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Si 𝐴 est une matrice de taille 𝑛 fois 𝑛, alors lequel des choix suivants est équivalent au déterminant de 𝑘 fois 𝐴 ? Est-ce l’option (A) 𝑛 fois 𝑘 multipliée par le déterminant de 𝐴 ? Option (B) 𝑘 à la puissance 𝑛 multipliée par le déterminant de 𝐴. Option (C) le déterminant de 𝐴. Option (D) 𝑘 à la puissance deux 𝑛 fois le déterminant de 𝐴. Ou est-ce l’option (E) un sur 𝑘 multipliée par le déterminant de 𝐴 ?
Dans cette question, on nous donne une matrice carrée 𝐴. Et on nous demande de déterminer laquelle des cinq expressions données est équivalente au déterminant de 𝑘 multiplié par 𝐴, où il convient de noter que 𝑘 est un scalaire. Nous pouvons répondre directement à cette question en rappelant simplement l’une des propriétés des déterminants. On peut rappeler pour toute matrice carrée 𝐴 de taille 𝑛 fois 𝑛 et scalaire 𝑘, le déterminant de 𝑘 fois 𝐴 est égal à 𝑘 à la puissance 𝑛 multipliée par le déterminant de 𝐴. Et nous pouvons voir que cela est donné dans l’option (B).
Maintenant, nous pourrions nous arrêter là. Cependant, il n’est pas très intéressant de répondre à une question simplement en rappelant une propriété. Alors, expliquons pourquoi cette propriété est vraie. Une façon de prouver cette propriété est d’utiliser la définition du déterminant. Nous avons juste besoin de montrer que si nous multiplions une matrice par 𝑘, nous pouvons retirer un facteur de 𝑘 à la puissance 𝑛 pour obtenir une expression du déterminant de 𝐴. Cependant, cette preuve est assez difficile à fournir. Donc, à la place, nous allons passer en revue une preuve plus facile où nous utilisons une propriété différente.
Nous allons utiliser le fait que si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices carrées de même taille, alors le déterminant de 𝐴 fois 𝐵 est égal au déterminant de 𝐴 multiplié par le déterminant de 𝐵. Pour utiliser cette propriété afin d’évaluer le déterminant de 𝑘 fois 𝐴, nous allons réécrire la multiplication par le scalaire sous forme de multiplication matricielle. Et une façon de le faire est d’utiliser la définition de la multiplication matricielle et de la matrice unité.
Multiplier une matrice par 𝑘 fois la matrice unité est équivalent à multiplier toutes ses éléments par 𝑘, en supposant que les ordres correspondent. Nous pouvons donc réécrire ce déterminant comme le déterminant de 𝑘 multiplié par la matrice unité d’ordre 𝑛 fois 𝐴. Maintenant, nous pouvons appliquer notre propriété pour l’écrire comme le produit de deux déterminants. Nous obtenons que cela est égal au déterminant de 𝑘 multiplié par la matrice unité d’ordre 𝑛 fois le déterminant de 𝐴.
Et à ce stade, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. On remarque que 𝑘 multiplié par la matrice unité est une matrice carrée de taille 𝑛 fois 𝑛, où tous les éléments de la diagonale principale sont 𝑘 et tous les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale sont nuls. En particulier, on peut remarquer qu’il s’agit d’une matrice diagonale car tous les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale sont nuls. Et maintenant, nous pouvons évaluer ce déterminant en rappelant que le déterminant de toute matrice diagonale carrée est le produit de tous les éléments sur sa diagonale principale. Dans ce cas, nous avons 𝑛 éléments sur la diagonale principale et tous sont égaux à 𝑘. Donc, nous obtenons 𝑛 facteurs de 𝑘.
Par conséquent, le déterminant de 𝑘 fois 𝐴 est 𝑘 à la puissance 𝑛 multipliée par le déterminant de 𝐴, ce qui, encore une fois, est la réponse donnée dans l’option (B).
