Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les intervalles de monotonie d’une fonction à partir de sa dérivée première.
Les dérivées sont un outil fondamental du calcul différentiel. Elles fournissent beaucoup d’informations sur une fonction outre les valeurs des pentes en des points donnés et les points critiques de la fonction. La dérivation a des applications en mécanique classique par exemple, où elle permet de calculer le vecteur vitesse ou l’accélération d’un objet dont la trajectoire est donnée par une fonction dérivable.
Avant d’expliquer comment utiliser la dérivation pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction, on commence par rappeler les définitions de fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes.
Définition : Fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes sur un intervalle
Une fonction est strictement croissante sur un intervalle si
On dit que la fonction est strictement décroissante sur si
Ces définitions doivent être satisfaites pour toute paire de points et dans tels que .
Remarque
Nous insistons sur le fait que, puisque nous avons utilisé les symboles « < » et « > » plutôt que « » et « » on considère bien des fonctions strictement croissantes ou décroissantes sur . Cela est une propriété plus forte que la propriété de croissance ou de décroissance.
Soit une courbe d’équation illustrée par le graphique ci-dessous.
Cette fonction a des intervalles sur lesquels elle est strictement croissante et d’autres sur lesquels elle est strictement décroissante. On voit sur la courbe que la fonction est strictement croissante (c’est-à-dire de pente strictement positive) pour et et est strictement décroissante (de pente strictement négative) pour les valeurs de telle que . La fonction est donc strictement croissante sur les intervalles et et est strictement décroissante sur l’intervalle .
On peut donner une autre définition des fonctions strictement croissantes et strictement décroissante à partir de la définition de la dérivée d’une fonction. Le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point donné est égale à la dérivée de la fonction en ce point. Ainsi, il est possible d’utiliser le calcul différentiel pour déterminer si une fonction est strictement croissante ou strictement décroissante sur un intervalle .
Théorème : Caractérisation des fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes par leurs dérivées
Soit une fonction dérivable sur .
Si pour tout , alors est strictement croissante sur l’intervalle .
Si pour tout , alors est strictement décroissante sur l’intervalle .
On prouve ce théorème en fixant et tels que . La fonction est dérivable sur . D’après le théorème des accroissement finis, il existe tel que
Pour prouver la première assertion, on remarque que si pour tout , alors en particulier puisque appartient à .
De même, puisque , on a .
Ainsi le membre de droite est strictement positif comme produit de deux termes strictement positifs.
Ainsi, , et donc .
D’après la définition des fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes, on peut dire que si sur , alors est une fonction strictement croissante sur l’intervalle .
Nous pouvons prouver la deuxième assertion de ce théorème de la même manière.
Maintenant que nous avons prouvé ce théorème, nous pouvons traiter deux exemples où nous allons déterminer les intervalles sur lesquels des fonctions polynomiales sont strictement croissantes et strictement décroissantes.
Exemple 1: Calcul des intervalles où une fonction polynomiale est strictement croissante ou strictement décroissante
Déterminez les intervalles sur lesquels est strictement croissante ou strictement décroissante.
Réponse
On rappelle que dans le cas d’une fonction dérivable , cette fonction est dite strictement croissant sur les intervalles où et est strictement décroissante sur les intervalles où .
Puisque est une fonction polynomiale, elle est dérivable sur l’ensemble des nombres réels tout entier. Ainsi, nous pouvons déterminer sur quels intervalles cette fonction est strictement croissante ou strictement décroissante à partir de sa dérivée. En appliquant la formule de dérivation des puissances, on obtient
La fonction est strictement décroissante pour les valeurs de telles que et est strictement croissante pour les valeurs de telles que .
Pour déterminer ces valeurs de , on commence par déterminer les valeurs de telles que en résolvant l’équation . On obtient ainsi , et . On détermine ensuite le signe de la dérivée première sur les intervalles , ,, et en évaluant en des valeurs de test de chacun des intervalles respectifs. Nous choisissons les valeurs ,, , et .
| 1 | 3 | |||
| 6 | 30 | |||
| Croissance ou décroissance ? | Décroissance | Croissance | Décroissance | Croissance |
La fonction étudiée est strictement décroissante sur tous les intervalles où . D’après le tableau, il s’agit des intervalles et .
De même, est strictement croissante en les valeurs de telle que . Il s’agit des intervalles et .
La fonction est strictement décroissante sur les intervalles et et est strictement croissante sur les intervalles et .
Dans ce premier exemple, nous avons vu comment l’utilisation d’un tableau pour calculer des valeurs de test de pour chacun des intervalles peut nous aider à déterminer le signe de la dérivée. Étant donné que les extrémités de chaque intervalle sont les valeurs de telles que , ce test nous donne le comportement de la courbe représentative de la fonction entre chaque point critique. Dans le deuxième exemple, nous allons dériver une fonction du second degré pour déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.
Exemple 2: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction du second degré
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante et sur lesquels elle est strictement décroissante.
Réponse
On rappelle que si une fonction est dérivable en , alors les assertions suivantes sont vraies.
- Si pour tout , alors est strictement croissante sur l’intervalle .
- Si pour tout , alors est strictement décroissante sur l’intervalle .
La fonction étant polynomiale, elle est dérivable partout, et nous pouvons ainsi déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes en étudiant le signe de sa dérivée première. En outre, puisque est une puissance de fonction dérivable, nous pouvons appliquer la formule de dérivation des puissances pour calculer sa dérivée.
Cette formule stipule que si où est une fonction dérivable et où est une constante réelle, alors . En appliquant cette formule à , on a
La fonction est strictement décroissante sur les intervalles où . Ces intervalles sont donnés par l’inéquation suivante :
De même, la fonction est strictement croissante pour les valeurs de telles que :
La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle et est strictement croissante sur l’intervalle .
On note qu’il y a deux conventions en mathématiques quant à l’inclusion ou non des extrémités des intervalles (en d’autres termes, quant à l’inclusion d’une pente nulle dans la définition des fonctions strictement croissantes et strictement décroissantes). C’est un choix personnel que de décider de les inclure ou non. Dans cette fiche explicative, nous exclurons les extrémités des intervalles.
Dans les deux premiers exemples, nous avons calculé les intervalles de croissance et de décroissance strictes de fonctions polynomiales. Il est important de comprendre que ce processus est également valable pour des fonctions non polynomiales telles que, par exemple les fonctions logarithmiques, les fonctions exponentielles, les fonctions trigonométriques et les fonctions impliquant des valeurs absolues, comme illustré dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction avec des valeurs absolues
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante et strictement décroissante.
Réponse
Pour établir des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction, nous commençons par calculer sa dérivée, . Si sur un intervalle, la fonction est strictement croissante sur cet intervalle. Si sur un intervalle, la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.
Cette fonction est le produit d’une fonction affine et de la valeur absolue d’une fonction affine, ainsi devrons-nous faire attention à la façon dont nous calculons sa dérivée. Pensons à la fonction comme une fonction définie par morceaux de la sorte
On peut utiliser cette définition pour réécrire de la façon suivante :
Puis, en appliquant la formule de dérivation des fonctions puissance, on trouve
Remarque
Cela fonctionne parce que est continue en et que les dérivées gauche et droite existent et sont égales à 0 en .
Puisque est strictement positive pour tout réel , est strictement croissante sur . Puisque , on peut aussi inclure cette valeur dans l’intervalle de croissante strictes si on le désire. On en déduit que est strictement croissante sur tout entier.
En plus des fonctions polynomiales et des fonctions impliquant des valeurs absolues, nous pouvons appliquer ces techniques aux fonctions logarithmiques. Nous illustrons cela dans l’exemple suivant.
Exemple 4: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes de fonctions comportant des logarithmes
Etant donné , déterminez les intervalles sur lesquels est strictement croissante ou strictement décroissante.
Réponse
On rappelle que si est dérivable sur un intervalle ouvert, alors est strictement croissante sur les intervalles où et est strictement décroissante sur les intervalles où . On commence donc par calculer , en remarquant que est définie sur les nombres réels strictement positifs :
Pour déterminer le signe de cette fonction, on commence par trouver les valeurs de solutions de :
Puisque n’est pas dans l’ensemble de définition de , on va déterminer le signe de sur les intervalles et . Pour ce faire, nous évaluons en des valeurs de test pour chacun de ces deux intervalles. Choisissons et .
| 1 | ||
| 6 | ||
| Croissance ou Décroissance | Décroissance | Croissance |
Puisque en , la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle contenant ce point. De même, elle est strictement croissance sur l’intervalle contenant .
La fonction est strictement croissante sur l’intervalle et est strictement décroissante sur l’intervalle .
Appliquons à présent ce procédé à une fonction qui est le produit d’une fonction polynomiale avec une fonction exponentielle.
Exemple 5: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction comportant une exponentielle via la formule de dérivation des produits
Soit . Déterminez les intervalles sur lesquels cette fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.
Réponse
On rappelle que pour toute fonction dérivable , cette fonction est strictement croissante sur les intervalles où et est strictement décroissante sur les intervalles où .
Commençons par vérifier que la fonction est dérivable. Nous savons que le produit de deux fonctions dérivables est également dérivable. La fonction est une fonction polynomiale et est dérivable sur son ensemble de définition. De même, la fonction exponentielle , où est une constante réelle, est également dérivable sur son ensemble de définition. Ainsi, est bien dérivable, de sorte que nous pouvons déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes à partir de sa dérivée.
D’après la formule de la dérivée d’un produit de fonctions, la dérivée du produit de et est donnée par
Soit et de sorte que
La substitution de ces expressions dans la formule du produit des dérivées nous donne
La fonction est donc strictement décroissante pour les valeurs de dans les intervalles où et est strictement croissante sur les intervalles où . Puisque pour tout , les intervalles de croissance et de décroissance strictes sont entièrement déterminés par le signe de .
Déterminons les points critiques de en résolvant . On trouve et . Par conséquent, nous allons choisir des valeurs de test pour chacun des intervalles , et et nous évaluerons en ces valeurs pour établir le signe de la dérivée. Nous choisissons , , et .
| 0,5 0,5 | 2 | ||
| 0,75 | |||
| Croissance ou Décroissance ? | Décroissance | Croissance | Décroissance |
La fonction est strictement croissante sur les intervalles où et est strictement décroissante sur les intervalles où . Par conséquent, est strictement croissante sur l’intervalle et est strictement décroissante sur les intervalles et .
Dans les exemples précédents, nous avons étudié des fonctions qui sont dérivables sur la totalité de leurs ensembles de définition. Ce ne sera pas toujours le cas, et il nous faudra alors être prudents lors de l’étude des fonctions sur leurs ensembles de définitions afin de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance stricte.
Exemple 6: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction comportant une racine carrée
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.
Réponse
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction, on peut étudier sa dérivée, . Si est dérivable sur un intervalle ouvert, alors est strictement croissante sur les intervalles où et est strictement décroissante sur les intervalles où .
Commençons par vérifier que la fonction est bien dérivable. Le produit de deux fonctions dérivables est également dérivable. est une fonction polynomiale et est donc dérivable sur l’ensemble des nombres réels, mais la fonction , quant à elle, est un peu plus compliquée. Elle peut être dérivée en appliquant la formule de dérivation des puissances généralisée ; cependant, nous devrons nous assurer que toutes les valeurs à l’intérieur de la racine carrée sont positives :
Il nous faut remarquer que, techniquement, n’est pas dérivable en car la limite à droite en ce point n’existe pas.
On ne peut étudier la croissance ou la décroissance d’une fonction que sur son ensemble de définition, ce qui nous impose donc de ne considérer que les valeurs de .
Pour calculer , on peut appliquer la formule de dérivation d’un produit qui donne l’expression de la dérivée du produit des fonctions et comme étant
Soit de sorte que .
De même, soit . Nous pouvons appliquer la formule de la dérivation des puissance généralisée pour calculer la dérivée de cette fonction.
Cette formule nous donne la dérivée d’une fonction de la forme , où est une fonction dérivable, comme étant , où est une constante réelle.
Ainsi,
En utilisant la formule de dérivation du produit,
Nous pouvons simplifier cette expression en réduisant les deux fractions au même dénominateur puis en les sommant entre elles :
La fonction est donc strictement décroissante sur les intervalles où et est strictement croissante sur les intervalles où pour des valeurs de .
Le dénominateur de la fraction est strictement positif pour , de sorte que le signe de la dérivée est entièrement déterminé par le signe de . Ainsi, la pente est strictement négative pour tout dans l’ensemble de définition de satisfaisant l’inégalité suivante :
Ainsi la fonction est strictement décroissante pour .
De même, la fonction est strictement croissante sur l’intervalle satisfaisant et :
La fonction est donc strictement croissante sur et est strictement décroissante sur .
Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, il faut faire attention lors de la dérivation des fonctions comportant une racine. Ceci est également vrai pour les fonctions rationnelles, pour lesquelles nous devons nous assurer que le dénominateur de la fonction est non nul. Dans certains cas, il sera impossible pour le dénominateur de s’annuler, auquel cas on pourra procéder sans se soucier de rien, comme cela est le cas dans le prochain exemple.
Exemple 7: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction rationnelle
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.
Réponse
Pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes d’une fonction, on peut considérer sa dérivée, . Si est dérivable sur un intervalle ouvert, alors est strictement croissante sur les intervalles où et est strictement décroissant sur les intervalles où .
La fonction est dérivable sur son ensemble de définition en tant que quotient de deux fonctions dérivables. On observe qu’il n’existe pas de valeur de réelle qui annule le dénominateur , de sorte que l’ensemble de définition de la fonction est égal à .
Pour calculer la dérivée, on applique la formule de la dérivation d’un quotient qui nous donne la dérivée du quotient de par comme suit :
On pose , de sorte que . De même, on pose , de sorte que . Par conséquent,
On peut maintenant remarquer que le dénominateur de la fonction est , qui est strictement positif pour tout nombre réel . Cela signifie que le signe de dépend entièrement du signe du numérateur.
Pour déterminer le signe de , on résout d’abord puis on évalue le numérateur en des valeurs de test des intervalles définis par ces points :
Nous allons maintenant choisir les valeurs de test dans chacun des intervalles , et et déterminer le signe de en l’évaluant en ces valeurs, en se rappelant que la fonction est strictement croissante sur les intervalles des valeurs de telles que et est strictement décroissante sur les intervalles tels que . On choisit les valeurs de test , et .
| 0 | 4 | ||
| 63 | |||
| Croissance ou Décroissance ? | Décroissance | Croissance | Décroissance |
Ainsi, la fonction est strictement décroissante sur les intervalles et et elle est strictement croissante sur l’intervalle .
Dans notre dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce processus pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance strictes des fonctions trigonométriques.
Exemple 8: Calcul des intervalles de croissance et de décroissance strictes de fonction comportant des fonctions trigonométriques
Pour , détermine les intervalles sur lesquels est strictement croissante ou décroissante.
Réponse
Nous pouvons déterminer les intervalles sur lesquels une fonction dérivable est strictement croissante ou décroissante en étudiant le signe de sa dérivée première.
Puisque est la somme de deux fonctions cosinus et que la fonction cosinus est dérivable sur tout entier, on peut en déduire que est dérivable sur tout .
On rappelle que pour toute constante réelle , . On peut donc utiliser cette formule en conjonction avec la formule de dérivation des puissances afin de dériver chacun des termes de cette fonction :
La fonction est donc strictement décroissante sur des intervalles où et est strictement croissante sur des intervalles où .
Cela signifie que nous devons déterminer le signe de en divers points. Pour ce faire, nous allons trouver les valeurs de qui annulent en résolvant l’équation .
Ce produit est nul lorsque ou .
Ainsi,
Dans l’intervalle , la seule solution est donc lorsque : .
On résout comme suit :
Cette équation n’a pas de solution réelle, de sorte que la seule valeur de annulant est . On va donc choisir des valeurs de test dans les intervalles et et on déterminera le signe de la dérivée en l’évaluant en ces valeurs de test. Choisissons et .
| 15 | ||
| Croissance ou Décroissance ? | Décroissance | Croissance |
La dérivée étant strictement négative sur l’intervalle et strictement positive sur l’intervalle , la fonction est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur .
Récapitulons à présent quelques concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Une fonction est strictement croissante sur un intervalle si et est strictement décroissante sur si
- Nous pouvons déterminer les intervalles sur lesquels une fonction dérivable est strictement croissante ou décroissante en étudiant sa dérivée.
Pour toute fonction dérivable sur , on a les assertions suivantes :- Si pour tout , alors est strictement croissante sur l’intervalle .
- Si pour tout , alors est strictement décroissante sur l’intervalle .
