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Déterminez, au centième près, l’aire d’un hexagone régulier dont le cercle circonscrit a pour équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins 14𝑥 moins 12𝑦 plus neuf est égal à zéro.
Dans cette question, nous sommes chargés de trouver l’aire d’un hexagone régulier. Nous devons trouver cette aire au centième près. Pour ce faire, on nous dit que cet hexagone a un cercle circonscrit donné par l’équation suivante. Pour répondre à cette question, commençons par tracer les informations qui nous sont données. Tout d’abord, nous avons affaire à un hexagone régulier et on nous dit que cet hexagone a un cercle circonscrit. Rappelez-vous, le cercle circonscrit de tout polygone passe par tous les sommets d’un polygone. Vu que nous avons affaire à un polygone régulier, nous savons que le centre du cercle et le centre de ce polygone seront les mêmes.
La prochaine chose que nous pouvons faire est d’utiliser l’équation de notre cercle pour trouver le centre de notre cercle et son rayon. Pour ce faire, nous allons devoir l’écrire sous la forme générale de l’équation d’un cercle. Pour ce faire, commençons par réorganiser nos équations afin d’avoir d’abord les termes en 𝑥, puis les termes en 𝑦. Pour écrire cela dans l’équation générale d’un cercle, nous allons devoir compléter le carré deux fois, une fois pour nos termes en 𝑥 et une fois pour nos termes en 𝑦.
Commençons par les termes en 𝑥. Nous devons prendre la moitié du coefficient de notre 𝑥. Nous obtenons 𝑥 moins sept au carré, mais nous ajoutons une constante supplémentaire de 49. Nous devons donc soustraire 49. Pour voir cela, nous pouvons développer le carré sur nos parenthèses, puis réduire. Nous obtenons 𝑥 au carré moins 14𝑥. Nous allons ensuite vouloir faire la même chose pour nos termes en 𝑦. Nous prenons la moitié du coefficient de 𝑦 qui est moins six, ce qui nous donne 𝑦 moins six le tout au carré. Cependant, ensuite, nous ajoutons 36 supplémentaires. Nous devons donc soustraire cela. Encore une fois, si nous distribuons le carré sur nos parenthèses puis simplifions ces deux termes, nous obtiendrons 𝑦 au carré moins 12𝑦. Puis dans notre équation, n’oubliez pas, nous devons ajouter neuf, et le tout est égal à zéro.
Ceci est maintenant presque sous la forme générale de l’équation d’un cercle. Nous avons juste besoin d’écrire toutes nos constantes de l’autre côté de notre équation. Nous ajoutons 49 des deux côtés de notre équation, ajoutons 36 des deux côtés de notre équation et soustrayons neuf des deux côtés de notre équation. Nous obtenons 𝑥 moins sept au carré plus 𝑦 moins six au carré est égal à 49 plus 36 moins neuf. Si nous calculons le côté droit de notre équation, nous voyons qu’il est égal à 76. Maintenant, nous avons écrit notre équation sous la forme générale de l’équation d’un cercle. Nous savons que si l’équation d’un cercle a été donnée sous la forme 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré est égal à 𝑟 au carré, le centre de notre cercle sera le point 𝑎, 𝑏 et le rayon de notre cercle sera 𝑟.
Dans notre cas, nous pouvons trouver les coordonnées du centre. Ce sera le point sept, six. Cependant, il ne sera pas nécessaire pour répondre à cette question. Nous devrons plutôt remarquer que le rayon de notre cercle sera la racine carrée de 76. Maintenant que nous avons le rayon de notre cercle, voyons si nous pouvons l’utiliser pour trouver l’aire de notre hexagone. En fait, il y a beaucoup de méthodes différentes que nous pourrions utiliser pour répondre à cette question. Nous n’en examinerons que quelques-unes. La façon la plus simple de répondre à cette question est de savoir que l’angle interne d’un hexagone régulier est de 120 degrés. Cela nous donne alors un résultat vraiment utile lorsque nous ajoutons les deux rayons suivants à notre figure.
Puisque ces deux longueurs sont des rayons, nous savons que la longueur sera le rayon de notre cercle, que nous savons être la racine carrée de 76. Nous appellerons simplement cela 𝑟. Deuxièmement, vu que ces longueurs vont des sommets de notre hexagone au centre de notre cercle, elles vont couper l’angle en deux moitiés. Ces angles internes de notre triangle sont de 60 degrés. Bien sûr, si deux angles de notre triangle sont de 60 degrés, l’autre angle doit également être de 60 degrés. Nous obtenons donc un triangle équilatéral. Bien sûr, dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur, la longueur du côté de notre hexagone est donc de racine carrée de 76.
Maintenant, une façon de trouver l’aire de notre hexagone serait d’utiliser la formule pour trouver l’aire d’un polygone régulier. Cela fonctionnerait. Nous savons que nous avons un polygone régulier, nous savons qu’il a six côtés et nous savons que ses longueurs de côtés sont racine de 76. Cependant, ce n’est pas la seule façon de trouver cette aire. En ajoutant les rayons suivants, nous pouvons transformer notre hexagone en six triangles équilatéraux. En fait, ce sont des triangles équilatéraux congruents. Il suffit donc de trouver l’aire de l’un de ces triangles, puis de la multiplier par six pour trouver l’aire de notre hexagone. Nous avons beaucoup de méthodes différentes que nous pourrions utiliser pour trouver l’aire de ces triangles équilatéraux.
Par exemple, nous connaissons toutes les longueurs des côtés pour pouvoir utiliser la formule de Heron. Cependant, la méthode la plus simple consisterait à utiliser la moitié de la base multipliée par la hauteur. Pour ce faire, commençons par tracer l’un de nos triangles équilatéraux. Pour trouver cette aire, nous allons devoir connaître la hauteur de ce triangle équilatéral. Nous allons donc l’obtenir en créant le triangle rectangle suivant. Il y a plusieurs façons de trouver la hauteur de ce triangle. Une façon consiste à utiliser la trigonométrie. Nous savons que le sinus de l’angle dans un triangle rectangle est égal à la longueur du côté opposé à cet angle divisé par la longueur de l’hypoténuse.
En appliquant cela à l’angle de 60 degrés dans notre triangle rectangle, nous obtenons que le sinus de 60 degrés est égal à ℎ divisé par la racine 76. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour ℎ en multipliant par la racine 76 et en rappelant que le sinus de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux. Ainsi, ℎ est égal à la racine de 76 multipliée par la racine de trois sur deux. Si nous calculons cela, nous voyons que ℎ est égal à la racine de 57. Maintenant, nous pouvons trouver l’aire de l’un de ces triangles équilatéraux en utilisant la moitié de la base multipliée par la hauteur. Cela nous donne un demi fois racine de 76 fois racine de 57. Seulement, rappelez-vous, l’aire qui nous intéresse est l’aire de notre hexagone. Soit six fois l’aire de ce triangle équilatéral. Nous devons donc multiplier cela par six.
Nous pouvons calculer cela exactement. Cela donne 114 racine de trois. Seulement, la question ne veut pas que nous donnions une réponse exacte. Elle veut que nous la donnions au centième près, soit à deux décimales près. Ainsi, si nous mettons notre réponse dans une calculatrice, nous obtenons 197,45. Puisque cela représente une aire, nous lui associons des unités carrées. Cependant, ce n’était pas la seule façon de répondre à cette question. Nous pouvons répondre à cette question sans connaître l’angle interne d’un hexagone régulier. Voyons donc comment nous ferions cela.
Tout d’abord, nous pourrions construire les six mêmes triangles que nous avons fait auparavant. Nous pouvons toujours voir que ces triangles sont congruents car ils partagent tous la même longueur. Nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant au sujet des angles au centre de notre hexagone. Ces angles sont tous les mêmes et ils se somment à 360 degrés. Ainsi, chacun d’eux fait 60 degrés. Nous pouvons donc toujours trouver un angle dans nos triangles. Nous savons que ce sera 60 degrés. N’oubliez pas, nous savons que le rayon de notre cercle est la racine carrée de 76. Maintenant, il y a deux options. Nous pouvons remarquer que puisqu’il s’agit d’un triangle isocèle, les deux angles à la base de notre triangle doivent être égaux. Nous pouvons calculer ces angles. Ils seront tous deux de 60 degrés.
Nous pouvons sinon utiliser le fait que nous avons la longueur de deux côtés du triangle pour trouver la longueur de l’autre côté en utilisant la loi des cosinus. Si nous faisions cela, nous verrions aussi que c’est la racine carrée de 76. Puis, encore une fois, nous avons toutes les trois longueurs de côté qui sont les mêmes. Ainsi, nous devons avoir des triangles équilatéraux. Là encore, nous avons les mêmes choix que précédemment. Nous pouvons trouver l’aire de chacun de ces triangles, puis le multiplier par six pour trouver l’aire de notre hexagone. Nous pouvons sinon utiliser notre formule pour trouver l’aire de notre hexagone régulier puisque nous connaissons les longueurs des côtés et nous savons qu’un hexagone régulier a six côtés. De toute façon, nous obtiendrons la même réponse.
Dans cette question, nous avons pu montrer, au centième près, que l’aire de l’hexagone régulier avec un cercle circonscrit d’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins 14𝑥 moins 12𝑦 plus neuf est égal à zéro est égale à 197,45 unités carrées.
