Transcription de la vidéo
Donnez l’équation de la sphère de centre moins six, 15, 11 qui est tangente au plan 𝑥𝑦.
Une sphère est une forme tridimensionnelle où chaque point est à une distance 𝑟, le rayon de la sphère, du centre. L’équation d’une sphère sous forme standard est 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré plus 𝑧 moins 𝑐 le tout au carré est égal à 𝑟 au carré, où le rayon de la sphère est 𝑟 et les coordonnées de son centre sont 𝑎, 𝑏, 𝑐. Dans cette question, on nous dit que les coordonnées du centre sont moins six, 15, 11. Par conséquent, ce sont les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. On nous dit aussi que la sphère est tangente au plan 𝑥𝑦. La distance entre le centre d’une sphère et le plan 𝑥𝑦 est la valeur absolue ou le module de 𝑐. Cela signifie que le rayon de notre sphère est la valeur absolue de 11, ce qui est égal à 11.
Lorsqu’on substitue les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑟, on obtient 𝑥 moins moins six au carré plus 𝑦 moins 15 au carré plus 𝑧 moins 11 au carré est égal à 11 au carré. Soustraire moins six est équivalent à additionner six, donc le premier terme devient 𝑥 plus six le tout au carré. Sachant que 11 au carré est égal à 121, l’équation de la sphère dont le centre est moins six, 15, 11 et qui est tangente au plan 𝑥𝑦 est 𝑥 plus six au carré plus 𝑦 moins 15 au carré plus 𝑧 moins 11 au carré est égal à 121.
Une autre méthode pour calculer le rayon de la sphère serait de reconnaître que lorsque la sphère est tangente au plan 𝑥𝑦, la coordonnée 𝑧 doit être égale à zéro. Le point le plus proche du centre de la sphère sur le plan 𝑥𝑦 a les coordonnées moins six, 15, zéro. Nous pourrions alors trouver la distance entre le centre et ce point, ce qui nous donnerait une fois de plus 11. Cela confirme que le rayon de la sphère est de 11.
