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Fiche explicative de la leçon: Polygones semblables Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des polygones semblables pour déterminer des mesures d’angles, des longueurs de côtés, des facteurs d’échelle et des périmètres inconnus.

Rappelons tout d’abord la définition d’un polygone.

Définition: Polygone

Un polygone est une forme géométrique fermée dont les côtés sont droits.

Le tableau ci-dessous montre quelques exemples de formes qui sont des polygones et d’autres qui n’en sont pas.

On dit de deux polygones qu’ils sont semblables s’ils ont la même « forme ». On se contentera de cette description floue pour introduire le concept, mais nous en donnerons une définition plus précise et quantifiable juste après. Deux polygones semblables peuvent avoir des tailles différentes, mais, ils ont obligatoirement la même forme. Par exemple, considérons deux triangles équilatéraux de tailles différentes.

On peut voir sur la figure ci-dessus que les deux triangles ont des tailles différentes, mais qu’ils sont tous les deux équilatéraux. Donc, ils ont la même forme et sont par conséquent semblables. Tous les triangles équilatéraux ont la même forme, mais tous n’ont pas les mêmes longueurs de côtés. Voyons comment généraliser ce concept de similitude à tous les polygones.

La forme d’un polygone est déterminée par les longueurs de ses côtés et par les mesures de ses angles intérieurs. Cela nous amène à la définition suivante pour la similitude de deux polygones dans le cas général.

Définition : Polygones semblables

Deux polygones sont semblables si le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant et si les angles correspondants sont égaux.

Les deux rectangles montrés ci-dessous sont des exemples de formes géométriques semblables.

Ici, comme les deux formes sont des rectangles, elles ont les mêmes angles. Ainsi pour que ces deux rectangles soient semblables, il suffit de vérifier que les côtés correspondants sont proportionnels. Si l’on divise les longueurs du rectangle de droite par les longueurs correspondantes du rectangle de gauche, on obtient 3÷2=1,5 et 7,5÷5=1,5. Le rapport reste constant pour toutes les paires, donc nos deux rectangles sont semblables. Et puisque les rectangles sont des polygones, on a ici un exemple de polygones semblables.

On peut distinguer deux catégories de polygones:les polygones simples, constitués d’une seule région fermée, et les polygones croisés. Dans cette fiche explicative, nous considérerons uniquement les polygones simples.

Le fait que deux polygones soient semblables nous fournit beaucoup d’informations sur les longueurs de leurs côtés et les mesures de leurs angles. Dans le premier exemple, nous trouverons la longueur d’un côté en utilisant le caractère constant du rapport des longueurs des côtés correspondants de deux polygones semblables.

Exemple 1: Trouver la longueur de l’un des côtés d’un rectangle connaissant la longueur du côté correspondant d’un rectangle semblable

Sachant que les deux rectangles ci-dessous sont semblables, quelle est la valeur de 𝑥?

Réponse

Dans cet exemple, on sait que les deux rectangles présentés sont semblables. On rappelle que deux polygones sont semblables si le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant et si les angles correspondants sont égaux. Les angles intérieurs d’un rectangle sont toujours droits, donc les angles ne nous en apprendront pas davantage. En revanche, on peut utiliser le fait que le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant;pour cela, il faut d’abord identifier les côtés correspondants de ces deux rectangles.

Dans les deux rectangles, si l’on considère deux côtés adjacents, l’un est plus long que l’autre. Cela apparaît plus clairement dans le plus petit des deux rectangles, où les longueurs exactes des côtés sont indiquées sur la figure. Ainsi, le côté de 29 cm est plus long que celui de 26 cm. Pour le grand rectangle, on observe sur la figure que le côté de 58 cm semble plus long que le côté de longueur inconnue. On en déduit les paires de côtés correspondants de ces deux rectangles semblables et on les met en évidence sur la figure ci-dessous en les coloriant.

Le rapport des longueurs des côtés les plus longs est donné par 5829=2.cmcm

Comme les rectangles sont semblables, on sait que le rapport des longueurs de leurs petits côtés est lui aussi égal à 2. Donc, on a l’équation 𝑥26=2.cmcm

On multiplie par 26 cm de chaque côté de l’équation et on trouve que 𝑥=52

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la longueur de l’un des côtés d’un rectangle en utilisant sa similitude avec un autre polygone. Dans cet exemple, identifier les côtés correspondants des deux rectangles n’a pas été difficile;mais lorsqu’on se base uniquement sur la représentation graphique, cela peut s’avérer parfois plus compliqué. On a donc besoin d’une notation mathématique pour établir la similitude de deux polygones;c’est ce que nous allons voir.

On rappelle que pour désigner un polygone, on peut commencer par nommer chacun de ses sommets, puis tous les énumérer en passant d’un sommet au sommet adjacent. Par exemple, on peut choisir d’attribuer les noms suivants aux sommets de nos deux rectangles.

On peut donc utiliser 𝐴𝐵𝐶𝐷 pour désigner le rectangle de gauche et 𝑋𝑌𝑊𝑍 pour celui de droite. Mais ce ne sont pas les seuls noms possibles pour ces deux rectangles. On peut, en effet, prendre pour point de départ n’importe quel sommet, puis lister les sommets en tournant autour du rectangle dans un sens ou dans l’autre;on cherchera, cependant, en général, à respecter l’ordre alphabétique, si possible. Ainsi, d’autres noms possibles pour ces deux rectangles auraient pu être 𝐵𝐴𝐷𝐶 et 𝑌𝑋𝑍𝑊 respectivement.

Maintenant que l’on sait comment choisir un nom pour un polygone, voyons comment cela nous permet de définir une notation mathématique pour la similitude de deux polygones.

Définition : Notation pour les polygones semblables

On indique que deux polygones sont semblables à l’aide du symbole . Lorsque l’on utilise cette notation pour indiquer que deux polygones sont semblables, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre.

Pour comprendre cette règle, utilisons à nouveau l’exemple des deux rectangles semblables ci-dessus. Pour pouvoir noter que le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à l’autre rectangle, il faut identifier, pour chaque sommet 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 du premier rectangle, le sommet correspondant dans le second rectangle.

Pour trouver les sommets correspondants, on peut utiliser les règles suivantes:

  • dans des polygones semblables, les angles intérieurs (correspondants), au niveau des sommets, correspondants sont égaux.
  • Le rapport des longueurs des côtés (correspondants), entre deux paires de sommets correspondants, est constant.

Dans notre cas, comme tous les angles intérieurs d’un rectangle mesurent 90, le critère sur les angles intérieurs ne nous aidera pas à identifier les sommets correspondants. Au lieu de cela, on va utiliser le critère sur les rapports des longueurs des côtés.

On a 𝑋𝑌𝐴𝐵=𝑍𝑊𝐷𝐶=1,5.

Et puisque dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur, on a également 𝑌𝑊𝐵𝐶=𝑋𝑍𝐴𝐷=1,5.

Sur la figure ci-dessous, on a colorié les paires de côtés correspondants pour les mettre en évidence.

On a décidé de nommer le rectangle de droite 𝐴𝐵𝐶𝐷, donc l’ordre correspondant pour ses côtés est bleu, violet, vert et jaune. Si l’on suit ce même ordre dans le second rectangle, on obtient le nom 𝑋𝑌𝑊𝑍. Par conséquent, pour noter la similitude entre ces deux rectangles, on peut écrire 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑋𝑌𝑊𝑍.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons cette notation pour identifier quel angle du premier correspond à un angle donné du second.

Exemple 2: Comprendre la similitude entre deux polygones

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝑌𝑍𝐿, deux polygones semblables. Quel angle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 correspond à 𝑌?

Réponse

Dans cet exemple, on a deux polygones semblables et on doit trouver quel angle du premier correspond à un angle donné du second. On rappelle que lorsque l’on choisit des noms pour deux polygones semblables en utilisant leurs sommets, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre. En particulier, les angles intérieurs de sommets correspondants ont la même mesure.

On doit trouver l’angle intérieur du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 qui correspond à 𝑌 dans le quadrilatère 𝑋𝑌𝑍𝐿. Puisque le sommet 𝑌 apparaît en deuxième dans 𝑋𝑌𝑍𝐿, le sommet correspondant est celui qui apparaît également en deuxième dans 𝐴𝐵𝐶𝐷;donc, il s’agit du sommet 𝐵.

Par conséquent, l’angle de 𝐴𝐵𝐶𝐷 qui correspond à 𝑌 est 𝐵.

Dans le prochain exemple, nous utiliserons la notation de la similitude de deux polygones pour identifier quel côté du premier correspond à un côté donné du second.

Exemple 3: Comprendre la similitude entre deux polygones

Complétez la phrase:si 𝐵𝐺𝐶𝐷𝐿𝑌𝑁𝑍, alors 𝐵𝐺𝐶𝐷=𝑁𝑍.

Réponse

Dans cet exemple, on sait que le quadrilatère 𝐵𝐺𝐶𝐷 est semblable au quadrilatère 𝐿𝑌𝑁𝑍, ce qu’indique le symbole . On rappelle que lorsqu’on choisit des noms pour deux polygones semblables, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre. Par conséquent, d’après la notation utilisée dans l’énoncé, les sommets correspondants sont les suivants:𝐵𝐿,𝐺𝑌,𝐶𝑁,𝐷𝑍.etetetet

On rappelle également que le rapport des longueurs des côtés entre deux paires de sommets correspondants est constant. Dans le membre de gauche de l’équation donnée dans l’énoncé, la fraction 𝐵𝐺𝐶𝐷 est le rapport de deux longueurs de côtés du quadrilatère 𝐵𝐺𝐶𝐷. La valeur de ce rapport doit rester inchangée si l’on remplace chaque sommet par le sommet correspondant du quadrilatère 𝐿𝑌𝑁𝑍. On en déduit que 𝐵𝐺𝐶𝐷=𝐿𝑌𝑁𝑍.

Ainsi, au numérateur de la fraction du membre de droite de notre équation, la longueur manquante est 𝐿𝑌.

Maintenant que l’on maîtrise la notation utilisée pour indiquer que deux polygones sont semblables, voyons comment démontrer que deux polygones sont semblables.

Comment prouver la similitude de deux polygones

Pour prouver que deux polygones sont semblables, on doit:

  • identifier les sommets correspondants;
  • montrer que les angles intérieurs correspondants ont la même mesure;
  • et montrer que les côtés correspondants ont le même rapport de longueurs.

Dans le prochain exemple, nous devrons déterminer si deux polygones sont semblables.

Exemple 4: Vérifier si deux polygones sont semblables

Le polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il semblable au polygone 𝐺𝐹𝐸𝑋?

Réponse

Dans cet exemple, on doit déterminer si deux polygones sont semblables. On rappelle que deux polygones sont semblables si le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant et si les angles correspondants sont égaux. Commençons par vérifier si les angles correspondants sont égaux dans les deux polygones.

On remarque tout d’abord que nos deux polygones sont des parallélogrammes;cela nous facilitera la tâche pour calculer les longueurs et les angles manquants. Commençons par 𝐺𝐹𝐸𝑋;d’après les propriétés des parallélogrammes, on sait que 𝐸𝑋=𝐹𝐺 et 𝐸𝐹=𝑋𝐺. On sait aussi que 𝐹 et 𝐺 sont supplémentaires, et donc que 𝑚𝐺=70. Enfin, on sait que dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux;donc, 𝑚𝑋=110 et 𝑚𝐸=70.

On peut procéder de la même façon pour trouver la mesure de tous les angles intérieurs du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. Complétons la figure avec ces nouvelles informations.

On rappelle que lorsqu’on choisit des noms pour deux polygones semblables, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre. Les deux polygones dont on doit déterminer s’ils sont semblables sont 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐺𝐹𝐸𝑋, donc, on identifie les sommets correspondants:𝐴𝐺,𝐵𝐹,𝐶𝐸,𝐷𝑋.etetetet

Les angles intérieurs des sommets correspondants sont également correspondants. Sur la figure ci-dessus, on peut voir que 𝑚𝐴=𝑚𝐺,𝑚𝐵=𝑚𝐹,𝑚𝐶=𝑚𝐸,𝑚𝐷=𝑚𝑋.

Par conséquent, les angles correspondants de nos deux polygones ont la même mesure. Passons à présent aux rapports des côtés correspondants de nos deux polygones. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur, donc il est facile de trouver les longueurs manquantes;on les indique sur la figure ci-dessous.

On peut maintenant calculer les rapports des longueurs des côtés correspondants pour vérifier s’ils sont tous égaux:𝑋𝐸𝐷𝐶=2613=2,𝐸𝐹𝐶𝐵=2311,5=2,𝐹𝐺𝐵𝐴=2613=2,𝐺𝑋𝐴𝐷=2311,5=2.cmcmcmcmcmcmcmcm

On constate que les rapports des longueurs des côtés correspondants de nos deux polygones sont tous égaux. Par conséquent, les deux polygones sont semblables.

Ainsi, la réponse à la question posée dans l’énoncé est oui.

On sait que le rapport des longueurs des côtés correspondants de deux polygones semblables est constant. Cette propriété induit la définition suivante.

Définition : Rapport de similitude de deux polygones semblables

Le rapport de similitude de deux polygones semblables est le rapport constant des longueurs de côtés correspondants.

Dans le prochain exemple, nous trouverons le rapport de similitude de deux polygones semblables.

Exemple 5: Trouver le rapport de similitude de deux quadrilatères semblables à partir de leurs dimensions

Les quadrilatères 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝑌𝑍𝐿 sont semblables. Déterminez leur rapport de similitude;si nécessaire, arrondissez au centième.

Réponse

Dans cet exemple, on sait que les deux quadrilatères, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝑌𝑍𝐿, sont semblables. On doit trouver leur rapport de similitude;le rapport de similitude de deux polygones semblables est le rapport des longueurs des côtés correspondants. On commence par choisir un sens pour notre rapport de similitude. Il est généralement plus facile de travailler avec un rapport de similitude supérieur à 1, donc on va placer les longueurs les plus grandes au numérateur des rapports.

Commençons par identifier les côtés correspondants. On rappelle que lorsque l’on choisit des noms pour deux polygones semblables, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre. Ici, les deux quadrilatères semblables sont 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝑌𝑍𝐿, donc on identifie les sommets correspondants:𝐴𝑋,𝐵𝑌,𝐶𝑍,𝐷𝐿.etetetet

Les côtés correspondants sont les côtés situés entre une paire de sommets correspondants adjacents. La longueur de 𝐵𝐶 est indiquée sur la figure du premier quadrilatère. Les sommets qui correspondent à 𝐵 et 𝐶 dans le second quadrilatère sont 𝑌 et 𝑍 respectivement, donc le côté qui correspond à 𝐵𝐶 est 𝑌𝑍.

Par conséquent, le rapport des longueurs 𝐵𝐶 et 𝑌𝑍 nous donnera le rapport de similitude. On peut voir que 𝐵𝐶=16,𝑌𝑍=17.cmcm

Comme la longueur 𝑌𝑍 est la plus grande, on la place au numérateur. On trouve que le rapport de similitude est 𝑌𝑍𝐵𝐶=1716=1,0625.cmcm

On arrondit ce résultat au centième et on obtient 1,06.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé le rapport de similitude de deux polygones semblables. Comme on le verra dans le prochain exemple, on peut utiliser le rapport de similitude pour trouver des longueurs manquantes dans des polygones semblables.

Exemple 6: Trouver la longueur d’un côté et la mesure d’un angle dans deux quadrilatères semblables

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑍𝑌𝑋𝐿, trouvez la mesure de 𝑚𝑋𝐿𝑍 et la longueur de 𝐶𝐷.

Réponse

Dans cet exemple, on sait que les deux quadrilatères, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑍𝑌𝑋𝐿, sont semblables. On rappelle que lorsque l’on choisit des noms pour deux polygones semblables, en utilisant leurs sommets, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre. Ici, les deux quadrilatères semblables sont 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑍𝑌𝑋𝐿, donc on identifie les sommets correspondants:𝐴𝑍,𝐵𝑌,𝐶𝑋,𝐷𝐿.etetetet

En particulier, les angles intérieurs correspondants de ces sommets correspondants ont la même mesure:𝑚𝐴=𝑚𝑍,𝑚𝐵=𝑚𝑌,𝑚𝐶=𝑚𝑋,𝑚𝐷=𝑚𝐿.

On veut trouver 𝑚𝑋𝐿𝑍, aussi noté 𝑚𝐿. On rappelle que la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est égale à 360. On connaît les mesures de deux des angles de ce quadrilatère, à savoir 𝑍 et 𝑌. Par conséquent, si l’on trouve 𝑚𝑋, on pourra trouver 𝑚𝐿 grâce à cette propriété.

En utilisant la similitude de ces deux quadrilatères, on a déjà établi que 𝑚𝑋=𝑚𝐶 et l’on peut voir sur la figure que 𝑚𝐶=85. Par conséquent, 𝑚𝑋=85. On écrit à présent que la somme de tous les angles intérieurs du second quadrilatère est égale à 360:𝑚𝐿+105+109+85=360.

On réarrange l’équation pour isoler 𝑚𝐿 et on obtient 𝑚𝐿=36010510985=61.

À présent, trouvons la longueur de 𝐶𝐷. Pour trouver cette longueur manquante, nous allons utiliser le rapport de similitude. On rappelle que le rapport de similitude de deux polygones semblables est le rapport constant des longueurs des côtés correspondants. Les sommets qui correspondent à 𝐴 et 𝐵 sont 𝑍 et 𝑌 respectivement, donc le côté 𝑍𝑌 correspond au côté 𝐴𝐵. Par conséquent, le rapport de similitude est 𝑍𝑌𝐴𝐵=15075=2.cmcm

Cela signifie que l’on peut obtenir la longueur de n’importe quel côté du second polygone en multipliant par 2 la longueur du côté correspondant dans le premier polygone. En particulier, on a 2×𝐶𝐷=246,2.cm

En divisant les deux membres de l’équation par 2, on obtient 𝐶𝐷=246,22=123,1.cmcm

Ainsi, 𝑚𝑋𝐿𝑍=61,𝐶𝐷=123,1.cm

Dans le dernier exemple, nous résoudrons un problème concret impliquant des polygones semblables.

Exemple 7: Trouver la hauteur d’une image projetée à partir de son rapport de similitude avec le support original et des dimensions du support original

Un professeur d’université utilise un projecteur pour donner ses cours. Avec un transparent d’une largeur de 11 pouces et d’une hauteur de 7 pouces, il projette au tableau une image large de 5312pouces. Trouvez la hauteur de l’image projetée.

Réponse

Dans cet exemple, on doit trouver la hauteur de l’image créée par un projecteur. On sait qu’un projecteur agrandit une image sans changer sa forme. On fait donc le rapprochement avec le concept de polygones semblables, car les polygones semblables ont des formes identiques. Ainsi, on peut considérer que le transparent et l’image projetée sont deux polygones semblables.

D’après l’énoncé, le transparent est un rectangle large de 11 pouces et haut de 7 pouces. On sait également que l’image projetée fait 5312pouces de large. Dessinons deux rectangles semblables à partir de ces informations et nommons leurs sommets.

On peut écrire 𝐴𝐵𝐷𝐶𝑋𝑌𝑍𝑊.

On doit trouver la hauteur de l’image projetée, c’est-à-dire la longueur 𝑌𝑍. Pour trouver cette longueur manquante, utilisons le rapport de similitude. On rappelle que le rapport de similitude de deux polygones semblables est le rapport constant des longueurs des côtés correspondants. Pour calculer le rapport de similitude, on peut utiliser les côtés correspondants 𝐶𝐷 et 𝑊𝑍;on a alors 𝑊𝑍𝐶𝐷=5311=10722.

On obtient un rapport de similitude de 10722. Cela signifie que l’on peut obtenir la longueur d’un côté de l’image projetée en multipliant par 10722 la longueur du côté correspondant dans le transparent. En particulier, on a 𝑌𝑍=10722×𝐵𝐷=10722×7=74922=34122.

Par conséquent, la hauteur de l’image projetée est de 34122.

Pour finir, récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Deux polygones sont semblables si le rapport des longueurs des côtés correspondants est constant et si les angles correspondants sont égaux.
  • On indique que deux polygones sont semblables à l’aide du symbole . Lorsqu’on choisit des noms pour deux polygones semblables, l’ordre des sommets dans le nom de l’un doit correspondre à l’ordre des sommets dans le nom de l’autre.
  • Pour prouver que deux polygones sont semblables, on doit:
    • identifier les sommets correspondants;
    • montrer que les angles intérieurs correspondants ont la même mesure;
    • et montrer que les côtés correspondants ont le même rapport de longueurs.
  • Le rapport de similitude de deux polygones semblables est le rapport constant des longueurs des côtés correspondants.

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