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Fiche explicative de la leçon : Fonctions composées Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à former une fonction composée à partir de deux ou plusieurs fonctions.

Commençons par quelques rappels sur les définitions d’une fonction et d’un ensemble de définition, ainsi que sur la notation que nous utiliserons dans cette fiche explicative.

Définition : Fonctions et ensembles de définition

Une fonction𝑓𝑋𝑌 est une relation qui associe à chaque élément de l’ensemble de définition 𝑋 un élément de l’ensemble d’arrivée 𝑌. On définit l’ensemble de définition comme l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓(𝑥) est définie.

Pour mieux expliquer les fonctions composées, on considère l’analogie suivante. Considérons un cycliste qui roule sur une route de montagne. Comme il monte et descend le long de la montagne, son altitude 𝑧 (en mètres au-dessus du niveau de la mer) varie en fonction du temps 𝑡 écoulé (en minutes ) depuis son départ. Supposons que cette altitude soit donnée par la fonction 𝑧=𝑍(𝑡).

Supposons également que dans la région où se trouve le cycliste, la température (en degrés Celsius ) ne dépende que de l’altitude. Ainsi, peu importe où se trouve le cycliste exactement, seule son altitude détermine sa température. Autrement dit, la température 𝑇(𝑧) est une fonction de l’altitude 𝑧.

Ainsi, comme la température peut être calculée à partir de l’altitude et l’altitude peut être calculée à partir du temps écoulé, la température peut être calculée du temps écoulé comme suit:tempsaltitudetempérature𝑡𝑧=𝑍(𝑡)𝑇(𝑧)=𝑇(𝑍(𝑡))

Par exemple, si après avoir roulé 12 minutes le cycliste se trouve à une altitude de 335 m, et que l’on sait que la température à 335 m est de 14C, il en découle qu’après 12 minutes le cycliste est exposé à une température de 14C.

On appelle ce processus la composition de fonctions. La nouvelle fonction que nous avons créée, 𝑡𝑇(𝑍(𝑡)), est une fonction composée. On donne ci-dessous la définition formelle des fonctions composées.

Définition : Fonctions composées

Soit deux fonctions 𝑓 et 𝑔. Alors, la fonction composée 𝑔𝑓 est définie par (𝑔𝑓)(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)).

Notez que l’ordre des fonctions dans 𝑔𝑓 (lu « 𝑔 rond 𝑓 » ) est important;ici on applique 𝑓 à 𝑥 dans un premier temps et 𝑔 dans un second. Signalons que déterminer l’ensemble de définition exact de 𝑔𝑓 n’est pas si simple, nous reviendrons sur ce point plus tard dans cette fiche.

Pour l’instant, voyons à travers un exemple concret comment calculer une fonction composée. On suppose qu’on a les fonctions 𝑓(𝑥)=3𝑥+𝜋,𝑓,𝑔(𝑥)=2𝑥+𝑥1,𝑔.

Pour calculer 𝑔𝑓, on remplace chaque 𝑥 dans 𝑔(𝑥) par 𝑓(𝑥), comme suit:(𝑔𝑓)(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥))=𝑔(3𝑥+𝜋)=2(3𝑥+𝜋)+(3𝑥+𝜋)1=29𝑥+6𝜋𝑥+𝜋+3𝑥+𝜋1=18𝑥+(12𝜋+3)𝑥+2𝜋+𝜋1.

On peut également voir ceci comme des substitutions successives commençant à l’intérieur (ici 𝑓(𝑥) ) et progressant vers l’extérieur.

On pourrait aussi composer les deux fonctions dans l’autre sens. On aurait alors (𝑓𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓2𝑥+𝑥1=32𝑥+𝑥1+𝜋=6𝑥+3𝑥3+𝜋.

Il est important de noter que 𝑓𝑔𝑔𝑓. En effet, de manière générale, il n'est pas toujours possible de composer des fonctions dans le sens inverse, selon les ensembles de définition et les ensembles images. Ceci nous amène à la règle ci-dessous.

Règle : Commutativité de la composition de fonctions

La composition des fonctions n’est pas commutative. Cela signifie que pour deux fonctions 𝑓 et 𝑔 les fonctions composées, 𝑓𝑔 et 𝑔𝑓 ne sont généralement pas les même. Elles ne le sont que dans certains cas particuliers (par exemple, si 𝑓=𝑔).

Nous savons à présent ce qu’est la composition de fonctions et connaissons certaines de ces propriétés. Testons nos nouvelles connaissances dans l’exemple suivant.

Exemple 1: Trouver l’expression d’une fonction composée

Sachant que 𝑓(𝑥)=3 et 𝑔(𝑥)=𝑥2 quelle est l’expression de (𝑓𝑔)(𝑥)?

Réponse

On rappelle que, d’après la définition d’une fonction composée, (𝑓𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)).

Pour évaluer une fonction composée, on remplace 𝑔 et 𝑓 par leurs expressions, en commençant par l’intérieur et en progressant vers l’extérieur. Ici, l’expression la plus interne est 𝑔(𝑥), que l’on remplace donc par 𝑔(𝑥)=𝑥2, pour obtenir 𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥2).

On peut maintenant faire la substitution dans 𝑓(𝑥)=3. Ceci signifie qu’on prend l’expression 3 et l’on remplace 𝑥 par 𝑥2. Ceci nous donne 𝑓(𝑥2)=3.

On en conclut que (𝑓𝑔)(𝑥)=3.

Nous avons vu comment fonctionne la composition de fonctions à travers quelques exemples simples. Parfois, il nous sera demandé d’évaluer une fonction composée en un point donné. Dans l’exemple suivant, nous pourrons constater que cela s’avère plus facile que d’évaluer la fonction composée complète.

Exemple 2: Évaluer des fonctions composées en une valeur donnée

Sachant que 𝑓(𝑥)=3𝑥1 et que 𝑔(𝑥)=𝑥+1, trouvez (𝑓𝑔)(2).

Réponse

On rappelle que, d’après la définition d’une fonction composée, (𝑓𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)).

Dans cet exemple, on doit évaluer l’expression ci-dessus en 𝑥=2;c’est-à-dire (𝑓𝑔)(2)=𝑓(𝑔(2)).

On commence par remplacer dans l’expression de 𝑔(𝑥) et on l’évalue en 2, comme suit:𝑓(𝑔(2))=𝑓2+1=𝑓(5).

Maintenant, nous remplaçons simplement dans 𝑓(𝑥)=3𝑥1 et nous trouvons la valeur de l’expression en 5:𝑓(𝑔(2))=3(5)1=14.

Par conséquent, (𝑓𝑔)(2)=14.

Note

Dans l’exemple précédent, il n’était pas nécessaire de trouver l’expression complète de la fonction composée (𝑓𝑔)(𝑥) pour trouver sa valeur en un point donné. Si cela avait été nécessaire, nous aurions d’abord calculé (𝑓𝑔)(𝑥)=3𝑥+2 puis on aurait calculé sa valeur en 2 pour obtenir 14.

L’évaluation des fonctions composées peut être effectuée en utilisant les expressions des fonctions qui les composent, comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent. Dans le prochain exemple, nous verrons qu’il est également possible de trouver la valeur d’une fonction composée en utilisant les représentations graphiques des fonctions qui la composent.

Exemple 3: Évaluer des fonctions composées en une valeur donnée à partir de leurs représentations graphiques

Sur la figure ci-dessous, la courbe représentative rouge correspond à 𝑦=𝑓(𝑥), et la bleue correspond à 𝑦=𝑔(𝑥).

Quelle est la valeur de 𝑓(𝑔(2))?

Réponse

Pour calculer 𝑓(𝑔(2)) on commence par l’intérieur de l’expression et on détermine 𝑔(2) puis on remplace par ce résultat dans 𝑓.

Pour trouver 𝑔(2) graphiquement, on trace une ligne issue de l’axe des 𝑥 en 𝑥=2 vers la courbe de 𝑔(𝑥) (la courbe bleue) et on la projette sur l’axe des 𝑦. Nous montrons ceci sur la figure ci-dessous.

On trouve que 𝑔(2)=1. Il en découle que 𝑓(𝑔(2))=𝑓(1). Pour calculer 𝑓(1) graphiquement, on procède de la même façon;on trace une ligne issue de l’axe des 𝑥 en 𝑥=1 vers la courbe de 𝑓(𝑥) (la courbe rouge) puis on la projette sur l’axe des 𝑦 comme le montre la figure ci-dessous.

On trouve que, 𝑓(1)=3. Par conséquent, 𝑓(𝑔(2))=3.

Jusqu’à présent, les fonctions composées que nous avons vues n’étaient composées que de deux fonctions, mais on peut aussi former des fonctions composées de plusieurs fonctions en utilisant la définition de la composition de fonctions plusieurs fois. Par exemple, (𝑓𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔((𝑥))).

Dans le prochain exemple, nous verrons comment cela s’applique si nous composons la même fonction avec elle-même plusieurs fois.

Exemple 4: Évaluer une fonction composée plusieurs fois avec elle-même en une valeur donnée

On pose 𝑓=𝑓𝑓(), 𝑓=𝑓𝑓𝑓() et ainsi de suite, de sorte que 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑥))() , 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑓(𝑓(𝑥)))(), et ainsi de suite. Soit 𝑔(𝑥)=4𝑥5. Trouvez 𝑔(3)().

Réponse

En suivant la logique présentée ci-dessus, il nous est demandé de calculer 𝑔(3)=𝑔(𝑔(𝑔(𝑔(3)))).()

À première vue, cela peut sembler compliqué, mais notons qu’il n’est pas nécessaire de déterminer la fonction 𝑔(𝑥)(). On peut se contenter de calculer 𝑔(3) et lui appliquer 𝑔 plusieurs fois. On a donc:𝑔(3)=4(3)5=7,𝑔(𝑔(3))=𝑔(7)=4(7)5=23,𝑔(𝑔(𝑔(3)))=𝑔(23)=4(23)5=87,𝑔(𝑔(𝑔(𝑔(3))))=𝑔(87)=4(87)5=343.

On en conclut que 𝑔(3)=343().

On a déjà dit antérieurement que nous allons revenir sur le sujet de l’ensemble de définition d’une fonction composée, étudions alors ce concept.

La méthode générale pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction composée est assez compliquée, mais dans certains cas, si nous essayons de substituer la fonction interne par la fonction externe, cela peut se simplifier sous une forme dans laquelle nous pouvons déterminer directement l’ensemble de définition. Donnons-en un petit exemple. Supposons que nous ayons 𝑓(𝑥)=𝑥3,𝑓,𝑔(𝑥)=𝑥,𝑔[0;+[[0;+[, et que nous voulons trouver l’ensemble de définition de 𝑔𝑓. Si on substitue 𝑓 dans 𝑔 on obtient 𝑔(𝑓(𝑥))=𝑓(𝑥)=𝑥3.

À partir de là, nous pouvons déterminer l’ensemble de définition de la fonction en notant que la valeur d’entrée d’une racine carrée doit toujours être positive. Ceci signifie que 𝑥3𝑥30𝑥3.

C’est-à-dire, l’ensemble de définition de 𝑔𝑓 est égal à [3;+[.

Essayons-en un autre exemple, où cette fois la fonction composée résultante est une fonction rationnelle.

Exemple 5: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction composée

Sachant que la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥, 𝑥0, et la fonction 𝑔(𝑥)=𝑥41, déterminez l’ensemble de définition de 𝑓𝑔.

Réponse

Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction composée, une méthode consiste à évaluer 𝑓𝑔 comme une fonction en substituant 𝑔 dans 𝑓 et trouver l’ensemble de définition de la fonction résultante. En faisant cela, on obtient (𝑓𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))=2𝑔(𝑥)=2𝑥41.

Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, nous pouvons déterminer directement son ensemble de définition. Rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est déterminé par la restriction selon laquelle son dénominateur doit être non nul pour tous 𝑥 (car on ne peut pas diviser par zéro). C’est-à-dire 2𝑥41𝑥410𝑥41.

Ainsi, l’ensemble de définition est chaque valeur réelle de 𝑥 à l’exception de 41, ou en d’autres termes, l’ensemble de définition est {41}.

De plus, considérons en détail l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction composée dans l’exemple précédent et comment ils diffèrent des ensembles de définition et des ensembles images des fonctions d’origine. Initialement, notons que 𝑓 et 𝑔 ont des ensembles de définition et des ensembles images comme suit:𝑓(𝑥)=2𝑥{0},{0},𝑔(𝑥)=𝑥41,.ensemblededénitionensembleimageensemblededénitionensembleimage

Pour 𝑓(𝑥), puisqu’il s’agit d’une fonction rationnelle, nous rappelons que son ensemble de définition est tout , sauf pour le point où son dénominateur est zéro (c.-à-d. 𝑥=0 ), et son ensemble image est tout , sauf pour zéro, car 2𝑥 ne peut jamais être nul. Pour 𝑔(𝑥), puisqu’il s’agit d’une fonction affine, elle possède à la fois un ensemble de définition et un ensemble image de .

En comparant, 𝑓𝑔 a un ensemble de définition et un ensemble image donnés par 𝑓(𝑥)=2𝑥41{41},{0}.ensemblededénitionensembleimage

Puisqu’il s’agit d’une fonction rationnelle, l’ensemble de définition et l’ensemble image sont semblables à ceux de 2𝑥;la seule différence est l’ensemble de définition, que nous avons trouvé précédemment. Si nous traçons les deux fonctions rationnelles, nous avons ce qui suit.

En d’autres termes, elles prennent exactement la même forme, sauf que la fonction composée a été déplacée vers la droite de 41 unités.

Terminons en récapitulant les concepts principaux que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions. Alors, la fonction composée 𝑔𝑓 est définie par (𝑔𝑓)(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥)).
  • On peut calculer 𝑔(𝑓(𝑥)) en remplaçant chaque 𝑥 dans 𝑔(𝑥) par 𝑓(𝑥).
  • La composition des fonctions n’est pas commutative. Cela signifie que pour deux fonctions 𝑓 et 𝑔 , 𝑓𝑔 et 𝑔𝑓 ne sont pas nécessairement identiques.
  • On peut déterminer l’ensemble de définition de 𝑔𝑓 en remplaçant 𝑓 dans 𝑔 et trouver l’ensemble de définition de la fonction résultante 𝑔(𝑓(𝑥)).

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