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Vidéo de la leçon : Suites arithmétiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons étudier les suites arithmétiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier les suites arithmétiques. Nous allons commencer par donner leur définition puis étudierons quelques exemples typiques. Nous analyserons les différences entre les termes consécutifs, en recherchant la valeur du terme initial pour trouver une formule du terme de rang 𝑛. La formule du terme général nous permettra ensuite de calculer n’importe quel terme de la suite.

Observons donc les nombres cinq, huit, 11, 14, 17. Nous savons qu’il s’agit d’une suite car c’est une liste ordonnée de nombres. Un terme d’une suite est un nombre dans une suite. Et nous numérotons les termes consécutivement. Le premier terme de cette suite est cinq. Le deuxième terme est huit. Le troisième terme est 11. Et ainsi de suite. Cette numérotation continue indéfiniment car la suite peut continuer indéfiniment. Le rang du terme nous indique la position de cette valeur dans la suite. On peut par exemple dire que 11 est le troisième terme de la suite.

En passant d’un terme à l’autre, on ajoute trois au terme précédent pour obtenir le prochain terme consécutif. On ajoute trois à chaque fois. Cette propriété, ajouter trois à chaque fois, signifie que cette suite est une suite arithmétique. Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Nous pouvons donc nommer notre suite comme telle. La différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique s’appelle la raison. Dans cet exemple, la raison est égale à plus trois.

Nous devons remarquer ici que le premier terme d’une suite arithmétique est important. Si nous connaissons le premier terme et la raison - dans ce cas, plus trois - nous pouvons calculer n’importe quel terme de la suite. Le premier terme et la raison sont donc deux d’information clés pour définir une suite arithmétique. Pour résumer, si vous repérez que la différence entre deux termes d’une suite est constante, vous pouvez dire qu’il s’agit d’une suite arithmétique.

Maintenant que nous savons ce qu’est une suite arithmétique, nous pouvons résoudre des questions comme celle-ci.

Calculez les trois termes suivants de la suite: 31, 57, 83, 109, etc.

Nous connaissons les premier, deuxième, troisième et quatrième termes d’une suite, ce qui signifie que nous devons calculer les cinquième, sixième et septième termes. Nous nous demandons donc: comment passer de 31 à 57 ? On ajoute 26. Et 57 plus 26 égale 83. 83 plus 26 égale 109. Plus 26 est donc la raison de cette suite. Et cela signifie que pour passer du quatrième au cinquième terme, on doit ajouter 26 à 109. 109 plus 26 égale 135. 135 plus 26 égale 161. Et pour trouver le septième terme, on ajoute 26 au sixième terme. 161 plus 26 égale 187. Nous pouvons donc conclure que les trois termes suivants de cette suite sont 135, 161 et 187.

Essayons-en une autre.

Calculez les trois termes suivants de la suite: 3,6; 4,3; 5,0; 5,7.

Nous connaissons les quatre premiers termes. Les trois termes suivants sont les cinquième, sixième et septième termes. Pour passer de 3,6 à 4,3, on ajoute 0,7, une augmentation de sept dixièmes. De 4,3 à cinq, on ajoute 0,7, et de cinq à 5,7, on ajoute également 0,7; ce qui signifie que la raison est plus 0,7 et que nous pouvons confirmer qu’il s’agit d’une suite arithmétique. Nous savons alors que pour trouver le cinquième terme, nous devons ajouter la raison au quatrième terme. 5,7 plus 0,7 égale 6,4; 6,4 plus 0,7 égale 7,1, et 7,1 plus 0,7 égale 7,8. Les trois termes suivants de cette suite sont donc 6,4; 7,1 et 7,8.

Nous voyons donc que les suites arithmétiques peuvent prendre tous types de valeurs, entiers et nombres décimaux ou encore fractions. Tant que la différence entre deux termes consécutifs est constante, il s’agit d’une suite arithmétique. Étudions un autre exemple.

Calculez le terme de rang 10 de la suite arithmétique 23 ; 19 ; 15 ; 11 ; 7.

Nous connaissons les termes de rangs un à cinq. Nous n’avons pas besoin de calculer les termes de rang six à neuf. Il nous suffit de déterminer le terme de rang 10. La première chose que nous remarquons est que la suite est décroissante. Chaque terme est inférieur de quatre au terme précédent. Et donc la raison est égale à moins quatre. Nous allons présenter deux méthodes pour calculer le terme de rang 10.

Nous pouvons calculer les termes de rang 6, 7, 8 et 9 puis trouver le terme de rang 10. Nous devons alors soustraire quatre à chacun des termes précédents. Ou nous pouvons commencer par le terme de rang 5, qui est égal à sept, puis nous rendre compte que nous devons ajouter cinq fois moins quatre pour arriver au terme de rang 10. Avec la première méthode, sept moins quatre égale trois, trois moins quatre égale moins un, moins un moins quatre égale moins cinq, moins cinq moins quatre égale moins neuf et moins neuf moins quatre égale moins 13.

En utilisant l’autre méthode, on commence à sept et on ajoute cinq fois moins quatre. Donc, sept plus cinq fois moins quatre égale sept moins 20. Car cinq fois moins quatre égale moins 20. Et sept moins 20 égale moins 13. Les deux méthodes montrent que le terme de rang 10 est égal à moins 13.

Mais comment aurions-nous fait si la question demandait de calculer le terme de rang 250 de la suite? Nous ne voudrions pas calculer les 250 termes. Essayons donc de déterminer une formule générale permettant de calculer tout terme de la suite.

Pour la suite trois, sept, 11, 15, la raison est plus quatre. Nous recherchons son terme général. Soit 𝑛 représentant le rang du terme. C’est la position d’un nombre dans la suite. Nous pouvons utiliser la notation 𝑢 avec l’indice 𝑛 pour représenter le terme de rang . Lorsque 𝑛 égale un, 𝑢 un égale trois. Lorsque 𝑛 égale deux, 𝑢 deux égale sept, et ainsi de suite. En observant attentivement, nous voyons que chaque fois que le rang augmente de un, la valeur du terme de la suite augmente de quatre. La valeur du terme augmente quatre fois plus vite que son rang. Nous en déduisons qu’une partie de la formule comportera plus quatre 𝑛.

Si plus quatre 𝑛 était la formule générale, on aurait 𝑢 𝑛 égale quatre 𝑛. Pour 𝑛 égale un, 𝑢 𝑛 serait égal à quatre. Pour 𝑛 égale deux, serait égal à huit. Pour 𝑛 égale trois, 𝑢 𝑛 serait égal à 12. Et pour 𝑛 égale quatre, 𝑢 𝑛 serait égal à 16. Mais cette formule n’est pas correcte. Lorsque 𝑛 égale un, on devrait obtenir trois au lieu de quatre. Lorsque 𝑛 égale deux, on devrait obtenir avoir sept au lieu de huit. Lorsque 𝑛 égale trois, on devrait obtenir 11 au lieu de 12. Et lorsque 𝑛 égale quatre, on devrait avoir 15 au lieu de 16. Toutes ces valeurs sont décalées de un. Quatre moins un égale trois, huit moins un égale sept, 12 moins un égale 11 et 16 moins un égale 15. On peut donc ajouter moins un à la formule de 𝑢 𝑛 afin que la nouvelle formule générale soit 𝑢 𝑛 égale plus quatre 𝑛 moins un, mais le signe plus n’est pas nécessaire.

La formule pour déterminer le terme de rang n de cette suite est donc 𝑢 𝑛 égale quatre 𝑛 moins un. Et si on utilise cette formule pour calculer le terme de rang 250, quatre fois 250 égale 1 000, 1 000 moins un égale 999. Le terme de rang 250 de cette suite est donc 999. Nous devons également souligner qu’il existe plusieurs notations pour 𝑢 𝑛. Son nom peut varier et être par exemple 𝑛 ou même 𝑛. Ce sont trois notations équivalentes pour représenter le même terme de rang n.

Essayons cette méthode sur un nouveau problème.

Calculez le terme de rang 81 de la suite 107, 99, 91, 83.

Nous connaissons les termes de rang 1 à 4 d’une suite. Soit 𝑛 le rang, ou la position, du terme de la suite et 𝑢 𝑛 sa valeur. Nous reconnaissons que la suite diminue de huit; la raison est donc égale à moins huit. Pour déterminer le terme général de cette suite, nous allons avoir besoin de moins huit 𝑛. Si on substitue alors les valeurs de 𝑛 de un à quatre, on obtient moins huit, moins 16, moins 24 et moins 32. Mais lorsque 𝑛 égale un, la valeur donnée est 107 et non moins huit. Lorsque 𝑛 égale deux, on doit avoir 99 et non 16. Pour le terme de rang 3, on doit avoir 91 au lieu de moins 24. Et pour le terme de rang 4, 83 au lieu de moins 32.

Si on ajoute 115 à moins huit, on obtient 107. Si on ajoute 115 à moins 16, on obtient 99. Donc on doit ajouter 115 aux moins huit 𝑛. Le terme général de cette suite est donc le suivant. 𝑢 𝑛 égale moins huit 𝑛 plus 115. Pour déterminer le terme de rang 81 de la suite, on calcule 𝑢 81, qui est égal à moins huit fois 81 plus 115. Soit moins 533. Le terme de rang 81 de cette suite est égal à moins 533.

Déterminer le terme général avec cette méthode nécessite cependant beaucoup de calculs, nous allons donc essayer d’en trouver une autre. Si nous souhaitons prendre les valeurs de 𝑛 et 𝑢 𝑛 et les tracer dans un repère , nous commençons par un tableau qui ressemble à ceci. Tracer ces points nous donne quelque chose qui ressemble à ça. 𝑛 ne peut prendre que des valeurs entières, un, deux, trois, quatre, cinq, etc. Parce que la suite a des termes de rang un, deux, trois, quatre, etc. Cela n’a aucun sens de parler du terme de rang 3,75, mais considérons ce qui se passerait si nous relions ces points par une droite.

La droite couperait l’axe des ordonnées en 115. Lorsque l’on augmente la valeur de d’une unité, la valeur de 𝑦 diminue en effet de huit. Et cela signifie que si l’on fait l’opération inverse - si on diminue la valeur de d’une unité – on doit augmenter la valeur de 𝑦 de huit. Si on se déplace vers la gauche à partir de 𝑥 égale un, on se retrouve en 𝑥 égale zéro. Et on doit augmenter de huit. Et on voit que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à 115. Si nous la considérions comme une droite, nous dirions qu’elle a un coefficient directeur de moins huit et une ordonnée à l’origine de 115. Nous dirions que 𝑦 égale moins huit 𝑥 plus 115.

Et nous pouvons utiliser cela pour déterminer le terme général d’une suite arithmétique. La raison est moins huit. Elle est équivalente au coefficient directeur de la droite. Et l’ordonnée à l’origine nous indique le nombre que nous devons ajouter. Cela correspond à la forme que nous avons trouvée précédemment, 𝑢 𝑛 égale moins huit 𝑛 plus 115. Essayons d’utiliser cette méthode sur un autre problème.

Déterminez la formule du terme de rang de la suite arithmétique 6,8; 7,9; 9,0; 10,1.

Nous connaissons les termes de rang un à quatre d’une suite arithmétique. Soit 𝑛 le rang d’un terme et 𝑢 𝑛 la valeur correspondante du terme. Pour passer du terme de rang un au terme de rang deux, on ajoute 1,1. Pour passer du terme de rang deux au terme de rang trois, on ajoute 1,1. Et le terme de rang trois plus 1,1 égale le terme de rang quatre. La raison est donc plus 1,1. Nous souhaitons maintenant déterminer la valeur du terme de rang zéro.

Lorsque l’on se déplace consécutivement de gauche à droite, on ajoute 1,1. Si on souhaite aller dans le sens opposé, on soustrait 1,1. Pour trouver le terme de rang zéro, on doit donc soustraire 1,1 au terme de rang un. 6,8 moins 1,1 égale 5,7. Le terme général de cette suite est donc égal à 1,1 𝑛 plus 5,7.

Résumons ce que nous venons de présenter. La formule du terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique ressemble à ceci. 𝑢 𝑛 égale 𝑛 plus 𝑏. La constante est la valeur que l’on multiplie par le rang du terme, la raison, qui peut être positive ou négative. Et la valeur 𝑏 est la constante qui est égale au terme de rang zéro de la suite. Si le terme général comporte des carrés, des racines carrées ou des puissances de 𝑛, la suite n’est pas arithmétique. Toutes ces équations ne sont pas affines et ne peuvent donc pas représenter une suite arithmétique.

Étudions un dernier type de problème sur les suites arithmétiques que vous pourriez rencontrer.

117 appartient-il à la suite arithmétique cinq, 18, 31, 44?

Nous connaissons les termes de rang un à quatre d’une suite arithmétique. Nous définissions donc 𝑛 comme le rang du terme et 𝑢 𝑛 comme la valeur du terme. La première chose que nous devons vérifier est la raison. Pour passer d’un terme à l’autre, on ajoute 13. Donc la raison est plus 13. À ce stade, il est utile de rappeler que 𝑢 𝑛 égale 𝑛 plus 𝑏, où est la raison et 𝑏 est le terme de rang zéro. Et cela signifie que la prochaine chose que nous devons déterminer est le terme zéro.

Dans cette suite, lorsque l’on se déplace vers la droite, on ajoute 13. Cela signifie que pour se déplacer vers la gauche, on doit soustraire 13. Cinq moins 13 égale moins huit. Et moins huit est le terme de rang zéro. Nous avons maintenant assez d’informations pour écrire le terme général de cette suite. Il est égal à 13𝑛 moins huit, avec une raison de 13 et un terme de rang zéro de moins 8.

Afin de savoir si 117 appartient à cette suite, on pose 117 égale 𝑢 𝑛. Si 117 appartient à cette suite, on devrait obtenir une valeur entière pour 𝑛. On résout donc cette équation pour 𝑛 et on vérifie si c’est un entier. Pour cela, on ajoute d’abord huit aux deux membres. Cela nous donne 125 égale 13𝑛. Puis on divise les deux membres de l’équation par 13. 125 divisé par 13 égale 9,6153 etc. ou, sous forme de fraction, neuf plus huit sur 13. Comme 9,6153 n’est pas un entier, 117 n’appartient pas à cette suite. Pour des suites arithmétiques et ce terme général, la valeur de 𝑛 doit être un entier.

Pour résumer ce que nous avons appris, une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. La raison est la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique. Et nous pouvons utiliser le terme général 𝑢 𝑛 égale 𝑛 plus 𝑏, où est la raison, positive ou négative, et 𝑏 est le terme de rang zéro.

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