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Déterminez l’entier 𝑛, sachant que 𝑎𝑛 égale quatre 𝑛 plus cinq et 𝑎𝑛 égale à 237.
En fait, il s'agit ici de l'expression d'une suite arithmétique. Nous le savons parce qu'une suite arithmétique a une raison. Ici, cette suite a une raison de quatre car c’est le coefficient de 𝑛 dans l’expression de la suite. La démonstration peut se faire rapidement. Ceci est le premier terme, donc 𝑎 un, notre premier terme, où nous substituons 𝑛 égale à un, vaut quatre fois un plus cinq, ce qui nous donne neuf. Le premier terme est donc neuf. Le deuxième terme est donc égal à quatre fois deux, vu que nous avons substitué 𝑛 égale à deux, car c'est le deuxième terme, plus cinq, soit 13. Ainsi, la différence entre le second terme et le premier terme donne 13 moins 9, soit 4, ce qui correspond à la raison, à savoir le coefficient de 𝑛.
D'accord, parfait. On comprend maintenant mieux ce qu’on a. On veut déterminer ce que vaut 𝑛. Donc, on a 𝑎𝑛 égale à quatre 𝑛 plus cinq. Pour commencer, on substitue la valeur de 𝑎𝑛, ce qui donne 237 égale à quatre 𝑛 plus cinq. Il suffit maintenant de résoudre l'équation pour déterminer 𝑛. On soustrait cinq des deux côtés, ce qui donne 232 égale à quatre 𝑛. Je réécris ça avec les 𝑛 sur du côté gauche.
Et enfin, nous allons diviser les deux côtés par quatre, ce qui nous donne 𝑛 est égal à 58, ce qui signifie que nous savons que c’est le 58ème terme qui est égal à 237.
