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Vidéo de la leçon: Fonctions composées Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à construire une fonction composée à partir de deux fonctions affines, du second degré ou inverses.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à construire une fonction composée à partir de deux fonctions affines, du second degré ou inverses. Nous allons commencer par présenter ce qu’est une fonction composée et ce qu’elle représente. Nous nous entrainerons ensuite avec une série d’exemples demandant de rechercher l’expression générale d’une fonction composée et de l’évaluer pour certaines valeurs. Nous verrons enfin comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction composée. Avant que nous commencions, vous devriez déjà être familier avec la notation des fonctions et la définition de l’ensemble de définition et de l’ensemble image d’une fonction.

Donc, qu’est-ce qu’une fonction composée? Eh bien, discutons-en dans le contexte d’un scénario réel. Supposons que vous vous rendez dans un magasin proposant 20 pour cent de réduction. Vous avez également un bon d’achat de 10 livres qui vous a été offert pour votre anniversaire. Vous jetez un œil dans le magasin et décidez d’acheter un article qui coûte 150 livres. Voyons comment vos remises peuvent être appliquées. Dans la plupart des magasins, le vendeur appliquera d’abord la remise de 20 pour cent. Donc votre article, qui coûtait initialement 150 livres, coûte maintenant 80 pour cent de cela. On peut calculer 80 pour cent d’un montant en le multipliant par le nombre décimal 0,8. Ainsi, après la remise de 20 pour cent, votre article coûte maintenant 120 livres.

Vous remettez ensuite votre bon cadeau et le vendeur retire 10 livres du prix. Le prix final que vous payerez sera donc de 110 livres. Maintenant, chacune de ces remises peut en fait être représentée à l’aide d’une fonction. On suppose que 𝑥 est le prix d’un article. Alors, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 0,8𝑥 peut représenter une remise de 20 pour cent, car cette fonction calcule 80 pour cent de la valeur d’origine. La fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins 10 peut représenter la remise de 10 livres. Lorsque l’on applique la remise de 20 pour cent, cela revient à appliquer la fonction 𝑓. Et lorsque l’on retire les 10 livres, cela revient à appliquer la fonction 𝑔 au résultat.

Ce que nous avons en réalité fait est d’appliquer une fonction composée, et il s’agit de la fonction que l’on appelle 𝑔 rond 𝑓 de 𝑥. On prend une valeur 𝑥, on applique la fonction 𝑓 puis on applique la fonction 𝑔 à ce résultat. La notation de cette opération est écrite ici. On peut parfois utiliser un petit cercle entre les deux lettres représentant les fonctions bien que ce ne soit pas toujours le cas. Cet exemple illustre donc la logique des fonctions composées. Nous appliquons une fonction, puis appliquons une autre fonction au résultat. Nous allons maintenant voir comment l’appliquer dans un exemple.

Soient 𝑓 de 𝑥 égale trois moins 𝑥 carré et 𝑔 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus quatre, calculez 𝑓 de 𝑔 de un.

Commençons par clarifier la notation utilisée dans la question. 𝑓 de 𝑔 de un signifie que la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est évaluée en 𝑥 égale un. On peut également l’écrire avec un petit cercle entre les deux lettres. Nous rappelons maintenant que la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est la fonction que nous obtenons lorsque nous appliquons d’abord 𝑔 puis . Elle ne représente pas le produit des fonctions 𝑓 et 𝑔. Nous allons présenter deux méthodes pour répondre à cette question. Dans la première méthode, nous substituons 𝑥 égal un dès le départ. Nous allons donc calculer 𝑔 de un puis évaluer 𝑓 pour cette valeur. 𝑔 de 𝑥 est la fonction deux 𝑥 plus quatre, donc 𝑔 de un égale deux fois un plus quatre, ce qui est égal à six.

On utilise maintenant cette valeur comme antécédent de la fonction 𝑓. Donc 𝑓 de 𝑔 de un devient simplement 𝑓 de six. 𝑓 de 𝑥 est la fonction trois moins 𝑥 carré, donc 𝑓 de six égale trois moins six au carré. Cela fait trois moins 36, ce qui est égal à moins 33. Dans cette méthode, nous avons donc d’abord évalué 𝑔 de un puis avons utilisé cette valeur comme antécédent de la deuxième fonction. Nous avons ainsi montré que 𝑓 de 𝑔 de un égale moins 33. La deuxième approche que nous pouvons adopter consiste à trouver une expression algébrique générale de la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, puis à l’évaluer en 𝑥 égale un. Cela est probablement plus compliqué dans ce cas, mais cette méthode serait utile si nous devions calculer 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 pour différentes valeurs de 𝑥.

Voyons donc comment elle fonctionne. Nous cherchons l’expression générale de la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. On rappelle que 𝑔 de 𝑥 est la fonction deux 𝑥 plus quatre. Donc, en remplaçant 𝑔 de 𝑥 par deux 𝑥 plus quatre, on cherche maintenant l’expression de la fonction 𝑓 de deux 𝑥 plus quatre. On prend l’expression deux 𝑥 plus quatre comme antécédent de la fonction 𝑓. 𝑓 de 𝑥 est la fonction trois moins 𝑥 carré. Donc, 𝑓 de deux 𝑥 plus quatre égale trois moins deux 𝑥 plus quatre au carré. On peut conserver la fonction composée sous cette forme ou distribuer les parenthèses et simplifier si on le souhaite. On obtient alors 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 égale moins quatre 𝑥 carré moins 16𝑥 moins 13.

Nous avons maintenant une expression générale pour 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Mais rappelez-vous que nous devons l’évaluer en 𝑥 égale un. La dernière étape consiste donc à substituer 𝑥 égale un. Cela donne moins quatre moins 16 moins 13, ce qui est égal à moins 33, la même réponse que nous avions trouvée en utilisant la première méthode. Donc, dans les deux cas, nous avons trouvé que 𝑓 de 𝑔 de un est égal à moins 33. La première méthode est probablement plus simple pour cette question particulière. Mais si nous devions évaluer 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 pour plusieurs valeurs de 𝑥, alors la deuxième méthode pourrait bien être plus efficace.

Maintenant que nous avons vu comment composer formellement des fonctions, vous vous demandez peut-être si l’ordre de composition a une importance. Alors, la fonction 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est-elle égale à la fonction 𝑔 de 𝑓 de 𝑥? Étudions un scénario réel pour vérifier cela. Revenons au scénario par lequel nous avons commencé, où vous avez un bon d’achat de 10 livres dans un magasin proposant 20 pour cent de réduction. Nous avons vu précédemment que nous pouvions représenter ces deux remises comme des fonctions. 𝑓 de 𝑥 égale 0,8𝑥, et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins 10. Nous avons également vu que si nous achetions un article à 150 livres et que la remise de 20 pour cent était appliquée avant le bon de 10 livres, alors cet article coûterait 110 livres.

Cela serait représenté par la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est la fonction 0,8x, donc ce serait 𝑔 de 0,8𝑥. On prend alors 0,8𝑥 comme antécédent de la fonction 𝑔 de 𝑥. Et en soustrayant 10 à cela, nous obtenons 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 égale 0,8𝑥 moins 10. Supposons maintenant que le vendeur ait appliqué votre bon de 10 livres avant la remise de 20 pour cent. Eh bien, 150 livres moins 10 livres font 140 livres, puis 80 pour cent de 140 ou 0,8 fois 140 égale 112. Donc, dans ce scénario, l’article coûterait 112 livres.

Remarquez que ce n’est pas le même prix que lorsque les remises sont appliquées dans l’ordre inverse. Cette fois, le processus global pourrait être représenté par la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. On applique d’abord 𝑔 de 𝑥, en soustrayant 10 au prix. Puis on applique 𝑓 à ce résultat. 𝑓 de 𝑥 est la fonction 0,8𝑥, donc 𝑓 de 𝑥 moins 10 égale 0,8 fois 𝑥 moins 10, soit 0,8𝑥 moins huit. Les deux fonctions composées 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 ne donnent donc pas le même résultat. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est 0,8𝑥 moins 10, et 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 est 0,8𝑥 moins huit. Nous voyons donc que l’ordre dans lequel les remises sont appliquées a un impact. Et par conséquent, l’ordre a une importance lorsque nous composons des fonctions.

Dans certaines circonstances cependant, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 peut être égale à 𝑔 de 𝑓 de x, comme dans le cas de fonctions réciproques. Et il peut également être possible que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 soit égale à 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 pour des valeurs particulières de 𝑥, mais certainement pas pour toutes les valeurs de 𝑥. On peut donc dire que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 n’est généralement pas égale à 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Et nous devons par conséquent être très prudents concernant l’ordre dans lequel nous composons les fonctions. Continuons et étudions quelques exemples supplémentaires.

Sur la figure ci-dessous, la courbe rouge représente 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et la courbe bleue représente 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥. Que vaut 𝑓 de 𝑔 de deux?

On rappelle tout d’abord que la notation 𝑓 de 𝑔 de deux signifie que l’on prend la valeur 𝑥 égale deux et que l’on applique en premier la fonction 𝑔, suivie de la fonction 𝑓. On commence donc par déterminer la valeur de 𝑔 de deux. On rappelle que 𝑔 correspond à la courbe représentative bleue. On cherche donc deux sur l’axe des abscisses, on remonte sur la courbe bleue ⁠ - c’est ce point ici ⁠ - et on voit que la valeur 𝑦, correspondant à 𝑔 de deux, est un. Donc en appliquant 𝑔 de 𝑥 à la valeur deux, on obtient un. On applique maintenant la fonction 𝑓 au résultat. 𝑓 de 𝑔 de deux devient 𝑓 de un. On remplace 𝑔 de deux par sa valeur.

On revient ensuite à la figure et on observe cette fois la courbe rouge. On cherche un sur l’axe des abscisses, on remonte sur la courbe rouge - c’est ce point ici - et on voit que la valeur 𝑦, correspondant à 𝑓 de un, est trois. Nous avons donc trouvé que 𝑔 de deux égale un puis que 𝑓 de 𝑔 de deux, soit 𝑓 de un, est égal à trois. Et nous avons ainsi répondu à la question. Maintenant, juste pour démontrer un point important, supposons que nous ayons fait cela dans l’ordre inverse. C’est-à-dire que nous pensions que 𝑓 de 𝑔 sur deux signifiait que nous devions appliquer la fonction 𝑓 en premier.

Eh bien, en trouvant deux sur l’axe des abscisses et en remontant sur la courbe rouge de 𝑓, on voit que 𝑓 de deux est égal à quatre. On applique ensuite la fonction 𝑔 au résultat, ce qui correspond en fait à 𝑔 de 𝑓 de deux, soit 𝑔 de quatre. On trouve quatre sur l’axe des abscisses, on remonte sur la courbe bleue et on voit que la valeur de 𝑦 est ici quatre. 𝑔 de 𝑓 de deux est donc égal à quatre, alors que 𝑓 de 𝑔 de deux égale trois. Et nous voyons donc que l’ordre est extrêmement important lorsque nous composons des fonctions. La bonne réponse est 𝑓 de 𝑔 de deux égale trois.

Dans le prochain exemple, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction composée.

Soient les fonctions 𝑓 de 𝑥 égale 17 sur 𝑥, où 𝑥 est différent de zéro, et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 carré moins 361, déterminez l’ensemble de définition de 𝑓 rond 𝑔 de 𝑥.

On rappelle tout d’abord que cette notation 𝑓, puis un petit cercle, puis 𝑔 de 𝑥, représente la fonction composée obtenue lorsque l’on applique en premier la fonction 𝑔 puis que l’on applique la fonction 𝑓 au résultat. Nous devons déterminer l’ensemble de définition de cette fonction composée. Et nous rappelons alors que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs sur lesquelles la fonction peut s’appliquer. Remarquez qu’il est indiqué dans la définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 qu’elle est définie pour 𝑥 différent de zéro. Et c’est parce que si nous essayions d’évaluer 𝑓 de zéro, nous obtiendrions 17 sur zéro, ce qui n’est pas défini. Donc l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 est tous les nombres réels sauf zéro.

Pour la fonction 𝑔 de 𝑥, aucune restriction n’est donnée car aucune valeur ne pose problème. On peut élever toute valeur au carré puis y soustraire 361 sans rencontrer de problèmes de valeurs indéfinies. Nous allons présenter deux approches pour répondre à cette question. La première consiste à trouver une expression algébrique de la fonction composée 𝑓 rond 𝑔 de 𝑥. On commence avec une valeur 𝑥, on applique la fonction 𝑔 de 𝑥, ce qui donne 𝑥 carré moins 361 puis on prend cette expression comme antécédent de la fonction 𝑓. 𝑓 de 𝑥 est la fonction qui divise 17 par l’antécédent. Donc 𝑓 de 𝑥 carré moins 361 égale 17 sur 𝑥 carré moins 361. Voici donc une expression générale de la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.

Remarquez maintenant que cette expression n’est pas définie lorsque le dénominateur de la fraction est égal à zéro. C’est-à-dire quand 𝑥 carré moins 361 égale zéro. On peut résoudre cette équation en ajoutant 361 à chaque membre et en prenant ensuite la racine carrée. Racine carrée de 361 égale 19 donc nous trouvons que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑥 égale plus ou moins 19. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 peut s’appliquer à toutes les valeurs sauf plus ou moins 19, nous pouvons donc exprimer son ensemble de définition de deux façons. Nous pouvons écrire 𝑥 différent de plus ou moins 19. Ou nous pouvons l’écrire comme l’ensemble de tous les nombres réels moins l’ensemble contenant les deux éléments moins 19 et plus 19. Ces deux styles de notation sont tout à fait acceptables.

Maintenant, une autre façon d’aborder ce problème serait d’utiliser le fait que la seconde fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie en zéro. Si 𝑓 de zéro n’est pas défini, cela signifie que la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑔 de 𝑥 égale zéro. C’est-à-dire lorsque la première fonction donne la valeur zéro, que l’on essaie ensuite de substituer dans la deuxième fonction. 𝑔 de 𝑥 est la fonction 𝑥 carré moins 361. Pour déterminer quand 𝑔 de 𝑥 est égal à zéro, on doit donc résoudre cette équation du second degré. Et cela nous conduit exactement aux mêmes calculs que dans la méthode précédente. Ces deux approches sont donc tout à fait adaptées. Et dans les deux cas, nous concluons que l’ensemble de définition de la fonction composée 𝑓 rond 𝑔 de 𝑥 est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception de moins 19 et plus 19.

Passons maintenant en revue certains des points clés de cette vidéo. Composer des fonctions signifie que l’on applique une fonction puis que l’on applique une autre fonction au résultat obtenu. Nous pouvons représenter cela sur un schéma. Si nous appliquons la fonction 𝑓 de 𝑥 suivie de la fonction 𝑔 de 𝑥, elle peut être notée comme la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Nous avons également remarqué que pour pouvoir composer des fonctions, l’ensemble image de la première fonction, c’est-à-dire ses valeurs de sortie, doit être un ensemble de définition approprié pour la seconde.

Nous avons également précisé que l’ordre dans lequel nous composons les fonctions est extrêmement important. En général, la fonction composée 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 n’est pas égale à la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Autrement dit, si nous appliquons 𝑔 en premier suivie de 𝑓, nous n’obtenons pas le même résultat que si nous appliquons 𝑓 en premier suivie de 𝑔. Pour savoir quelle fonction appliquer en premier pour une fonction composée, nous devons nous rappeler de toujours commencer à partir du centre des parenthèses. Dans le cas de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, nous commençons par une valeur 𝑥, appliquons la fonction 𝑔, puis appliquons la fonction 𝑓 au résultat. Alors que dans la fonction 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, nous commençons par une valeur 𝑥, appliquons la fonction 𝑓, puis appliquons la fonction 𝑔 au résultat.

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