur d’échelle est la valeur par laquelle nous multiplions les longueurs sur le premier polygone afin de donner les longueurs correspondantes sur le second. Et en fait, nous avons déjà réglé cela. C’est la valeur que nous obtenons lorsque nous divisons une nouvelle longueur, c’est-à-dire une longueur sur le polygone vers lequel nous allons, par une longueur d’origine. C’est la longueur correspondante sur le polygone dont nous venons.

Nous avons déjà vu que lorsque nous divisons chaque longueur sur 𝐴𝐵𝐶𝐷 par la longueur correspondante sur 𝑋𝑌𝑍𝐿, nous obtenons la valeur des quatre cinquièmes. C’est donc notre facteur d’échelle. Notez que cette valeur est logique. Les longueurs sur 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont plus petites que les longueurs sur 𝑋𝑌𝑍𝐿. Notre facteur d’échelle doit donc être une valeur fractionnaire inférieure à un. Nous avons donc résolu le problème. Nous avons constaté que ces deux polygones sont semblables. Et le facteur d’échelle allant de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷, c’est du plus grand polygone au plus petit, car une décimale est de 0.8.

Pour rappel, si nous retournions dans l’autre sens, afin de trouver le facteur d’échelle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑋𝑌𝑍𝐿, nous aurions alors la réciproque. L’inverse d’une fraction peut être trouvé en la retournant, échangeant ainsi son numérateur et son dénominateur. Le facteur d’échelle allant dans l’autre sens serait le multiplicateur de cinq sur quatre. Encore une fois, cela a du sens. Cinq sur quatre est un peu plus grand qu’un. C’est 1.25 comme décimal. Et donc nous multiplions les longueurs sur 𝐴𝐵𝐶𝐷 par quelque chose de plus grand que un, ce qui donnera des valeurs plus grandes pour les longueurs correspondantes sur 𝑋𝑌𝑍𝐿.

Résumons maintenant certains des points clés de cette vidéo. Premièrement, deux polygones sont semblables si les paires d’angles correspondantes sont superposables et toutes les paires de côtés correspondantes sont en proportion. Pour calculer le facteur d’échelle entre deux polygones semblables, nous pouvons utiliser les longueurs de n’importe quelle paire de côtés correspondants. Et nous divisons la nouvelle longueur, c’est-à-dire la longueur sur le polygone vers lequel nous allons, par la longueur correspondante sur l’original. C’est le polygone dont nous venons.

N’oubliez pas que le facteur d’échelle est toujours un multiplicateur. Lorsque nous passons de la plus petite forme à la plus grande, nous aurons toujours un facteur d’échelle supérieur à un. En allant dans l’autre sens, donc en passant de la forme la plus grande à la forme plus petite, le facteur d’échelle sera l’inverse du facteur d’échelle travaillant dans l’autre direction. Ce sera un sur 𝑆. Et dans ce cas, le facteur d’échelle sera inférieur à un. Dans les formules, nous pouvons penser à cela comme divisant par le facteur d’échelle précédent de 𝑆. Mais notre facteur d’échelle devrait vraiment être un multiplicateur.

Une fois que nous savons que deux polygones sont semblables, nous pouvons calculer les mesures des angles manquants. Et nous pouvons utiliser des facteurs d’échelle pour calculer les longueurs des côtés manquants, à condition que nous ayons reçu les informations correspondantes sur l’autre polygone.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.