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Fiche explicative de la leçon : Produit vectoriel en 2D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan.

Il y a deux façons de multiplier des vecteurs ensemble. Vous connaissez peut-être déjà le produit scalaire. Ce produit conduit à une quantité scalaire donnée par le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Quant au produit vectoriel, c’est une multiplication de vecteurs qui conduit à un vecteur.

Définition : Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 est un vecteur orthogonal au plan qui contient 𝐴 et 𝐵 et dont la norme est donnée par 𝐴×𝐵=𝐴𝐵|𝜃|,sin𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵.

D’après la définition du produit vectoriel, nous trouvons que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est égal à zéro puisque le sinus de l’angle entre eux (0 ou 180) est égal à zéro. Il est à noter qu’un plan ne peut être défini par deux vecteurs colinéaires, donc il est vrai que 𝐴×𝐵=0 si 𝐴 et 𝐵 sont colinéaires.

D’après la définition ci-dessus, il en résulte que le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques non colinéaires dans le repère cartésien, où 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires, est colinéaire à 𝑘, 𝑘 est un vecteur unitaire orthogonal au plan contenant 𝑖 et 𝑗, comme indiqué sur la figure.

Considérons les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵 dans le plan.

Le vecteur 𝐴 forme un angle 𝜃 avec 𝑖 et le vecteur 𝐵 forme un angle 𝜃. L’angle 𝜃 entre 𝐴 et 𝐵 est donc 𝜃𝜃, donc on a sinsin𝜃=(𝜃𝜃). En utilisant l’identité trigonométrique de soustraction sinsincoscossin(𝜃𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃, on trouve que sinsincoscossin𝜃=𝜃𝜃𝜃𝜃.

On va former une matrice avec les composantes en fonction de 𝜃 et 𝜃 de 𝐴 dans la première rangée et de 𝐵 dans la deuxième rangée 𝐴𝜃𝐴𝜃𝐵𝜃𝐵𝜃cossincossin et calculer son déterminant. Rappelons que le déterminant d’une matrice de taille 2×2 est donné par |||𝑎𝑏𝑐𝑑|||=𝑎𝑑𝑏𝑐.

Par conséquent, on constate que |||||𝐴𝜃𝐴𝜃𝐵𝜃𝐵𝜃|||||=𝐴𝐵𝜃𝜃𝐴𝐵𝜃𝜃=𝐴𝐵(𝜃𝜃𝜃𝜃)=𝐴𝐵𝜃,cossincossincossinsincoscossinsincossin comme sincoscossinsin𝜃𝜃𝜃𝜃=𝜃.

Si on combine cela avec le fait que 𝐴×𝐵 est un vecteur colinéaire à 𝑘, on peut alors écrire la définition suivante du produit vectoriel de deux vecteurs dans le repère cartésien où 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires.

Définition : Produit vectoriel de deux vecteurs dans le repère cartésien

Pour deux vecteurs 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗 et 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗 dans le repère cartésien avec 𝑖 et 𝑗 comme vecteurs unitaires, le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 est 𝐴×𝐵=|||𝐴𝐴𝐵𝐵|||𝑘=𝐴𝐵𝐵𝐴𝑘=𝐴𝐵𝜃𝑘,sin𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵 et où les vecteurs 𝑖, 𝑗 et 𝑘 sont les vecteurs unitaires le long des axes des 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, comme indiqué sur la figure.

Illustrons cette définition du produit vectoriel avec un premier exemple.

Exemple 1: Déterminer une composante manquante sachant le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan

Si 𝐴=3𝑖5𝑗, 𝐵=𝑚𝑖+5𝑗 et 𝐴×𝐵=50𝑘, déterminez la valeur de 𝑚.

Réponse

Comme 𝐴=3𝑖5𝑗, nous avons 𝐴=3 et 𝐴=5, et comme 𝐵=𝑚𝑖+5𝑗, nous avons 𝐵=𝑚 et 𝐵=5.

Nous savons en outre que 𝐴×𝐵=|||𝐴𝐴𝐵𝐵|||𝑘=50𝑘.

Donc ||35𝑚5||=503×5(5)𝑚=5015+5𝑚=505𝑚=5015𝑚=7.

Nous allons nous entraîner davantage à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs en répondant à une autre question impliquant l’addition de vecteurs.

Exemple 2: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan

Sachant que 𝐴=7𝑖+2𝑗, 𝐵=𝑖+2𝑗 et 𝐶=6𝑖+6𝑗, déterminez 𝐶+𝐴×𝐵.

Réponse

Commençons d’abord par le calcul de 𝐶+𝐴:𝐶+𝐴=7𝑖+2𝑗+6𝑖+6𝑗=13𝑖+8𝑗.

On en déduit que les composantes en 𝑥 et 𝑦 de 𝐶+𝐴 sont (𝐶+𝐴)=13 et (𝐶+𝐴)=8. De même, comme 𝐵=𝑖+2𝑗, on sait que 𝐵=1 et 𝐵=2.

On peut maintenant calculer 𝐶+𝐴×𝐵 comme 𝐶+𝐴×𝐵=|||(𝐶+𝐴)(𝐶+𝐴)𝐵𝐵|||𝑘=||13812||𝑘=(13×2(1)×8)𝑘=34𝑘.

Pour l’exemple précédent, on peut se demander si le produit vectoriel est distributif, c’est-à-dire, est-ce qu’on a 𝐶+𝐴×𝐵=𝐶×𝐵+𝐴×𝐵?

La réponse peut être trouvée facilement en regardant de plus près le déterminant qu’on a utilisé pour calculer 𝐶+𝐴×𝐵:|||(𝐶+𝐴)(𝐶+𝐴)𝐵𝐵|||=(𝐶+𝐴)𝐵𝐵(𝐶+𝐴).

La règle pour l’addition de vecteurs est la suivante:(𝐶+𝐴)=𝐶+𝐴 et (𝐶+𝐴)=𝐶+𝐴;par conséquent, |||(𝐶+𝐴)(𝐶+𝐴)𝐵𝐵|||=𝐶𝐵+𝐴𝐵𝐵𝐶𝐵𝐴=𝐶𝐵𝐵𝐶+𝐴𝐵𝐵𝐴=|||𝐶𝐶𝐵𝐵|||+|||𝐴𝐴𝐵𝐵|||.

Il en résulte que 𝐶+𝐴×𝐵=𝐶×𝐵+𝐴×𝐵;le produit vectoriel est donc distributif.

Propriété : Distributivité du produit vectoriel

Le produit croisé est distributif:𝐶+𝐴×𝐵=𝐶×𝐵+𝐴×𝐵.

Nous allons maintenant utiliser nos connaissances sur le calcul des produits vectoriels pour trouver un vecteur inconnu étant donnés les résultats de son produit vectoriel avec deux vecteurs connus.

Exemple 3: Déterminer un vecteur sachant son produit vectoriel avec deux vecteurs connus

Si 𝐴=𝑖2𝑗, 𝐵=4𝑖4𝑗, 𝐴×𝐶=3𝑘 et 𝐶×𝐵=4𝑘, déterminez 𝐶.

Réponse

Commençons par trouver les composantes de 𝐴 et 𝐵 à partir de leurs expressions en fonction de 𝑖 et 𝑗:𝐴=1, 𝐴=2, 𝐵=4 et 𝐵=4.

Nous pouvons maintenant écrire leurs produits vectoriels avec 𝐶 comme suit 𝐴×𝐶=|||𝐴𝐴𝐶𝐶|||𝑘=3𝑘,𝐶×𝐵=|||𝐶𝐶𝐵𝐵|||𝑘=4𝑘.et

Par conséquent, nous avons

|||12𝐶𝐶|||𝑘=3𝑘,1×𝐶𝐶×(2)=3,𝐶+2𝐶=3,(1)

et

|||𝐶𝐶44|||𝑘=4𝑘,4𝐶(4)𝐶=4,4𝐶+4𝐶=4.(2)

Maintenant nous avons deux équations linéaires à deux inconnues ( 𝐶 et 𝐶 ).

À partir de l’équation (1), on constate que 𝐶=2𝐶+3. Remplacer cette expression de 𝐶 dans l’équation (2) nous donne 4𝐶+4(2𝐶+3)=44𝐶+8𝐶+12=44𝐶=412𝐶=2.

En remplaçant 𝐶=2 dans 𝐶=2𝐶+3, on trouve que 𝐶=1.

Par conséquent, on obtient 𝐶=2𝑖𝑗.

Déterminons maintenant le produit vectoriel de deux vecteurs dont les composantes ne sont pas données explicitement mais sont définies avec des points spécifiques dans un rectangle.

Exemple 4: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans un rectangle

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle où 𝐾 est un vecteur unitaire orthogonal à son plan. Déterminez 𝐶𝑀×𝐶𝐵.

Réponse

Pour trouver 𝐶𝑀×𝐶𝐵, nous avons deux possibilités. Soit on détermine les composantes des deux vecteurs, par exemple dans le repère cartésien d’origine 𝐶, 𝑖=𝐶𝐵𝐶𝐵 et 𝑗=𝐶𝐷𝐶𝐷, soit on applique 𝐶𝑀×𝐶𝐵=𝐶𝑀𝐶𝐵𝜃𝐶sin, 𝜃 est l’angle entre 𝐶𝑀 et 𝐶𝐵 et où 𝐾 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle. Pour utiliser cette deuxième méthode, il faut d’abord déterminer la norme des deux vecteurs et la valeur de sin𝜃.

Première méthode

Dans le repère cartésien 𝐶;𝑖=𝐶𝐵𝐶𝐵;𝑗=𝐶𝐷𝐶𝐷, nous avons 𝐶(0;0), 𝐵(44;0) et 𝑀(22;16,5). On en déduit alors que 𝐶𝑀=(22;16,5) et 𝐶𝐵=(44;0).

Le produit vectoriel de 𝐶𝑀 et 𝐶𝐵 est 𝐶𝑀×𝐶𝐵=|||2216,5440|||𝐾, comme 𝐾 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle. 𝐶𝑀×𝐶𝐵=(22×044×16,5)𝐾=726𝐾.

Deuxième méthode

La norme de 𝐶𝐵 est simplement la longueur 𝐶𝐵, donc elle vaut 44 cm.

Le point 𝑀 est le milieu des diagonales du rectangle, alors 𝐶𝑀=12𝐶𝐴 et 𝐶𝐴=𝐴𝐵+𝐵𝐶 (en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶). Par conséquent, 𝐶𝑀=1233+44.

Le sinus de l’angle entre 𝐶𝑀 et 𝐶𝐵 est donné par 𝐴𝐵𝐴𝐶=3333+44. Le signe négatif vient du fait que l’angle de 𝐶𝑀 à 𝐶𝐵 va dans le sens horaire (angle négatif), et sinsin(𝜃)=𝜃, ou, pour les personnes travaillant uniquement avec des angles positifs (sens inverse des aiguilles d’une montre), on travaille avec l’angle 360𝐵𝐶𝐴, et sinsin(360𝜃)=𝜃.

On peut maintenant écrire 𝐶𝑀×𝐶𝐵=𝐶𝑀𝐶𝐵𝜃𝐾=1233+44×44×3333+44𝐾=12×44×33𝐾=726𝐾sin

Dans la deuxième méthode utilisée pour résoudre le dernier exemple, nous voyons l’importance de l’ordre des vecteurs dans le produit vectoriel, car le changement de leur ordre signifie que le signe de l’angle change, ou qu’il change de 𝜃 à 360𝜃 quand on utilise uniquement des angles positifs. Il en résulte que le sinus change de signe. Cela signifie que 𝐴×𝐵=𝐵×𝐴.

On dit que le produit vectoriel est anticommutatif.

Propriété : Anticommutativité du produit vectoriel

Le produit vectoriel est anticommutatif:𝐴×𝐵=𝐵×𝐴.

Regardons maintenant la signification géométrique de la norme du produit vectoriel. Pour deux vecteurs 𝐴 et 𝐵, la norme de leur produit vectoriel est 𝐴×𝐵=𝐴𝐵|𝜃|sin.

Sachant que l’on s’intéresse à la valeur absolue de sin𝜃, nous n’avons pas besoin de se demander si l’angle va de 𝐴 à 𝐵 ou de 𝐵 à 𝐴.

Si on imagine la figure placée dans le cercle trigonométrique, on constate immédiatement la valeur de 𝐵|𝜃|sin.

On voit que 𝐵|𝜃|=𝑂𝑌sin.

Dans un contexte géométrique, 𝑂𝑌 est la hauteur du parallélogramme engendré par 𝐴 et 𝐵. Par conséquent, 𝐴𝐵|𝜃|sin est l’aire du parallélogramme 𝑂𝐴𝐶𝐵.

L’aire du triangle 𝑂𝐴𝐵 est la moitié de celle de 𝑂𝐴𝐶𝐵. Il en résulte que l’aire d’un triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deux des trois vecteurs formant ses côtés, c’est-à-dire, airede𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵×𝐴𝐶=12𝐵𝐴×𝐵𝐶=12𝐶𝐵×𝐶𝐴.

Comme on s’intéresse ici à la norme du produit vectoriel, alors l’ordre des vecteurs et leur sens ( 𝐴𝐵 ou 𝐵𝐴 ) n’ont pas de grande importance. On a cependant choisi d’écrire les vecteurs en commençant par l’un des sommets du triangle pour nous aider à visualiser le parallélogramme engendré par ces deux vecteurs et le triangle comme étant la moitié du parallélogramme.

Utilisons la signification du produit vectoriel dans un contexte géométrique en abordant le dernier exemple.

Exemple 5: Déterminer l’aire d’un triangle étant donnés ses trois sommets

Déterminez l’aire d’un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐴(8;9), 𝐵(7;8) et 𝐶(9;2).

Réponse

La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire du parallélogramme engendré par eux. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs définis par ses sommets:airede𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐵×𝐴𝐶=12𝐵𝐴×𝐵𝐶=12𝐶𝐵×𝐶𝐴.

Par conséquent, il suffit de choisir ici un sommet, par exemple 𝐶, et de déterminer les composantes des deux vecteurs à partir de ce point, 𝐶𝐵 et 𝐶𝐴:𝐶𝐵=(79,8(2))=(16,6),𝐶𝐴=(89,9(2))=(17,7).

Par conséquent, airedecarrésunités𝐴𝐵𝐶=12𝐶𝐵×𝐶𝐴=12||||166177||||=12|16×(7)(17)×(6)|=12|112102|=5.

Comme aucune unité de longueur spécifique du repère cartésien n’a été donnée, nous écrivons « carrés unités » pour montrer que nous avons calculé l’aire.

Points clés

  • Pour deux vecteurs 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗 et 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗 dans le repère cartésien 𝑂;𝑖;𝑗, le produit vectoriel de 𝐴 et 𝐵 est 𝐴×𝐵=|||𝐴𝐴𝐵𝐵|||𝑘=𝐴𝐵𝐵𝐴𝑘=𝐴𝐵𝜃𝑘,sin𝜃 est l’angle entre 𝐴 et 𝐵, et où les vecteurs 𝑖, 𝑗, et 𝑘 sont des vecteurs unitaires orthogonaux.
  • Le produit vectoriel est distributif:𝐴+𝐵×𝐶=𝐴×𝐶+𝐵×𝐶.
  • Le produit vectoriel est anticommutatif:𝐴×𝐵=𝐵×𝐴.
  • Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul, donc 𝐴×𝐴=0.
  • L’aire du parallélogramme engendré par 𝐴 et 𝐵 est donnée par 𝐴×𝐵. Il en résulte que l’aire du triangle, où 𝐴 et 𝐵 définissent deux de ses côtés, est donnée par 12𝐴×𝐵.

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