Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan.
Il y a deux façons de multiplier des vecteurs ensemble. Vous connaissez peut-être déjà le produit scalaire. Ce produit conduit à une quantité scalaire donnée par le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Quant au produit vectoriel, c’est une multiplication de vecteurs qui conduit à un vecteur.
Définition : Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur orthogonal au plan qui contient et et dont la norme est donnée par où est l’angle entre et .
D’après la définition du produit vectoriel, nous trouvons que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est égal à zéro puisque le sinus de l’angle entre eux (0 ou ) est égal à zéro. Il est à noter qu’un plan ne peut être défini par deux vecteurs colinéaires, donc il est vrai que si et sont colinéaires.
D’après la définition ci-dessus, il en résulte que le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques non colinéaires dans le repère cartésien, où et sont des vecteurs unitaires, est colinéaire à , où est un vecteur unitaire orthogonal au plan contenant et , comme indiqué sur la figure.
Considérons les deux vecteurs et dans le plan.
Le vecteur forme un angle avec et le vecteur forme un angle . L’angle entre et est donc , donc on a . En utilisant l’identité trigonométrique de soustraction , on trouve que
On va former une matrice avec les composantes en fonction de et de dans la première rangée et de dans la deuxième rangée et calculer son déterminant. Rappelons que le déterminant d’une matrice de taille est donné par
Par conséquent, on constate que comme .
Si on combine cela avec le fait que est un vecteur colinéaire à , on peut alors écrire la définition suivante du produit vectoriel de deux vecteurs dans le repère cartésien où et sont des vecteurs unitaires.
Définition : Produit vectoriel de deux vecteurs dans le repère cartésien
Pour deux vecteurs et dans le repère cartésien avec et comme vecteurs unitaires, le produit vectoriel de et est où est l’angle entre et et où les vecteurs , et sont les vecteurs unitaires le long des axes des , et , respectivement, comme indiqué sur la figure.
Illustrons cette définition du produit vectoriel avec un premier exemple.
Exemple 1: Déterminer une composante manquante sachant le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan
Si , et , déterminez la valeur de .
Réponse
Comme , nous avons et , et comme , nous avons et .
Nous savons en outre que
Donc
Nous allons nous entraîner davantage à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs en répondant à une autre question impliquant l’addition de vecteurs.
Exemple 2: Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan
Sachant que , et , déterminez .
Réponse
Commençons d’abord par le calcul de :
On en déduit que les composantes en et de sont et . De même, comme , on sait que et .
On peut maintenant calculer comme
Pour l’exemple précédent, on peut se demander si le produit vectoriel est distributif, c’est-à-dire, est-ce qu’on a ?
La réponse peut être trouvée facilement en regardant de plus près le déterminant qu’on a utilisé pour calculer :
La règle pour l’addition de vecteurs est la suivante : et ; par conséquent,
Il en résulte que ; le produit vectoriel est donc distributif.
Propriété : Distributivité du produit vectoriel
Le produit croisé est distributif :
Nous allons maintenant utiliser nos connaissances sur le calcul des produits vectoriels pour trouver un vecteur inconnu étant donnés les résultats de son produit vectoriel avec deux vecteurs connus.
Exemple 3: Déterminer un vecteur sachant son produit vectoriel avec deux vecteurs connus
Si , , et , déterminez .
Réponse
Commençons par trouver les composantes de et à partir de leurs expressions en fonction de et : , , et .
Nous pouvons maintenant écrire leurs produits vectoriels avec comme suit
Par conséquent, nous avons
et
Maintenant nous avons deux équations linéaires à deux inconnues ( et ).
À partir de l’équation (1), on constate que . Remplacer cette expression de dans l’équation (2) nous donne
En remplaçant dans , on trouve que
Par conséquent, on obtient
Déterminons maintenant le produit vectoriel de deux vecteurs dont les composantes ne sont pas données explicitement mais sont définies avec des points spécifiques dans un rectangle.
Exemple 4: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs dans un rectangle
Soit un rectangle où est un vecteur unitaire orthogonal à son plan. Déterminez .
Réponse
Pour trouver , nous avons deux possibilités. Soit on détermine les composantes des deux vecteurs, par exemple dans le repère cartésien d’origine , et , soit on applique , où est l’angle entre et et où est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle. Pour utiliser cette deuxième méthode, il faut d’abord déterminer la norme des deux vecteurs et la valeur de .
Première méthode
Dans le repère cartésien , nous avons , et . On en déduit alors que et .
Le produit vectoriel de et est comme est un vecteur unitaire orthogonal au plan du rectangle.
Deuxième méthode
La norme de est simplement la longueur , donc elle vaut 44 cm.
Le point est le milieu des diagonales du rectangle, alors et (en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ). Par conséquent, .
Le sinus de l’angle entre et est donné par . Le signe négatif vient du fait que l’angle de à va dans le sens horaire (angle négatif), et , ou, pour les personnes travaillant uniquement avec des angles positifs (sens inverse des aiguilles d’une montre), on travaille avec l’angle , et .
On peut maintenant écrire
Dans la deuxième méthode utilisée pour résoudre le dernier exemple, nous voyons l’importance de l’ordre des vecteurs dans le produit vectoriel, car le changement de leur ordre signifie que le signe de l’angle change, ou qu’il change de à quand on utilise uniquement des angles positifs. Il en résulte que le sinus change de signe. Cela signifie que
On dit que le produit vectoriel est anticommutatif.
Propriété : Anticommutativité du produit vectoriel
Le produit vectoriel est anticommutatif :
Regardons maintenant la signification géométrique de la norme du produit vectoriel. Pour deux vecteurs et , la norme de leur produit vectoriel est .
Sachant que l’on s’intéresse à la valeur absolue de , nous n’avons pas besoin de se demander si l’angle va de à ou de à .
Si on imagine la figure placée dans le cercle trigonométrique, on constate immédiatement la valeur de .
On voit que .
Dans un contexte géométrique, est la hauteur du parallélogramme engendré par et . Par conséquent, est l’aire du parallélogramme .
L’aire du triangle est la moitié de celle de . Il en résulte que l’aire d’un triangle est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de deux des trois vecteurs formant ses côtés, c’est-à-dire,
Comme on s’intéresse ici à la norme du produit vectoriel, alors l’ordre des vecteurs et leur sens ( ou ) n’ont pas de grande importance. On a cependant choisi d’écrire les vecteurs en commençant par l’un des sommets du triangle pour nous aider à visualiser le parallélogramme engendré par ces deux vecteurs et le triangle comme étant la moitié du parallélogramme.
Utilisons la signification du produit vectoriel dans un contexte géométrique en abordant le dernier exemple.
Exemple 5: Déterminer l’aire d’un triangle étant donnés ses trois sommets
Déterminez l’aire d’un triangle , où , et .
Réponse
La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire du parallélogramme engendré par eux. L’aire du triangle est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs définis par ses sommets :
Par conséquent, il suffit de choisir ici un sommet, par exemple , et de déterminer les composantes des deux vecteurs à partir de ce point, et :
Par conséquent,
Comme aucune unité de longueur spécifique du repère cartésien n’a été donnée, nous écrivons « carrés unités » pour montrer que nous avons calculé l’aire.
Points clés
- Pour deux vecteurs et dans le repère cartésien , le produit vectoriel de et est où est l’angle entre et , et où les vecteurs , , et sont des vecteurs unitaires orthogonaux.
- Le produit vectoriel est distributif : .
- Le produit vectoriel est anticommutatif : .
- Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul, donc .
- L’aire du parallélogramme engendré par et est donnée par . Il en résulte que l’aire du triangle, où et définissent deux de ses côtés, est donnée par .