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Etant données 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins un et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus un, laquelle des expressions suivantes correspond à 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 ? A) trois 𝑥 au carré plus trois, B) neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus trois, C) trois 𝑥 au carré plus deux, D) trois 𝑥 au carré, E) neuf 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus deux.
Alors, que représente cette expression, 𝑓 puis ce petit cercle et ensuite ce 𝑔 ? Eh bien, c’est une nouvelle fonction qu’on obtient lorsqu’on combine les fonctions 𝑓 et 𝑔. Nous pouvons expliquer ce que fait cette fonction en montrant son effet sur une valeur arbitraire 𝑥. On a 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 moins un et 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus un et on souhaite avoir une expression similaire sur le côté droit pour montrer ce qui arrive à 𝑥 lorsqu’on applique 𝑓 de 𝑔 au lieu de 𝑓 ou 𝑔 seul.
Comment fait-on ? Eh bien, on utilise une définition de la composée de fonctions qui stipule que 𝑓 composée avec 𝑔, ou 𝑓 rond 𝑔, de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Avant d’essayer d’obtenir une expression pour 𝑓 rond 𝑔 de 𝑥, évaluons 𝑓 de 𝑔 de deux. Et bien sûr, on remplace simplement 𝑥 par deux partout dans la définition ci-dessus. On obtient donc 𝑓 rond 𝑔 de deux est égal à 𝑓 de 𝑔 de deux. Nous voulons évaluer le côté droit, et nous le faisons en trouvant d’abord 𝑔 de deux et en le substituant.
Qu’est-ce que 𝑔 de deux ? Eh bien, on peut évaluer cela en utilisant notre expression pour 𝑔 de 𝑥. On a 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus un, donc 𝑔 de deux vaut deux au carré plus un, ce qui fait cinq. Et nous le remplaçons. Alors maintenant, nous voyons que 𝑓 de 𝑔 de deux égale 𝑓 de cinq. Je dois maintenant évaluer 𝑓 de cinq. Comment faire cela ? On utilise l’expression de 𝑓 de 𝑥. On sait que 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins un et donc 𝑓 de cinq égale trois fois cinq moins un, soit 14. Ainsi, 𝑓 de 𝑔 de deux, produit un résultat de 14.
Comment détermine-t-on 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 ? Cela est très similaire à la manière de déterminer 𝑓 de 𝑔 de deux, mais nous aurons affaire à des expressions algébriques au lieu de nombres. Donc, tout d’abord, on évalue le côté droit, et on le fait en évaluant d’abord 𝑔 de 𝑥. Eh bien, nous avons une expression pour 𝑔 de 𝑥 dans la question, substituons donc cette expression. Nous obtenons donc 𝑓 de 𝑥 au carré plus un.
Ok. Maintenant, que faisons-nous avec cela ? Nous utilisons la définition de 𝑓, soit 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins un. Quelle est donc la valeur de 𝑓 de 𝑥 au carré plus un ? Eh bien, 𝑓 agit sur une valeur et produit un résultat qui est trois fois cette valeur moins un. La réponse est donc : trois fois 𝑥 au carré plus un, moins un. Et nous pouvons simplifier cela en appliquant d’abord la propriété de distributivité pour développer les parenthèses, puis en collectant les termes constants pour obtenir trois 𝑥 au carré plus deux.
Ok. Alors, maintenant que nous avons notre réponse, consultons nos options, et nous pouvons voir que C, trois 𝑥 au carré plus deux, est notre bonne réponse.
