Transcription de la vidéo
Déterminer la valeur de la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 au carré plus la norme de 𝚨 scalaire 𝚩 au carré le tout divisé par deux fois la norme de 𝚨 au carré fois la norme de 𝚩 au carré.
Ici, 𝚨 et 𝚩 sont des vecteurs. A part ça, on n’a pas d’autres informations. En fait, ils sont quelconques. On ne sait rien de leurs composantes.
Cependant, pour pouvoir évaluer cette expression, nous remarquons qu’il faut calculer le produit vectoriel et le produit scalaire des deux vecteurs. En principe, le produit vectoriel des vecteurs 𝚨 et 𝚩 est donné par le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le sinus de l’angle entre les deux vecteurs, noté ici 𝜃. Le tout multiplié par un vecteur unitaire perpendiculaire aux vecteurs 𝚨 et 𝚩.
Si on prend ensuite la norme du produit vectoriel, nous ne calculons plus un vecteur. Ainsi, aucune direction n'est associée à notre résultat. Et quel que soit notre angle 𝜃, le sinus de cet angle sera positif. De sorte que la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 est positive.
Dans cette question, nous ne considérons pas la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 mais la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 au carré. Ce qui donne cette expression. Et si on met au carré la valeur absolue du sin 𝜃, on constate que ces deux opérations, prendre la valeur absolue ou mettre au carré le sinus, donnent un résultat positif.
Pour que cette valeur soit positive ou nulle, il nous suffit d'appliquer l'une de ces deux opérations. On choisit de supprimer les barres de la valeur absolue mais de continuer à élever cette valeur au carré. On obtient ainsi un résultat positif qui reflète le fait de mettre au carré le sin 𝜃. Donc, à la place de la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 au carré, nous pouvons écrire ceci.
Pour la norme de 𝚨 scalaire 𝚩 au carré, rappelons que, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. La norme de 𝚨 scalaire 𝚩 est égale à la norme de 𝚨 fois la norme de 𝚩 fois la cos 𝜃. Et donc, quand on élève cette quantité au carré, on obtient le carré de la norme de 𝚨 fois le carré de la norme de 𝚩 fois le carré de la valeur absolue de cos 𝜃. Là encore, il est inutile de prendre la valeur absolue et de mettre au carré notre terme trigonométrique. On supprime donc ces barres de valeur absolue.
En revenant à l’expression donnée, on voit qu’il faut additionner la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 au carré et la norme de 𝚨 scalaire 𝚩 au carré. En se basant sur ce que nous avons trouvé jusqu'à présent, on obtient cette expression dans le membre de droite ici. Et remarquez que la norme de 𝚨 au carré fois la norme de 𝚩 au carré est commune à ces deux termes. Si nous factorisons le tout, alors on obtient quelque chose de très intéressant. Nous avons le sinus au carré d’un angle plus le cosinus au carré du même angle. Le sinus au carré d’un angle plus le cosinus au carré du même angle est toujours égal à un. Ainsi, le membre de droite de notre expression s’écrit comme la norme de 𝚨 au carré fois la norme de 𝚩 au carré.
Et rappelons qu’on additionne ces deux termes, qui forment le numérateur de notre fraction. En écrivant notre fraction, on obtient ceci. On simplifie par la norme du vecteur 𝚨 au carré et par la norme du vecteur 𝚩 au carré. Toute cette expression se simplifie alors à un sur deux.
Ainsi, pour deux vecteurs quelconques 𝚨 et 𝚩, la norme de 𝚨 vectoriel 𝚩 au carré plus la norme de 𝚨 scalaire 𝚩 au carré sur deux fois la norme de 𝚨 au carré fois la norme de 𝚩 au carré est égale à un demi.
