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La figure donnée est un cube de volume de 27 unités cubiques. Déterminez, sous forme paramétrique, l'équation de la droite 𝐺𝐵. Est-ce (A) 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale moins trois 𝑡 et 𝑧 égale trois plus trois 𝑡 ? (B) 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale trois plus trois 𝑡. L’option (C) 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡, 𝑧 égale trois moins trois 𝑡. L’option (D) 𝑥 égale trois moins trois 𝑡, 𝑦 égale moins trois 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡. Ou l’option (E) 𝑥 égale trois moins trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale trois 𝑡.
On commence d'abord par considérer que la figure représente un cube de volume de 27 unités cubiques. Le volume d’un cube est égal à la longueur de l’arrête du cube. Cela signifie que dans cette question, 𝐿 au cube correspond à 27 unités cubiques. En prenant la racine cubique des deux membres de cette équation, on obtient 𝐿 égale trois. Le cube de la figure a donc un arrête de longueur trois unités. On nous demande de trouver l'équation de la droite 𝐺𝐵 sous forme paramétrique. On commence par trouver les coordonnées des points 𝐺 et 𝐵.
Le point 𝐺 est situé sur l'axe des 𝑧. Il aura donc pour coordonnées 𝑥 et 𝑦 nulles. Le cube ayant un arrête de longueur trois, le point 𝐺 a pour coordonnées zéro, zéro, trois. Le point 𝐵 est situé à trois unités dans la direction des 𝑥. Il est également situé à trois unités dans la direction des 𝑦. Puisque le point se trouve dans le plan 𝑥𝑦, la coordonnée 𝑧 sera nulle. 𝐵 a pour coordonnées trois, trois, zéro.
Ensuite, on rappelle que les équations paramétriques d'une droite sont un ensemble non unique de trois équations de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡𝑙, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡𝑚, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡𝑛, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro sont les coordonnées d'un point situé sur la droite. Le vecteur 𝑙, 𝑚, 𝑛 est un vecteur directeur de la droite. Et 𝑡 est un nombre réel appelé paramètre qui varie de moins ∞ à plus ∞. On peut choisir l'un ou l'autre de nos points 𝐵 ou 𝐺 comme étant 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. Même si ces deux points donnent un résultat valable, il nous faut choisir l'une des solutions proposées.
Par conséquent, on commencera par donner au point 𝐺 les coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro. Il faut ensuite calculer un vecteur directeur de la droite 𝐺𝐵. Pour faire cela, on peut soustraire les vecteurs position des deux points. On peut le faire dans n'importe quel ordre. Cependant, nous allons soustraire le vecteur zéro, zéro, trois du vecteur trois, trois, zéro. Le vecteur trois, trois, moins trois est donc un vecteur directeur de la droite 𝐺𝐵.
Supposons que les trois composantes sont respectivement 𝑙, 𝑚 et 𝑛. En substituant les valeurs de 𝑥 zéro et 𝑙 dans la forme générale, on obtient 𝑥 égale zéro plus trois 𝑡. Cela se simplifie à trois 𝑡. 𝑦 est également égal à trois 𝑡. En substituant nos valeurs de 𝑧 zéro et 𝑛, on obtient 𝑧 égale trois moins trois 𝑡. Cet ensemble d'équations correspond à l'option (C). Comme déjà mentionné, on aurait pu utiliser le point 𝐵 ou tout autre point situé sur 𝐺𝐵. On aurait également pu utiliser un vecteur directeur différent, par exemple, moins trois, moins trois, trois. Cependant, à partir des options de cette question, l'ensemble des équations paramétriques de la droite 𝐺𝐵 sont 𝑥 égale trois 𝑡, 𝑦 égale trois 𝑡 et 𝑧 égale trois moins trois 𝑡.
