Video Transcript
Utilisez des dérivées determiner le graphique qui correspond à la courbe representative de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un sur 10𝑥 au carré plus 10𝑥.
Afin d’identifier le graphique d’une fonction, nous commençons généralement par trouver deux choses : l’ordonnée à l’origine et les racines de la fonction. Cependant, cette fonction rationnelle 𝑓 de 𝑥 ne sera jamais égale à zéro et n’aura pas d’image pour 𝑥 égale à zero : nous pouvons donc conclure qu’elle n’aura ni racine ni ordonnée à l’origine. Cela correspond aux cinq options qui nous sont données, car aucun des graphiques ne croise l’axe des 𝑥 ou des 𝑦.
Au lieu de cela, cette question nous demande d’utiliser des dérivées pour déterminer le graphique de la fonction. Nous savons que la dérivée de 𝑓 de 𝑥, écrite 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro en tout point critique. Nous allons donc trouver une expression de 𝑓 prime de 𝑥 et la mettre égale à zéro.
Rappelons que l’expression un sur 𝑥 peut être réécrite comme 𝑥 à la puissance moins un ; réécrivons donc la fonction 𝑓 de 𝑥 comme 10𝑥 au carré plus 10𝑥 le tout élevé à la puissance moins un. Nous sommes maintenant en mesure de dériver la fonction. Nous pouvons le faire en utilisant la règle générale des puissances, qui est une extension de la règle de derivation en chaîne. Dans ce cas, nous multiplions l’expression entière par l’exposant, puis réduisons cet exposant de un. Cela nous donne moins un multiplié par 10𝑥 au carré plus 10𝑥 à la puissance moins deux. Nous multiplions ensuite cette expression par la dérivée de la fonction interne.
Dériver 10𝑥 au carré plus 10𝑥 nous donne 20𝑥 plus 10. Nous pouvons donc conclure que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins un multiplié par 10𝑥 au carré plus 10𝑥 à la puissance moins deux multiplié par 20𝑥 plus 10. Cela peut être réécrit comme moins 20𝑥 plus 10 sur 10𝑥 au carré plus 10𝑥 le tout au carré. Nous pouvons maintenant mettre cette expression à zéro.
Pour qu’une fraction soit égale à zéro, nous savons que le numérateur doit être égal à zéro. Cela signifie que moins 20𝑥 plus 10 égale zéro. En divisant par moins un, nous avons 20𝑥 plus 10 égale zéro. Nous pouvons alors soustraire 10 des deux côtés et diviser par 20 de sorte que 𝑥 soit égal à moins un demi. La courbe de notre fonction doit avoir un point de changement de variation ou un point stationnaire lorsque 𝑥 est égal à moins un demi.
Nous pouvons le voir pour le graphique (A) et le graphique (E). Le graphique (D) n’a pas de point stationnaire, nous pouvons donc éliminer cette option. Le point de changement de variation dans les graphiques (B) et (C) semble se situer autour de moins trois quarts et non moins un demi. Nous pouvons donc également éliminer ces options. Dans l’option (A), le point de changement de variation est un maximum local et la coordonnée 𝑦 de ce point est inférieure à zéro, alors que dans l’option (E), nous avons un minimum local et la coordonnée 𝑦 est supérieure à zéro.
Afin de trouver la coordonnée 𝑦 au point de changement de variation, nous pouvons substituer 𝑥 égal moins un demi dans la fonction d’origine. Cela nous donne 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 10 multiplié par moins un demi carré plus 10 multiplié par moins un demi. Cela se simplifie en un sur cinq sur deux moins cinq, ce qui est égal à un sur moins cinq sur deux, soit moins deux cinquièmes. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑥 a un point de changement de variation en le point de coordonnées moins un demi, moins deux cinquièmes.
Puisque la coordonnée 𝑦 est négative, nous pouvons exclure l’option (E). Nous pouvons donc conclure que la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 10𝑥 au carré plus 10𝑥 correspond à la courbe (A).
Une alternative à la recherche de la coordonnée 𝑦 aurait été de trouver la dérivée seconde, car la valeur de 𝑓 seconde de 𝑥 nous indique si nous avons un minimum local ou un maximum local. Si la dérivée seconde est supérieure à zéro, le point de changement de variation est un minimum, alors que si elle est inférieure à zéro, il s’agit d’un maximum. Bien qu’il s’agisse d’une méthode courante, en raison de la complexité de la fonction, cela aurait été plus difficile. Par conséquent, il était plus logique de trouver les coordonnées des points de changement de variation en premier. Cela nous a permis d’éliminer les options (B), (C), (D) et (E).
