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Fiche explicative de la leçon : Calculs avec les suites arithmétiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la raison d'une suite arithmétique, déterminer les termes suivants dans la suite, et vérifier si la suite est croissante ou décroissante.

Voyons un exemple. Considérez cette suite et comptez le nombre de segments pour chaque schéma.

Nous comptons qu’il y a 4 segments pour le premier schéma, 7 pour le deuxième, 10 pour le troisième et 13 pour le quatrième. Utilisons les nombres de ces segments pour former une suite:4,7,10,13,.

Nous ajoutons un symbole ici (les trois points à la fin) pour indiquer que la suite ne se termine jamais.

Analysons cette suite et, en particulier, découvrons comment chaque terme de la suite est obtenu à partir du précédent. On voit que le deuxième terme, 7, est le premier terme, 4, auquel on a ajouté 3;puis, il faut encore ajouter 3 à 7 (le deuxième terme) pour obtenir 10 (le troisième terme) et de même pour aller de 10 (le troisième terme) à 13 (le quatrième terme):

Cette caractéristique de notre suite peut être décrite en disant que la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Ceci définit une suite arithmétique. Cette différence entre deux termes consécutifs, qui est la même quels que soient les deux termes consécutifs que nous choisissons, s’appelle la raison.

Définissons formellement ces termes.

Définition : Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. La différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est appelée la raison.

Commençons par un exemple où nous déterminerons, parmi des suites données, laquelle est arithmétique.

Exemple 1: Identifier des suites arithmétiques

Parmi les suites suivantes, laquelle est une suite arithmétique?

  1. (6;12;24;48;)
  2. (9;72;144;216;)
  3. 𝑛;𝑛;𝑛;𝑛;
  4. 13;110;117;124;
  5. (2;10;18;26;)

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer, parmi les suites données, laquelle est arithmétique. Rappelons qu’une suite arithmétique est une suite pour laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Afin de déterminer si une suite donnée est arithmétique, nous devons donc nous assurer que la différence entre chaque terme consécutif est la même. Pour cela, il suffit de calculer des différences:on soustrait les termes précédents aux termes suivants.

Etudions cette condition pour chaque suite. Nous pouvons arrêter de calculer les différences aussitôt que nous remarquons que la différence que nous avons calculée n’est pas la même que la précédente.

Pour A, la différence entre le deuxième et le premier terme est égale à 126=18; alors que, la différence entre le troisième et le deuxième terme est égale à 24(12)=36.

Nous pourrions calculer la différence suivante, 4824, mais cela n’est pas nécessaire car on peut déjà remarquer que les deux différences que nous avons calculées, 18 et 36, ne sont pas égales. Par conséquent, cette suite n’est pas arithmétique.

Ensuite, pour B, considérons les différences entre les premiers termes de la suite:72(9)=81,14472=72.

Comme 8172, cette suite n’est pas arithmétique.

La suite donnée en C est fonction d’une constante inconnue 𝑛. Nous pouvons voir que cette suite est générée en multipliant le terme précédent par 𝑛 plutôt qu’en l’ajoutant. Dans ce cas, les termes consécutifs ont un multiple commun et non une différence commune. Par conséquent, cette suite n’est pas arithmétique.

Pour D, il est plus difficile de calculer les différences car chaque terme est une fraction. Nous pouvons voir que chaque terme est généré en ajoutant 7 au dénominateur de la fraction. Cependant, ajouter une constante au dénominateur est différent d’ajouter une constante à la fraction. Ainsi, la différence entre termes consécutifs ne sera pas égale. Par conséquent, cette suite n’est pas arithmétique.

Enfin, regardons la suite en E. Les différences entre chacun des termes consécutifs sont 10(2)=8,18(10)=8,26(18)=8.

On peut voir que la différence entre chaque terme consécutif est égale à 8. Par conséquent, cette suite est arithmétique.

La seule suite arithmétique est donc la E.

Dans l’exemple précédent, nous avons identifié une suite arithmétique, parmi un ensemble de suites, en regardant les différences entre termes consécutifs. Rappelons que cette différence, qui doit être constante pour une suite arithmétique, est appelée la raison. Si nous connaissons la raison d’une suite arithmétique, nous pouvons trouver le terme suivant de cette suite en ajoutant, tout simplement, la raison au terme précédent. Par exemple, reprenons la suite arithmétique décrite plus haut:4,7,10,13,.

On voit que la raison de cette suite arithmétique est égale à 3. On peut trouver le terme qui vient juste après 13 dans cette suite en calculant 13+3=16.

Nous pouvons continuer cette méthode pour calculer autant de termes que nécessaire.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer les trois termes suivants d’une suite arithmétique donnée.

Exemple 2: Déterminer les termes suivants d’une suite arithmétique

Calculez les 3 termes prolongeant la suite arithmétique 12, 19, 26, 33, .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminez les 3 termes prolongeant une suite arithmétique donnée. Rappelons qu’une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. La différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est appelée la raison. Pour calculer le terme suivant dans une suite arithmétique, on peut ajouter la raison au terme précédent. Commençons par calculer la raison.

Pour déterminer la raison, nous pouvons calculer la différence entre deux termes consécutifs. Par exemple, la différence entre les deux premiers termes est:1912=7.

Ceci nous indique que la raison de cette suite arithmétique est égale à 7. Nous pouvons vérifier cela en s’assurant que les termes suivant peuvent bien être obtenus en ajoutant 7 aux termes qui les précèdent:19+7=26,26+7=33.

Nous pouvons voir qu’ajouter 7 au deuxième terme donne le troisième et qu’ajouter 7 au troisième donne le quatrième. Cela confirme que 7 est la raison.

On peut calculer les quatrième, cinquième et sixième termes de cette suite en ajoutant 7 de manière successive. Nous utiliserons la notation 𝑎 pour représenter le 𝑛ième terme de cette suite. On obtient ainsi:𝑎=33+7=40,𝑎=40+7=47,𝑎=47+7=54.

Cela nous indique que les 3 prochains termes de la suite arithmétique sont 40,47,54.

La raison de la suite arithmétique de l’exemple précédent est positive et on peut voir que chaque terme de la suite est plus grand que le terme précédent. Cela nous indique que cette suite est croissante.

Définition : Raison d’une suite arithmétique

Pour 𝑛=1;2,, on note 𝑎 le 𝑛ième terme d’une suite arithmétique. Pour tout 𝑛, la raison de la suite arithmétique est donnée par 𝑟=𝑎𝑎.

De manière équivalente, si on nous donne la raison, nous pouvons écrire le terme suivant de la suite arithmétique en calculant 𝑎=𝑎+𝑟.

Nous pouvons utiliser la définition ci-dessus pour comprendre pourquoi une suite arithmétique augmente si la raison est positive. Si la raison, 𝑟, d’une suite arithmétique est positive, on peut écrire 𝑎+𝑟>𝑎.

Étant donné que le membre de gauche de cette inégalité est égal au terme suivant 𝑎 de la suite arithmétique, cela implique que 𝑎>𝑎, ce qui signifie que la suite arithmétique est croissante.

De même, si la raison est négative, on peut utiliser un argument similaire pour écrire 𝑎+𝑟<𝑎.

Cela entraine 𝑎<𝑎.

Par conséquent, la suite arithmétique est décroissante si sa raison est négative.

Définition : Suite arithmétique croissante et décroissante

Une suite arithmétique est croissante si 𝑎>𝑎 pour tout 𝑛=1;2,. Cela se produit lorsque la raison est positive.

Une suite arithmétique est décroissante si 𝑎<𝑎 pour tout 𝑛=1;2,. Cela se produit lorsque la raison est négative.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons si la suite arithmétique donnée est décroissante.

Exemple 3: Etudier la monotonie d’une suite arithmétique

Est-ce que la suite (2;3;8;13;) est croissante ou décroissante?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer si la suite donnée est croissante ou décroissante. Nous présenterons deux méthodes différentes pour répondre à cette question.

Méthode 1

Rappelons qu’une suite arithmétique est croissante ou décroissante si sa raison est respectivement positive ou négative. On peut trouver la raison en soustrayant un terme de la suite arithmétique au terme suivant. Par exemple, prendre la différence des deux premiers termes nous donne 32=5.

Par conséquent, la raison de cette suite arithmétique est 5. Comme la raison est négative, cette suite est donc décroissante.

Méthode 2

Nous pouvons également déterminer si une suite est croissante ou décroissante en comparant les termes consécutifs. Nous pouvons voir que chaque terme de la suite est plus petit que le terme précédent:2>3>8>13.

Par conséquent, la suite est décroissante.

Nous pouvons également trouver les termes manquants dans une suite arithmétique décroissante en ajoutant la raison, qui est négative, au terme précédent. Calculons les 3 termes prolongeant une suite arithmétique donnée.

Exemple 4: Déterminer les termes suivants d’une suite arithmétique

Écrivez les trois termes prolongeant la suite arithmétique 161;152;143;134,.

Réponse

Dans cette question, nous étudions une suite arithmétique. La caractéristique d’une suite arithmétique est que la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer les trois termes qui prolongent la suite.

Mais d’abord, nous devons bien sûr déterminer cette différence, appelée la raison. Pour cela, il suffit de déterminer la différence entre un des termes et le précédent, par exemple, 143152. Nous trouvons que la raison est 9. Rappelez-vous que cela signifie qu’un terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant 9 (ou en soustrayant 9).

Maintenant que nous avons trouvé la raison, nous pouvons trouver le cinquième terme en soustrayant 9 à 134:1349=125.

Le sixième terme est alors 1259=116.

Et le septième terme est 1169=107.

Par conséquent, les trois termes suivants sont 125, 116 et 107.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer une inconnue en utilisant la propriété des suites arithmétiques.

Exemple 5: Utiliser une suite arithmétique donnée pour écrire et résoudre une équation linéaire

Déterminez 𝑥 sachant que 10𝑥,4𝑥2 et 𝑥+8 sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons chercher la valeur de l’inconnue qui transforme les expressions en trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Rappelons qu’une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même.

Calculons les différences des termes consécutifs. Il y a deux différences à calculer:(4𝑥2)(10𝑥)=4𝑥2+10𝑥=6𝑥2,(𝑥+8)(4𝑥2)=𝑥+8+4𝑥+2=3𝑥+10.

Comme ces différences doivent être égales, nous avons 6𝑥2=3𝑥+10.

En réarrangeant cette équation, 6𝑥3𝑥=10+23𝑥=12𝑥=4.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. La différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est appelée la raison.
  • Si le 𝑛ième terme d’une suite arithmétique est noté 𝑎 alors, la raison  𝑟 de cette suite arithmétique est donnée par 𝑟=𝑎𝑎.
  • On peut trouver le terme suivant d’une suite arithmétique en ajoutant la raison au terme précédent.
  • Si la raison d’une suite arithmétique est positive alors, la suite est croissante. De même, si la raison d’une suite arithmétique est négative alors, la suite est décroissante.

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