Transcription de la vidéo
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au cube moins neuf 𝑥 au carré moins qautre est croissante et les intervalles sur lesquels elle est décroissante.
Par définition, une fonction croît sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est inférieur à 𝑓 de 𝑥 deux chaque fois que 𝑥 un est inférieur à 𝑥 deux pour 𝑥 un et 𝑥 deux dans l’intervalle 𝐼. De même, elle décroît sur 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est supérieur à 𝑓 de 𝑥 deux chaque fois que 𝑥 un est inférieur à 𝑥 deux pour 𝑥 un et 𝑥 deux sur 𝐼. Il s’agit de la définition formelle. Seulement, la meilleure façon de considérer la croissance et la décroissance des fonctions est d’utiliser leur graphique.
Le graphique d’une fonction croissante ressemble à ceci : 𝑦 croît lorsque 𝑥 croît. Ils ne doivent pas forcément croître au même rythme. Le graphique d’une fonction qui décroît sur un intervalle ressemble à ceci. Passons maintenant à la situation que nous avons. Nous devons déterminer les intervalles sur lesquels notre fonction croît et sur lesquels elle décroît. Nous pourrions essayer de représenter graphiquement cette fonction en utilisant une calculatrice graphique ou un logiciel graphique. En fait, nous le ferons à la fin de la vidéo.
Cependant, la façon dont nous allons procéder pour répondre à cette question est d’utiliser un critère simple. Si la dérivée de 𝑓, 𝑓 prime de 𝑥, est supérieure à zéro sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 croît sur 𝐼. Si la dérivée de 𝑓, 𝑓 prime de 𝑥, est inférieure à zéro sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 décroît sur cet intervalle 𝐼. Ce critère est logique étant donné l’interprétation graphique ci-dessus. Une tangente à une fonction croissante a toujours une pente positive, donc 𝑓 prime est positif. Au contraire, les tangentes à une fonction décroissante ont une pente négative, donc 𝑓 prime est négatif sur cet intervalle pour cette fonction décroissante.
Supprimons la définition et l’interprétation graphique pour pouvoir appliquer notre test. Le test implique 𝑓 prime, qui est la dérivée de notre fonction. Trouvons donc 𝑓 prime. Nous dérivons le polynôme terme à terme, en utilisant le fait que la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est 𝑎 fois 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Pour dériver trois 𝑥 à la puissance trois, nous multiplions l’exposant et le coefficient pour obtenir neuf, puis nous réduisons l’exposant de un pour obtenir 𝑥 au carré.
De même, la dérivée de neuf 𝑥 au carré est 18𝑥 et la dérivée de quatre est zéro. Ainsi, 𝑓 prime de 𝑥 vaut neuf 𝑥 au carré moins 18𝑥. 𝑓 croît sur les intervalles pour lesquels cette dérivée est supérieure à zéro et décroît sur les intervalles pour lesquels la dérivée est inférieure à zéro. Nous devons donc trouver le signe de 𝑓 prime. La façon dont nous faisons cela est de factoriser 𝑓 prime, en l’écrivant neuf 𝑥 fois 𝑥 moins deux.
A partir de cette forme factorisée, nous pouvons facilement voir que 𝑓 prime vaut zéro en 𝑥 égal à zéro et en 𝑥 égal à deux. Ces deux nombres sont appelés les nombres critiques de la fonction 𝑓. Pour que 𝑓 prime change de signe de positif en négatif ou de négatif en positif, elle doit passer par zéro. Nous savons donc que 𝑓 prime doit avoir le même signe sur l’intervalle où 𝑥 est strictement inférieur à zéro. Puisque la dérivée est continue, si 𝑓 prime avait changé de signe pour un 𝑥 inférieur à zéro, il y aurait une valeur de 𝑥 inférieur à zéro pour laquelle 𝑓 prime était égale à zéro. Or, nous avons vu que 𝑓 prime vaut seulement zéro en 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à deux.
De même, 𝑓 prime ne peut pas changer de signe entre zéro et deux. De même, 𝑓 prime ne peut pas changer de signe sur l’intervalle où 𝑥 est strictement supérieur à deux. Si 𝑓 prime change de signe quelque part, ce doit être en zéro ou en deux. Nous voulons trouver le signe de 𝑓 prime sur les intervalles construits. Nous le faisons en considérant les signes de ses facteurs. Ainsi, en haut du tableau, nous avons les deux facteurs de 𝑓 prime : neuf 𝑥 et 𝑥 moins deux et 𝑓 prime lui-même.
Commençons à remplir le tableau. Quel est le signe de neuf 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à zero ? Neuf 𝑥 est négatif lorsque 𝑥 est inférieur à zéro. Vous pouvez le voir en multipliant les deux côtés de l’inégalité qui définit cet intervalle, par neuf. Que pouvons-nous dire de neuf 𝑥 lorsque 𝑥 est compris entre zéro et deux? De la même manière, nous voyons que neuf 𝑥 est compris entre zéro et 18 ; nous obtenons donc des réels positif. Enfin, pour le troisième intervalle, nous voyons que neuf 𝑥 est supérieur à 18 et est donc positif.
Nous faisons la même chose pour le facteur 𝑥 moins deux. Dans le premier intervalle, 𝑥 est inférieur à moins deux donc 𝑥 moins deux négatif. Dans le deuxième intervalle, entre moins deux et zéro, 𝑥 est aussi négatif. Enfin, dans le troisième intervalle, 𝑥 moins deux est positif. Nous avons trouvé le signe des facteurs de 𝑓 prime. Maintenant, il nous suffit de trouver le signe de 𝑓 prime lui-même dans chacune de ces régions. Dans la première région, 𝑥 est inférieur à zéro, les deux facteurs sont négatifs. Ainsi, 𝑓 prime vaut un résultat négatif fois un résultat négatif, ce qui est positif.
De même, dans la deuxième région, 𝑓 prime donne un nombre positif fois une quantité négative, ce qui en fait une quantité négative. Enfin, dans la troisième région, 𝑓 prime donne un nombre positif fois un nombre positif, nous obtenons donc une quantité positive. En se référant au critère, si 𝑓 prime est positif sur 𝐼 alors 𝑓 croît sur 𝐼 ; si 𝑓 prime est négatif sur 𝐼, alors 𝑓 décroît sur 𝐼.
Ainsi, 𝑓 croît sur ces deux intervalles et décroît sur celui-ci. La seule chose à faire est d’écrire notre réponse finale : 𝑓 croît sur les intervalles où 𝑥 est inférieur à zéro et où 𝑥 est supérieur à deux et décroît sur l’intervalle où 𝑥 est compris entre zéro et deux. Écrivons-les en utilisant la notation d’intervalle. 𝑥 est inférieur à zéro représente l’intervalle ouvert entre moins l’infini et zéro. 𝑥 est supérieur à deux est l’intervalle ouvert de deux à l’infini. Enfin, zéro est inférieur à 𝑥 qui est inférieur à deux représente l’intervalle ouvert de zéro à deux.
Alors, voici notre réponse : 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à zéro et il croît également sur l’intervalle ouvert de deux à l’infini ; 𝑓 décroît cependant sur l’intervalle ouvert de zéro à deux. Nous avons résolu ce problème en utilisant le critère croissant / décroissant, qui utilise le signe 𝑓 prime pour dire où 𝑓 croît et décroît.
