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Vidéo de la leçon: Polygones similaires Mathématiques • Première secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de polygones semblables pour déterminer des angles, des longueurs de côté, des facteurs d’échelle et des périmètres inconnus.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de polygones semblables pour déterminer des angles, des longueurs de côté, des facteurs d’échelle et des périmètres inconnus. Tout d’abord, nous rappelons qu’un polygone est une forme géométrique fermée avec des côtés droits. Ainsi, par exemple, un triangle, un carré et un hexagone sont tous des exemples de polygones, alors qu’un cercle n’en est pas un car ses côtés ne sont pas tous droits. On dit que deux polygones sont mathématiquement semblables si l’un est un agrandissement de l’autre. Cela signifie que deux choses clés seront vraies.

Premièrement, les angles correspondants dans les deux polygones semblables sont égaux. Deuxièmement, les côtés correspondants sont proportionnels. Une autre façon d’énoncer cela est de dire que le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant. Donc dans notre exemple ici, la longueur de 𝐴𝐵 divisée par la longueur du côté correspondant 𝐸𝐹 donne le même résultat que si nous divisons 𝐵𝐶 par 𝐹𝐺, et si nous divisons 𝐶𝐷 par 𝐺𝐻, et si nous divisons 𝐷𝐴 par 𝐻𝐸.

Si deux polygones sont semblables, alors nous pouvons l’exprimer en utilisant la notation à l’écran. Notez que l’ordre des lettres est important. Donc, si nous disons que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝐸𝐹𝐺𝐻, cela signifie que l’angle en 𝐴 correspond à l’angle en 𝐸. Et le côté 𝐶𝐷 correspond au côté 𝐺𝐻. Si deux polygones sont semblables, nous pouvons calculer le facteur d’échelle entre eux. Il s’agit du rapport des longueurs correspondantes et sera toujours un facteur. Il s’agit de la valeur par laquelle nous devons multiplier la longueur dans un polygone pour déterminer la longueur correspondante dans l’autre polygone. Nous pouvons calculer le facteur d’échelle dans les deux sens.

Par exemple, si nous devons multiplier les longueurs de 𝐴𝐵𝐶𝐷 par 𝑆 afin d’obtenir les longueurs correspondantes dans 𝐸𝐹𝐺𝐻, alors pour aller dans l’autre sens, nous devons multiplier les longueurs de 𝐸𝐹𝐺𝐻 par un sur 𝑆 pour obtenir les longueurs correspondantes dans 𝐴𝐵𝐶𝐷. Il est important de noter que le facteur d’échelle est toujours un facteur. Ainsi, de façon informelle, nous pouvons penser que passer du plus grand polygone au plus petit polygone revient à diviser par 𝑆. Mais notre facteur d’échelle sera le facteur un sur 𝑆. Voyons maintenant une question où nous devons calculer le facteur d’échelle entre deux polygones semblables, puis déterminer la longueur d’un côté.

Étant donné que les rectangles représentés sont semblables, que vaut 𝑥 ?

On nous dit dans la question que ces deux rectangles sont mathématiquement semblables, ce qui signifie que deux choses sont vraies. Tout d’abord, tous les angles correspondants entre les deux rectangles sont égaux. Alors pour une paire de rectangles, cela est vrai même pour les rectangles non semblables car tous les angles intérieurs d’un rectangle sont de 90 degrés. Deuxièmement, et plus important encore ici, tous les côtés correspondants sont proportionnels.

Nous cherchons à déterminer la valeur de 𝑥 qui représente une longueur de côté dans le grand rectangle. Nous devons donc connaître le facteur d’échelle 𝑆 qui est le facteur qui nous emmène du plus petit rectangle au plus grand. Nous pouvons utiliser n’importe quelle paire de côtés correspondants pour déterminer le facteur d’échelle. Celui-ci est égal à la nouvelle longueur divisée par la longueur d’origine. Sur la figure, nous pouvons voir que nous avons une paire de côtés correspondants de 29 centimètres sur le plus petit rectangle et de 58 centimètres sur le plus grand. Nous divisons donc la nouvelle longueur de 58 par la longueur d’origine de 29, ce qui donne un facteur d’échelle de 58 sur 29, ce qui se simplifie pour donner deux.

On rappelle que le facteur d’échelle est toujours un facteur. Donc cela nous dit que les longueurs dans le plus grand rectangle valent toutes deux fois les longueurs correspondantes dans le plus petit rectangle. Pour alors calculer la valeur de 𝑥, nous devons prendre la longueur correspondante sur le plus petit rectangle, 26, et la multiplier par le facteur d’échelle de deux, ce qui donne 52. Nous avons donc déterminé la valeur de 𝑥. Si nous avions voulu calculer une longueur sur le plus petit rectangle plutôt qu’une sur le plus grand rectangle, nous aurions pu utiliser le facteur d’échelle d’un demi. C’est-à-dire l’inverse de deux. Cela aurait pu être déterminé en divisant la longueur de 29 centimètres par la longueur correspondante de 58 centimètres.

Nous pouvons vérifier notre valeur pour 𝑥 en la multipliant par un demi, donc 52 multiplié par un demi ou un demi de 52, ce qui est en effet égal à 26. De façon informelle, nous pouvons penser à cela comme à une division par deux. Mais rappelez-vous, le facteur d’échelle est toujours un facteur, nous utilisons donc un facteur d’un demi.

Prenons un autre exemple.

Si les deux polygones suivants sont semblables, déterminez la valeur de 𝑥.

On nous dit que ces deux polygones sont mathématiquement semblables, ce qui signifie que deux choses clés sont vraies. Premièrement, les angles correspondants sont égaux. Et deuxièmement, les côtés correspondants sont proportionnels. Nous voulons calculer ce rapport ou facteur d’échelle. Et dans ce cas, comme 𝑥 représente la longueur sur le plus petit polygone, nous travaillons dans cette direction. Le facteur d’échelle peut être calculé à partir de n’importe quelle paire de côtés correspondants en divisant la nouvelle longueur par la longueur d’origine.

Nous avons une paire de côtés correspondants de longueurs 34 centimètres et 85 centimètres. Donc en divisant la nouvelle longueur, c’est-à-dire la longueur qui est dans le même polygone que le côté que nous recherchons, par la longueur d’origine, nous avons un facteur d’échelle de 34 sur 85. Cela peut être simplifié en divisant le numérateur et le dénominateur par 17 pour donner deux cinquièmes. On note que cette valeur semble correcte. Nous passons du plus grand polygone au plus petit. Donc la longueur doit devenir plus petite.

Notre facteur d’échelle est une valeur fractionnaire inférieure à un. Et lorsque nous multiplions quelque chose par une valeur fractionnaire inférieure à un, telle que deux cinquièmes, le résultat est plus petit. Pour alors calculer la valeur de 𝑥, nous devons prendre la longueur correspondante sur le plus grand polygone, qui est de 75 centimètres, et la multiplier par notre facteur d’échelle de deux cinquièmes. Nous pouvons simplifier ce calcul en supprimant un facteur cinq du numérateur et du dénominateur pour donner 𝑥 égale 15 multiplié par deux, ce qui vaut bien sûr 30. Nous avons donc déterminé la valeur de 𝑥.

Nous pouvons vérifier notre réponse en confirmant que le rapport des côtés correspondants est bien constant. Nous avons 30 sur 75 et 34 sur 85. Les deux fractions se simplifient en effet pour donner notre facteur d’échelle de deux cinquièmes. Et cela confirme donc que notre réponse est correcte.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment tester si deux polygones sont semblables ou non.

Le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il similaire au polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋 ?

Sur la figure, nous pouvons voir que les deux polygones qui nous ont été donnés sont chacun des parallélogrammes. Nous pouvons pour commencer dire qu’ils sont au moins du même type. Pour déterminer s’ils sont semblables, nous devons tester deux choses. Tout d’abord, nous devons vérifier si les angles correspondants sont égaux. Et deuxièmement, nous devons vérifier si les côtés correspondants sont proportionnels.

Alors il est important de se rappeler que lorsque nous travaillons avec des polygones semblables, l’ordre des lettres est important. Si ces polygones sont semblables, l’angle en 𝐴 correspondra à l’angle en 𝐺. L’angle en 𝐵 correspondra à l’angle en 𝐹, et ainsi de suite. On peut donc en déduire que les polygones ont été dessinés dans la même orientation.

Considérons d’abord les angles. Dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋, on nous a donné un angle marqué de mesure 110 degrés. Et dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷, on nous a donné un angle marqué de mesure 70 degrés. Une chose que nous savons sur les parallélogrammes est que leurs angles opposés sont égaux. Donc dans le parallélogramme 𝐺𝐹𝐸𝑋, l’angle en 𝑋 sera de 110 degrés. Et dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, l’angle en 𝐶 sera de 70 degrés.

Considérons l’angle en 𝐺 dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋. En prolongeant la droite 𝐹𝐺, nous voyons maintenant que nous avons deux droites parallèles 𝑋𝐺 et 𝐸𝐹 et une transversale 𝐺𝐹. Nous savons que les angles correspondants dans les droites parallèles sont égaux, ce qui signifie que l’angle au-dessus de la droite 𝑋𝐺 est égal à l’angle au-dessus de la droite 𝐸𝐹. C’est-à-dire 110 degrés. Nous savons également que la somme des angles sur une droite vaut 180 degrés, ce qui signifie que l’angle en dessous de 𝑋𝐺 sera de 180 moins 110. C’est-à-dire 70 degrés. Cela nous montre que l’angle en 𝐺 dans le polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋 est égal à l’angle en 𝐴 dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Nous avons déjà dit que les angles opposés dans les parallélogrammes sont égaux. Ainsi, l’angle en 𝐸 est également de 70 degrés, ce qui est égal à l’angle en 𝐶 dans le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nous pourrions utiliser la même logique dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour montrer que les angles en 𝐵 et 𝐷 sont chacun de 110 degrés, c’est-à-dire égaux aux angles en 𝐹 et 𝑋 dans le plus grand polygone. Nous avons alors montré que tous les angles correspondants sont en effet égaux. Donc notre réponse à la première vérification est oui.

Voyons maintenant si les côtés correspondants sont proportionnels. Tout d’abord, à partir de la figure, nous pouvons voir que l’on nous a donné la longueur du côté 𝐴𝐵, de 13 centimètres. Et si les deux polygones sont semblables, cela correspondra à 𝐺𝐹. On ne nous a pas donné la longueur de 𝐺𝐹. Mais nous savons que les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale. Cela sera donc égal à 𝑋𝐸. En comparant alors le rapport de ces deux côtés, nous constatons que 𝐴𝐵 sur 𝐺𝐹 est égal à 13 sur 26, ce qui se simplifie pour donner un demi.

L’autre paire de côtés potentiellement correspondants qui nous sont donnés sont 𝐵𝐶 et 𝐸𝐹. Le rapport ici est de 11,5 sur 23, ce qui se simplifie encore une fois pour donner un demi. Nous avons ici écrit 𝐸𝐹. Mais si nous voulons être cohérents avec l’ordre des lettres, alors nous devons plutôt écrire 𝐹𝐸 car le point 𝐹 correspond au point 𝐵 et le point 𝐸 correspond au point 𝐶. Cependant, dans le calcul du rapport, la longueur 𝐸𝐹 est bien sûr la même que la longueur 𝐹𝐸. Donc cela ne fait en pratique aucune différence.

Le rapport de ces paires de côtés correspondants est donc le même. Comme les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale, il en sera de même pour les deux autres paires de côtés correspondants. Et donc la réponse à notre deuxième vérification, « les côtés correspondants sont-ils proportionnels ? » est également oui. Par conséquent, les deux critères pour que ces deux polygones soient semblables sont remplis. Et donc nous pouvons répondre, oui, le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable au polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋.

Considérons maintenant un autre exemple dans lequel nous prouvons la similitude de deux polygones.

Ces deux polygones sont-ils semblables ? Si oui, déterminez le facteur d’échelle pour passer de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Pour déterminer si ces deux polygones sont semblables, nous devons examiner deux questions. Premièrement, les angles correspondants sont-ils égaux ? Et deuxièmement, les côtés correspondants sont-ils proportionnels ? Rappelez-vous que l’ordre des lettres est important. Donc si ces deux polygones sont semblables, l’angle à 𝑋 correspondra à l’angle à 𝐴. Et, par exemple, le côté 𝑍𝐿 correspondra au côté 𝐶𝐷.

Considérons d’abord les angles. Et en regardant la figure, nous pouvons voir que trois des angles de chaque polygone ont été marqués en utilisant une notation différente. L’arc simple marquant l’angle en 𝐿 et l’angle en 𝐷 indique que ces deux angles sont égaux. L’arc double à l’angle en 𝑋 et à l’angle en 𝐴 indique que ces deux angles sont égaux. De la même manière, l’arc triple à l’angle en 𝑍 et à l’angle en 𝐶 indique que ces deux angles sont égaux. Mais qu’en est-il de l’angle final dans chaque polygone ? Eh bien, chacun de ces polygones a quatre côtés. Ce sont des quadrilatères. Et nous savons que la somme des angles intérieurs dans tout quadrilatère est de 360 degrés.

Si les trois autres angles des deux quadrilatères sont identiques, dans chaque cas, il nous restera la même quantité du total de 360 degrés pour former l’angle final. Et par conséquent on peut aussi dire que l’angle 𝑌 est égal à l’angle 𝐵. Nous avons donc vu que tous les angles correspondants sont en effet égaux entre les deux polygones. Donc la réponse à notre première vérification est oui.

Ensuite, considérons les côtés. Nous devons vérifier si les côtés correspondants sont proportionnels. Autrement dit, obtenons-nous la même valeur lorsque nous divisons chaque côté d’un polygone par le côté correspondant de l’autre ? On nous a donné toutes les longueurs de côtés dont nous avons besoin. Nous pouvons donc les remplacer et déterminer ce que vaut chacun de ces rapports. Il se trouve qu’ils sont tous égaux à quatre cinquièmes ou 0,8. Et les côtés correspondants sont en effet proportionnels. Comme nous avons répondu oui aux deux affirmations, nous pouvons conclure que les deux polygones sont en effet semblables.

On nous demande maintenant de déterminer le facteur d’échelle pour passer de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nous allons dans cette direction. Rappelez-vous, le facteur d’échelle est la valeur par laquelle nous multiplions les longueurs du premier polygone afin de donner les longueurs correspondantes du second. Et en fait, nous avons déjà déterminé cela. Il s’agit de la valeur que nous obtenons lorsque nous divisons une longueur d’arrivée, c’est-à-dire une longueur du polygone vers lequel nous allons, par une longueur de départ. C’est-à-dire la longueur correspondante dans le polygone dont nous venons.

Nous avons déjà vu que lorsque nous divisons chaque longueur dans 𝐴𝐵𝐶𝐷 par la longueur correspondante dans 𝑋𝑌𝑍𝐿, nous obtenons la valeur de quatre cinquièmes. Cela est donc notre facteur d’échelle. On note que cette valeur est logique. Les longueurs dans 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont plus petites que les longueurs dans 𝑋𝑌𝑍𝐿. Notre facteur d’échelle doit donc être une valeur fractionnaire inférieure à un. Nous avons donc résolu le problème. Nous avons constaté que ces deux polygones sont semblables. Et le facteur d’échelle pour passer de 𝑋𝑌𝑍𝐿 à 𝐴𝐵𝐶𝐷, c’est-à-dire du plus grand polygone au plus petit, sous forme décimale est de 0,8.

Pour rappel, si nous retournions dans l’autre sens et devions déterminer le facteur d’échelle pour passer de 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝑋𝑌𝑍𝐿, alors nous aurions l’inverse. L’inverse d’une fraction peut être déterminé en la retournant, échangeant ainsi son numérateur et son dénominateur. Le facteur d’échelle pour aller dans l’autre sens est le facteur cinq sur quatre. Encore une fois, cela a du sens. Cinq sur quatre est un peu plus grand que un. Cela vaut 1,25 sous forme décimale. Et donc nous multiplions les longueurs sur 𝐴𝐵𝐶𝐷 par quelque chose de plus grand que un, ce qui donnera des valeurs plus grandes pour les longueurs correspondantes sur 𝑋𝑌𝑍𝐿.

Résumons maintenant certains des points clés de cette vidéo. Premièrement, deux polygones sont semblables si les angles correspondants sont égaux et si tous les côtés correspondants sont proportionnels. Pour calculer le facteur d’échelle entre deux polygones semblables, nous pouvons utiliser les longueurs de toute paire de côtés correspondants. Et nous divisons la nouvelle longueur, qui est la longueur sur le polygone vers lequel nous allons, par la longueur correspondante sur le polygone de départ. C’est-à-dire le polygone duquel nous venons.

On rappelle que le facteur d’échelle est toujours un facteur. Lorsque nous passons du plus petit polygone au plus grand, nous aurons toujours un facteur d’échelle supérieur à un. En allant dans l’autre sens, donc en passant du plus grand polygone au plus petit, le facteur d’échelle sera l’inverse du facteur d’échelle de l’autre sens. Ce sera un sur 𝑆. Et dans ce cas, le facteur d’échelle sera inférieur à un. De façon informelle, on peut penser à cela comme diviser par le facteur d’échelle précédent 𝑆. Mais notre facteur d’échelle doit être un facteur.

Une fois que nous savons que deux polygones sont semblables, nous pouvons calculer les mesures des angles manquants. Et nous pouvons utiliser les facteurs d’échelle pour calculer les longueurs des côtés manquants, à condition d’avoir les informations correspondantes sur l’autre polygone.

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