Vidéo : Intervalles de croissance et décroissance d’une fonction en utilisant les dérivées

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intervalles de croissance et décroissance de fonctions en utilisant la dérivée première d’une fonction.

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce que cela signifie pour une fonction d’être croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Et nous verrons comment déterminer si une fonction est croissante ou est décroissante sur un intervalle particulier à l’aide de dérivées. Vous devez savoir comment dériver les fonctions polynomiales, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques, ainsi que la manière de dériver leurs combinaisons à l’aide des règles de produit, de quotient et de chaîne.

Dans un premier temps, regardons ce que signifient ces termes, croissant et décroissant, par rapport aux fonctions. La définition formelle d’une fonction décroissante sur un intervalle est la suivante. Une fonction est décroissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est supérieure à 𝑓 de 𝑥 deux à chaque fois que 𝑥 un est inférieure à 𝑥 deux pour deux points quelconques 𝑥 un et 𝑥 deux sur l’intervalle 𝐼. Si l’on considère la partie gauche de la parabole que j’ai dessinée, on peut considérer deux abscisses 𝑥 un et 𝑥 deux où 𝑥 un est inférieure à 𝑥 deux. On voit que 𝑓 de 𝑥 un est plus grand que 𝑓 de 𝑥 deux. Et par conséquent, notre fonction serait considérée comme décroissante sur cet intervalle.

Concrètement, cela signifie que la pente de la courbe de notre fonction est négative, ce qui a du sens. Si la valeur de la fonction décroît encore et encore, la fonction doit être inclinée vers le bas. Si nous rappelons que la pente d’une fonction est donnée par sa dérivée première, nous pouvons alors former une définition alternative. Une fonction est décroissante sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro, ce qui est négatif pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’intervalle 𝐼.

Ici, nous voyons le lien avec les dérivées. Si nous pouvons déterminer la dérivée première d’une fonction 𝑓 prime de 𝑥, on peut alors considérer où cette dérivée est négative afin de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est décroissante. Nous pouvons considérer la définition d’une fonction croissante de la même manière. Formellement, tout d’abord, une fonction est croissante sur un intervalle 𝐼 si 𝑓 de 𝑥 un est inférieure à 𝑓 de 𝑥 deux à chaque fois que 𝑥 un est inférieure à 𝑥 deux pour toutes les valeurs 𝑥 un et 𝑥 deux sur l’intervalle 𝐼. Cette fois, nous voyons que des valeurs plus grandes de 𝑥 sont associées à des valeurs plus grandes de la fonction elle-même. Ainsi, notre fonction est croissante à mesure que les 𝑥 augmentent.

Concrètement, cela signifie que la pente de la courbe de notre fonction sera positive. La courbe sera incliné vers le haut. Encore une fois, rappelant que la dérivée première d’une fonction donne sa pente, on voit qu’une fonction sera croissante sur un intervalle 𝐼 si la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro pour toutes les valeurs 𝑥 sur cet intervalle 𝐼. Voyons maintenant comment nous pouvons appliquer notre définition des fonctions croissantes et décroissantes en fonction de leurs dérivées premières à certains problèmes.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 carré moins trois 𝑥 moins le logarithme naturel de 𝑥, déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante ou décroissante.

Tout d’abord, nous rappelons que la fonction est croissante lorsque sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est supérieur à zéro, et une fonction décroît lorsque sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Nous allons donc avoir besoin d’une expression pour la dérivée première de cette fonction. Nous pouvons dériver terme par terme. La dérivée de cinq 𝑥 au carré est cinq multipliée par deux 𝑥 ; c’est 10𝑥. La dérivée de moins trois 𝑥 est moins trois. Et la dérivée de moins le logarithme naturel de 𝑥 est moins un sur 𝑥. Nous avons donc notre dérivée première. 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 10𝑥 moins trois moins un sur 𝑥.

Par notre définition d’une fonction croissante, tout d’abord, 𝑓 sera croissante lorsque sa dérivée première 10𝑥 moins trois moins un sur 𝑥 est supérieur à zéro. Et par conséquent, nous avons une inégalité en 𝑥 que nous devons résoudre. Maintenant, nous savons qu’il y a un 𝑥 au dénominateur de cette fraction ici, donc l’étape que nous aimerions prendre d’abord tout est à multiplier par 𝑥 afin d’éliminer cette fraction. Mais nous devons être un peu prudents car nous avons une inégalité et rien ne garantit que 𝑥 est positif. Si l’on multiplie par moins une valeur 𝑥, nous aurions besoin d’inverser le sens de notre inégalité.

Cependant, si nous regardons en arrière notre fonction originale, on voit qu’elle contient ce terme le logarithme naturel de 𝑥. Et le logarithme naturel de 𝑥 est indéfini pour les valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à zéro. Cela signifie que le domaine de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est-𝑥 supérieur à zéro. Nous ne travaillons qu’avec des valeurs positives de 𝑥. Et par conséquent, nous pouvons multiplier notre inégalité par 𝑥 sans se soucier de devoir changer la direction du signe d’inégalité.

En multipliant par 𝑥 cela donne 10𝑥 carré moins trois 𝑥 moins un est supérieur à zéro. Et nous voyons que nous avons une inégalité quadratique que nous devons résoudre. Nous pouvons utiliser un certain nombre de méthodes différentes, mais nous devons certainement commencer par factoriser. En suivant la méthode formelle de factorisation par regroupement, le tout avec un peu d’essais et d’erreurs, nous voyons que ce facteur quadratique est égal à cinq 𝑥 plus un multiplié par deux 𝑥 moins un.

Nous devons ensuite déterminer les valeurs critiques pour cette quadratique, ce que nous faisons en fixant chacune de nos deux parenthèses à zéro, pas plus que zéro. Nous résolvons ensuite chaque équation linéaire pour donner 𝑥 est égal à moins un cinquième et 𝑥 est égal à un demi. Donc, ce sont les deux valeurs critiques pour cette quadratique. Maintenant, il y a deux façons de procéder à partir de maintenant. L’une consiste à utiliser un tableau de valeurs pour vérifier le signe de notre quadratique de part et d’autre et entre nos valeurs critiques. L’autre consiste à dessiner un graphique. Et c’est celui que je vais choisir de démontrer.

Nous savons que nous avons une quadratique avec un coefficient dominant positif. Donc, sa courbe sera une parabole. Et nous savons que les valeurs critiques, c’est-à-dire les valeurs auxquelles la courbe croise l’axe des 𝑥, sont moins un cinquième et un demi. Ainsi, la courbe ressemble à ceci. Rappelez-vous, c’est la courbe de notre dérivée première, 10𝑥 moins trois moins un sur 𝑥. Nous avons dit que notre fonction 𝑓 sera croissante lorsque sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est supérieur à zéro. C’est alors que la courbe de sa dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est au-dessus de l’axe des 𝑥.

Cela correspond à deux sections de notre courbe, la section où les valeurs de 𝑥 sont inférieures à moins un cinquième et la partie où les valeurs de 𝑥 sont supérieures à un demi. Mais rappelez-vous, nous avons dit que le domaine de notre fonction 𝑓 de 𝑥 était juste 𝑥 supérieur à zéro. Et par conséquent, nous pouvons réellement ignorer complètement une moitié de notre courbe. Nous pouvons dire alors que notre fonction 𝑓 est croissante sur l’intervalle ouvert un demi, plus l’infini. Ce sont toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à un demi.

Pour voir où notre fonction est décroissante, nous examinons où la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro, ce qui signifie que nous examinons où la courbe est en dessous de l’axe des 𝑥. Maintenant, sur notre graphique d’origine, cela aurait été partout entre les deux valeurs critiques. Mais comme nous avons réduit la courbe pour être seulement sur les valeurs de 𝑥 supérieures à zéro, ceci est pour tous les 𝑥 supérieurs à zéro mais inférieurs à un demi. Nous disons donc que 𝑓 est décroissante sur l’intervalle zéro ouvert, un demi.

Nous avons donc résolu le problème. Nous avons dû dériver la fonction 𝑓 de 𝑥 pour déterminer sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥, puis utiliser nos connaissances des inégalités du second degré pour déterminer où 𝑓 prime de 𝑥 était supérieur à zéro et où 𝑓 prime de 𝑥 était inférieur à zéro.

Maintenant, nous pouvons également avoir besoin d’appliquer des règles de dérivation clés telles que la règle de chaîne, la règle de produit ou la règle de quotient afin de répondre à des questions impliquant des fonctions plus complexes. Voyons un exemple de cela.

Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 sur 𝑥 carré plus neuf est croissante et où elle est décroissante.

Nous rappelons tout d’abord que l’on peut déterminer si une fonction est croissante ou décroissante en considérant sa dérivée. Une fonction sera croissante lorsque sa dérivée première sera positive et décroissante lorsque sa dérivée première sera négative. Il faut donc déterminer une expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Nous notons tout d’abord, que 𝑓 est un quotient. Donc, pour déterminer cette dérivée, nous devrons appliquer la règle du quotient.

La règle de quotient nous indique que, pour deux fonctions différentiables 𝑢 et 𝑣, la dérivée par rapport au 𝑥 de leur quotient, 𝑢 sur 𝑣, est égale à 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 le tout sur 𝑣 carré. Nous allons donc poser 𝑢 égal au numérateur de notre quotient, soit sept 𝑥, et 𝑣 égal au dénominateur, c’est-à-dire 𝑥 carré plus neuf. d𝑢 par d𝑥 et d𝑣 par d𝑥 peuvent chacun être trouvés en utilisant la règle de dérivation des puissances. d𝑢 par d𝑥 vaut sept et d𝑣 par d𝑥 vaut deux 𝑥.

En substituant dans la formule de la règle du quotient, on a alors que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus neuf multiplié par sept moins sept 𝑥 multiplié sur deux 𝑥 le tout sur 𝑥 carré plus neuf le tout carré. La distribution entre parenthèses dans le numérateur donne sept 𝑥 au carré plus 63 moins 14𝑥 carré sur tout 𝑥 carré plus neuf le tout au carré. Ce qui simplifie alors à 63 moins sept 𝑥 au carré sur 𝑥 carré plus neuf le tout au carré. Et donc, nous avons notre expression pour la dérivée première.

Notre fonction 𝑓 sera croissante lorsque sa dérivée première est supérieure à zéro. Donc, nous avons une inégalité de 𝑥 que nous devons résoudre. Maintenant, nous pouvons en fait simplifier un peu. Notez que le dénominateur de cette fraction est quelque chose au carré, 𝑥 carré plus neuf le tout au carré. Et par conséquent, le dénominateur lui-même sera toujours supérieur à zéro. Pour que la fraction entière soit supérieure à zéro, il suffit de s’assurer que son numérateur est supérieur à zéro, car un positif divisé par un positif donnera quelque chose de positif.

L’inégalité se simplifie donc en 63 moins 7 au carré est supérieur à zéro. Nous pouvons diviser par sept, puis ajouter 𝑥 carré à chaque côté pour donner neuf supérieur à 𝑥 carré. Ou écrit en sens inverse, 𝑥 carré est inférieur à neuf. Nous avons donc une inégalité quadratique relativement simple à résoudre. Si 𝑥 carré doit être inférieur à neuf, c’est strictement inférieur à neuf, alors nous pouvons avoir n’importe quelle valeur de entre trois et moins trois, bien que ces valeurs ne soient pas elles-mêmes incluses. La solution à cette inégalité quadratique est ensuite moins trois est inférieur à 𝑥 est inférieur à trois, ou le négatif intervalle ouvert trois à trois.

Nous avons donc trouvé le seul intervalle sur lequel la fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante. Pour déterminer où la fonction est décroissante, nous demandons que sa dérivée première soit inférieure à zéro, ce qui conduit à son tour à 63 moins sept le carré est inférieur à zéro. Nous inversons donc la direction de tous les signes d’inégalité dans notre précédent travail aboutissant à un 𝑥 carré supérieur à neuf. Ceci est seulement le cas pour des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à moins trois et des valeurs de 𝑥 strictement supérieures à plus trois. Donc, nous trouvons qu’il y avait deux intervalles sur lesquels notre fonction est décroissante. Les intervalles ouverts moins l’infini à moins trois et trois, l’infini.

Donc, en appliquant la règle du quotient pour déterminer la dérivée première de notre fonction 𝑓 de 𝑥, puis en résolvant une inégalité quadratique relativement simple. Nous trouvons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle ouvert de moins trois à trois et décroît sur les intervalles ouverts de moins l’infini moins trois et trois, l’infini.

Dans notre prochain exemple, considérons un problème impliquant des fonctions trigonométriques.

Pour zéro inférieur à 𝑥 qui est inférieur à deux 𝜋 sur cinq, déterminez les intervalles sur lesquels 𝑓 de 𝑥 égale à cos carré cinq 𝑥 plus trois cos cinq 𝑥 est croissante ou décroissante.

Nous rappelons tout d’abord que la fonction est croissante chaque fois que la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro. Et cette même fonction décroît chaque fois que sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Il faut donc déterminer une expression pour la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 de cette fonction trigonométrique. Et nous rappelons, tout d’abord, un résultat standard pour dériver cos de 𝑎𝑥, qui est que sa dérivée par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑎 sinus 𝑎𝑥. Cela nous permet de dériver le deuxième terme. La dérivée de trois cos cinq 𝑥 est trois multiplié par moins cinq sin cinq 𝑥. Mais qu’en est-il du premier terme ?

Eh bien, nous pouvons le considérer comme un cos de cinq 𝑥 tout au carré, puis de rappeler la règle de puissance générale. Cela nous dit que si nous avons quelque fonction à une puissance, alors sa dérivée est égale à cette puissance, donc deux, multipliée par la dérivée de la fonction elle-même, donc ce sera moins cinq sinus cinq 𝑥, multiplié par cette fonction avec une puissance en moins. Nous réduisons donc la puissance de deux à un.

Nous avons donc 𝑓 prime de 𝑥 est égale à deux multiplié par moins cinq sinus cinq 𝑥 cos cinq 𝑥 plus trois multiplié par moins cinq sin cinq 𝑥. Nous pouvons factoriser par moins cinq sin cinq 𝑥 pour donner 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins cinq sin cinq 𝑥 multiplié par deux cos cinq 𝑥 plus trois. Notre fonction 𝑓 sera croissante donc lorsque cette dérivée première sera supérieure à zéro. Maintenant, réfléchissons à la manière dont nous pouvons résoudre cette inégalité. Et nous allons d’abord penser à cette deuxième tranche.

La courbe de cos cinq 𝑥, tout d’abord, est un étirement horizontal de la courbe de cos 𝑥. Et ainsi, il a toujours moins un comme valeur minimale et un comme valeur maximale. La courbe de deux cos cinq 𝑥 est une extension verticale de cette courbe par un facteur d’agrandissement deux. Et ainsi, cela aura moins deux comme minimum et deux comme maximum. Ajouter trois est une translation verticale de cette courbe, ce qui signifie que la valeur minimale pour deux cos cinq 𝑥 plus trois sera égale à un et que la valeur maximale sera de cinq.

Cela nous dit que deux cos cinq 𝑥 plus trois est toujours supérieur à zéro, car leur valeur minimale est un. Et par conséquent, l’un des facteurs de notre produit est toujours positif. Pour que le produit de deux facteurs soit positif, ils doivent avoir le même signe. Et par conséquent, il doit aussi être le cas que 𝑓 est croissante lorsque le premier facteur, moins cinq sin cinq 𝑥, lui-même est positif. Donc, notre problème a quelque peu diminué. Nous cherchons maintenant simplement la région sur laquelle moins cinq sur cinq 𝑥 est supérieur à zéro.

Nous pouvons simplifier en divisant les deux côtés par moins cinq. Et comme nous divisons par moins un, nous devons inverser l’inégalité, pour donner au sinus cinq 𝑥 est inférieur à zéro. Maintenant, rappelez-vous le domaine qu’on nous a donné pour cette fonction était zéro inférieur à 𝑥 inférieur à deux 𝜋 sur cinq. Si on pose 𝑢 égal à cinq 𝑥, alors si 𝑥 est compris entre zéro et deux 𝜋 sur cinq, 𝑢 sera compris entre zéro et deux 𝜋. Donc, maintenant, nous sommes à la recherche d’où le sinus 𝑢 est inférieur à zéro pour les valeurs de 𝑢 entre zéro et deux 𝜋.

Nous pouvons répondre en esquissant un graphique de 𝑢 contre le sinus 𝑢 pour les valeurs de 𝑢 entre zéro et deux 𝜋. Et nous voyons que le sinus 𝑢 est inférieur à zéro pour les valeurs de 𝑢 comprises entre 𝜋 et deux 𝜋. Rappelez-vous cependant que 𝑢 est égale à cinq 𝑥, afin de convertir ce retour à une inégalité de 𝑥, nous devons diviser par cinq, ce qui donne 𝜋 sur cinq est inférieur à 𝑥 est inférieur à deux 𝜋 sur cinq. C’est l’intervalle sur lequel la fonction 𝑓 est croissante.

En appliquant la même logique, on voit que 𝑓 sera décroissante quand sa dérivée première est inférieure à zéro, ce qui conduit à son tour au sinus 𝑢 étant supérieur à zéro. C’est alors 𝑢 est entre zéro et 𝜋, ce qui conduit à 𝑥 étant compris entre zéro et 𝜋 par cinq. Nous avons donc résolu le problème. La fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle ouvert 𝜋 sur cinq, deux 𝜋 sur cinq et en diminuant sur l’intervalle ouvert zéro, 𝜋 sur cinq.

En résumé, nous avons vu qu’une fonction 𝑓 est croissante chaque fois que sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro. Et la fonction 𝑓 est décroissante quand sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro. Nous pouvons utiliser la dérivation et les règles de dérivation telles que la règle de quotient, la règle de produit et la règle de chaîne pour déterminer les dérivées premières des fonctions. Ensuite, résolvez les inégalités qui en résultent pour déterminer les intervalles sur lesquels ces fonctions sont croissantes ou décroissantes.

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