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Vidéo de la leçon : Produit vectoriel en deux dimensions Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs dans un repère orthonormé.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le produit vectoriel de deux vecteurs dans un repère orthonormé. Commençons par définir ce que nous entendons par produit vectoriel. Nous savons que tout vecteur a une norme ou longueur, une direction et un sens. Une façon de multiplier deux vecteurs est d’utiliser le produit vectoriel. Le produit vectoriel noté 𝐚 chapeau 𝐛 de deux vecteurs est un autre vecteur qui est orthogonal à ces deux vecteurs. Comme vous pouvez le voir sur ce schéma.

Nous allons maintenant étudier la signification géométrique du produit vectoriel. La norme ou longueur du produit vectoriel est égale à l’aire d’un parallélogramme dont les côtés seraient les vecteurs 𝐚 et 𝐛. Cela est illustré sur ce schéma. Et l’aire du parallélogramme, et donc du produit vectoriel, varie en fonction de la mesure de l’angle 𝜃. Le produit vectoriel est égal à zéro lorsque les vecteurs sont colinéaires. La valeur maximale du produit vectoriel est atteinte lorsque les vecteurs sont orthogonaux. C’est-à-dire quand 𝐚 et 𝐛 forment un angle droit.

Voyons maintenant comment nous pouvons utiliser ces informations pour calculer un produit vectoriel. Nous pouvons calculer le produit vectoriel comme suit. 𝐚 vectoriel 𝐛 est égal à la norme de 𝐚 multipliée par la norme de 𝐛 multipliée par le sinus de l’angle 𝜃 multiplié par le vecteur unitaire 𝐧. Les normes des vecteurs 𝐚 et 𝐛 sont les longueurs de ces vecteurs. 𝜃 est l’angle positif inférieur ou égal à 180 degrés entre le vecteur 𝐚 et le vecteur 𝐛. 𝐧 est le vecteur unitaire orthogonal à 𝐚 et à 𝐛. La direction de 𝐚 vectoriel 𝐛 est perpendiculaire au plan des vecteurs 𝐚 et 𝐛 et son sens est défini par la règle de la main droite.

Imaginez que nous vissions une vis dans le sens de 𝐚 vectoriel 𝐛. Ce faisant, nos doigts se courbent dans le sens de rotation de 𝐚 vers 𝐛, comme le montre la flèche sur le schéma. Notre pouce pointe dans la direction de 𝐚 vectoriel 𝐛. Nous pouvons donc conclure que le produit vectoriel des vecteurs 𝐚 et 𝐛 est égal à la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 fois sinus de 𝜃, qui est l’angle entre les vecteurs. Nous multiplions ensuite cela par le vecteur unitaire 𝐧 afin qu’il pointe dans le bon sens.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples. La première question demande de calculer le produit vectoriel dans un problème impliquant un carré.

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de 27 centimètres de côté et que 𝐞 est le vecteur unitaire orthogonal à son plan, calculez le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐂𝐀.

La question nous demande de calculer un produit vectoriel. Et nous savons que le produit vectoriel des vecteurs 𝐚 et 𝐛 est égal à la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 fois sinus de 𝜃 fois le vecteur unitaire 𝐧. Où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs. Et le vecteur unitaire 𝐧 est orthogonal à 𝐚 et à 𝐛.

Nous savons que le carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 a des côtés de longueur 27 centimètres. Comme la norme d’un vecteur est égale à sa longueur, la norme du vecteur 𝐀𝐁 est égale à 27. Nous devons également calculer la norme du vecteur 𝐂𝐀. Comme le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle, on peut la calculer en utilisant le théorème de Pythagore, qui stipule que 𝑎 carré plus 𝑏 carré égale 𝑐 carré, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long, l’hypoténuse.

Dans cette question, cela donne norme de 𝐀𝐁 au carré plus norme de 𝐁𝐂 au carré égale norme de 𝐂𝐀 au carré. On sait que la norme ou la longueur de 𝐀𝐁 et de 𝐁𝐂 est 27. 27 au carré plus 27 au carré égale 1 458. On peut alors prendre la racine carrée des deux membres de cette équation et on obtient que la norme de 𝐂𝐀 est égale à 27 racine carrée de deux.

La prochaine étape consiste à redessiner notre schéma afin que les origines, ou points de départ, des deux vecteurs partent du même point. Nous devons calculer l’angle 𝜃 entre le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐂𝐀. Comme la diagonale d’un carré coupe l’angle droit en deux et que un demi de 90 degrés égale 45 degrés, 𝜃 est égal à 180 moins 45 degrés. L’angle entre le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐂𝐀 mesure donc 135 degrés.

Nous pouvons maintenant calculer le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐂𝐀. 𝐀𝐁 vectoriel 𝐂𝐀 égale norme de 𝐀𝐁 fois norme de 𝐂𝐀 fois sin 𝜃 fois 𝐞, qui est le vecteur unitaire orthogonal au plan. En substituant les valeurs calculées, on a 27 fois 27 racine carrée de deux fois sin de 135 degrés fois 𝐞. sin de 135 degrés égale racine carrée de deux sur deux. On doit le multiplier par 27, 27 racine carrée de deux et par le vecteur unitaire 𝐞. Racine carrée de deux fois racine carrée de deux sur deux égale un. Il nous reste donc 27 fois 27 𝐞. Cela est égal à 729 𝐞. Le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐂𝐀 est égal à 729 𝐞.

Dans la prochaine question, nous devons calculer le produit vectoriel de vecteurs dans un rectangle.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, où petit 𝐜 est un vecteur unitaire orthogonal à son plan. Calculez le produit vectoriel des vecteurs 𝐂𝐌 et 𝐂𝐁.

Nous rappelons que le produit vectoriel de deux vecteurs 𝐚 et 𝐛 est égal à la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 fois sinus de 𝜃 fois le vecteur unitaire 𝐧. Où 𝜃 est l’angle entre les deux vecteurs et le vecteur unitaire 𝐧 est orthogonal à 𝐚 et 𝐛. Comme il s’agit ici d’une figure géométrique en deux dimensions, n sera orthogonal au plan.

Dans cette question, nous devons calculer le produit vectoriel des vecteurs 𝐂𝐌 et 𝐂𝐁. Comme la norme de tout vecteur est sa longueur, la norme de 𝐂𝐁 est égale à 44, car les côtés 𝐃𝐀 et 𝐂𝐁 du rectangle mesurent 44 centimètres. Nous pouvons voir sur le schéma que la norme du vecteur 𝐂𝐌 est égale à la moitié de la norme du vecteur 𝐂𝐀.

Comme le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de 𝐂𝐀. Il stipule que 𝑎 carré plus 𝑏 carré égale 𝑐 carré, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long, l’hypoténuse. Donc norme de 𝐂𝐁 au carré plus norme de 𝐁𝐀 au carré égale norme de 𝐂𝐀 au carré. En substituant avec les valeurs du schéma, on obtient 44 au carré plus 33 au carré. Cela est égal à 3 025. Prendre la racine carrée des deux membres de cette équation nous donne que la norme du vecteur 𝐂𝐀 est égale à 55. La longueur de la diagonale du rectangle du point 𝐶 au point 𝐴 est de 55 centimètres. Un demi de 55 égale 27,5. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐂𝐌 est égale à 27,5.

Nous devons maintenant calculer la mesure de l’angle entre les deux vecteurs, que nous appellerons 𝛼. On peut la calculer en utilisant les rapports trigonométriques. On sait que sin 𝛼 égale côté opposé sur hypoténuse. La longueur de 𝐁𝐀 est 33 centimètres et la longueur de 𝐂𝐀 est 55 centimètres. Par conséquent, sin 𝛼 égale 33 sur 55. En divisant le numérateur et le dénominateur par 11, cela se simplifie par trois sur cinq.

Lorsque nous calculons un produit vectoriel, nous mesurons l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Si nous souhaitions calculer 𝐂𝐁 vectoriel 𝐂𝐌, alors l’angle 𝜃 serait comme indiqué sur le schéma avec sin 𝜃 égale trois sur cinq. Ce n’est cependant pas la valeur demandée. Nous souhaitons calculer 𝐂𝐌 vectoriel 𝐂𝐁. Cela signifie que l’angle sera moins 𝜃. La fonction sinus est impaire et sin de moins 𝜃 égale moins sin 𝜃. Donc la valeur de sin 𝜃 dans cet exemple sera moins trois sur cinq.

Cela nous amène à une propriété intéressante du produit vectoriel. La multiplication de vecteurs n’est pas commutative. 𝐚 vectoriel 𝐛 n’est pas égal à 𝐛 vectoriel 𝐚. Cependant, comme la fonction sinus est impaire, 𝐚 vectoriel 𝐛 est égal à moins 𝐛 vectoriel 𝐚. Cela signifie que pour cette question, 𝐂𝐌 vectoriel 𝐂𝐁 égale moins 𝐂𝐁 vectoriel 𝐂𝐌.

En utilisant la formule du produit vectoriel, 𝐂𝐌 vectoriel 𝐂𝐁 est égal à 44 fois 27,5 fois moins trois sur cinq fois le vecteur unitaire petit 𝐜. Cela est égal à moins 726 𝐜.

Dans la dernière question de cette vidéo, nous allons calculer l’aire d’un triangle en utilisant des vecteurs.

Calculez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, où 𝐴 a les coordonnées moins huit, moins neuf, 𝐵 a les coordonnées moins sept, moins huit et 𝐶 a les coordonnées neuf, moins deux.

Nous pourrions commencer par essayer de tracer ces points sur un repère orthonormé. Cependant, comme les points 𝐴 et 𝐵 sont très proches, il serait difficile de les tracer avec précision. Nous allons donc simplement faire un schéma approximatif du triangle comme cela.

On rappelle que l’aire de tout triangle est égale à la moitié de l’aire du parallélogramme dont les longueurs des côtés sont égales à deux des longueurs du triangle. On rappelle de plus que l’aire de tout parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des vecteurs 𝐚 et 𝐛 représentant ses côtés.

Dans cette question, l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est égale à la norme du produit vectoriel des vecteurs 𝐁𝐀 et 𝐁𝐂. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc égale à la moitié de cela. Nous savons que la norme du produit vectoriel est égale à la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 fois la valeur absolue de sinus 𝜃, où 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐚 et 𝐛.

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc égale à un demi fois la norme du vecteur 𝐁𝐀 fois la norme du vecteur 𝐁𝐂 fois valeur de absolue de sin 𝜃. La norme de tout vecteur est égale à sa longueur. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐁𝐀 est égale à racine carrée de moins huit moins moins sept au carré plus moins neuf moins moins huit au carré. Cela est égal à racine carrée de deux.

Nous pouvons répéter ce processus pour calculer la norme du vecteur 𝐁𝐂. Elle est égale à racine carrée de neuf moins moins sept au carré plus moins deux moins moins huit au carré. Qui est égal à racine carrée de 292, soit deux racine carrée de 73.

Afin de calculer l’angle 𝜃 dans notre triangle, nous devons d’abord calculer la longueur de 𝐴𝐶 puis utiliser la formule du cosinus. La longueur de 𝐴𝐶 est égale à la norme du vecteur 𝐀𝐂. Et cela est égal à racine carrée de neuf moins moins huit au carré plus moins deux moins moins neuf au carré. Cela est égal à racine carrée de 338, soit 13 racine carrée de deux.

La formule du cosinus stipule que le cosinus de l’angle 𝐵 est égal à 𝑎 carré plus 𝑐 carré moins 𝑏 carré le tout sur deux 𝑎𝑐. Dans cette question, les côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement égaux à deux racine carrée de 73, 13 racine carrée de deux et racine carrée de deux. L’angle 𝐵 est l’angle 𝜃 que nous essayons de calculer. En substituant les valeurs obtenues, on a cos 𝜃 égale deux racine carrée de 73 au carré plus racine carrée de deux au carré moins 13 racine carrée de deux au carré le tout sur deux fois deux racine carrée de 73 fois racine carrée de deux.

En tapant le membre droit de l’équation dans une calculatrice, on obtient environ moins 0,9103. On peut alors prendre le cosinus réciproque des deux membres de cette équation et on trouve que 𝜃 est environ égal à 155,556 degrés.

Nous pouvons maintenant remplacer ces valeurs dans notre équation pour calculer l’aire du triangle. Il est important à ce stade de ne pas arrondir l’angle de 155,556 etc degrés. Taper cette formule dans une calculatrice nous donne une réponse de cinq. Par conséquent, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à cinq unités carrées.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que le produit vectoriel de deux vecteurs est un autre vecteur. La norme de ce produit vectoriel est cependant un scalaire. 𝐚 vectoriel 𝐛 est égale à la norme du vecteur 𝐚 fois la norme du vecteur 𝐛 fois sinus de l’angle 𝜃 fois le vecteur unitaire 𝐧, où 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐚 et 𝐛. La norme du produit vectoriel est égale à la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐛 fois la valeur absolue de sin 𝜃. Cela est aussi égal à l’aire d’un parallélogramme dont les côtés peuvent être représentés par les vecteurs 𝐚 et 𝐛.

Nous savons qu’un parallélogramme peut être divisé en deux triangles de même taille. Par conséquent, l’aire d’un triangle est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel de 𝐚 et 𝐛. Nous avons enfin vu que le produit vectoriel n’est pas commutatif. Cependant, 𝐚 vectoriel 𝐛 est égal à moins 𝐛 vectoriel 𝐚.

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